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    一個新的非常規(guī)Hermite型矩形元的構(gòu)造及收斂性分析

    2010-11-27 02:32:14劉付軍
    關(guān)鍵詞:收斂性二階矩形

    劉付軍,盧 靜

    (1.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系,河南 鄭州 451191;2.河南工程學(xué)院 計算機科學(xué)與工程系,河南 鄭州 451191)

    1 問題的提出

    考慮下面的二階橢圓方程,求u滿足:

    (1.1)

    其中, Ω?R2是有界凸區(qū)域,f∈L2(Ω)是已知函數(shù).令ψ=u,則問題(1.1)的混合變分形式為:求(ψ,u)∈H×M滿足:

    (1.2)

    其中,H={φ∈L2(Ω)×L2(Ω),divφ∈L2(Ω)},m=L2(Ω);

    如果Hh?H和Mh?M是混合有限元空間,則(1.2)的混合有限元解為:

    求(ψh,uh)∈Hh×Mh滿足:

    (1.3)

    這里先給定幾個假設(shè)[1],本文正是基于它們得到了一些結(jié)論:

    (H1)D?H′×M′使得問題(1.2)存在唯一的解(ψ,u)∈H×M

    (H2)存在Hilbert空間V使得M→V(連續(xù)嵌入),并且使得對于?d∈V′存在(λd,yd)∈H×M,滿足:

    (1.4)

    Zh={φh∈Hh;b(φh,vh)=0, ?vh∈Mh}.

    (H4)存在s(h)>0使得‖vh‖H≤s(h)‖vh‖w, ?vh∈Mh.

    (H5)存在算子rh∶Y→Hh使得對于任意的φ∈Y有b(φ-rhφ,vh)=0,?vh∈Mh,其中Y={ψ,λd;d∈V′},ψ是問題(1.2)的解(ψ,u)中的ψ,λd是(1.4)中的解(λd,yd)中的λd.

    利用混合有限元解Poisson方程最早是由Raviart-Thomas于1977年提出的[2-3].二十多年來,基本上都是使用這種格式,后續(xù)的一些工作都是在利用Raviart-Thomas格式去討論稍微復(fù)雜的二階橢圓方程,給出各種模的誤差估計[4-7].但是,Raviart-Thomas所用的自由度太多而且論證過程也很復(fù)雜.此后,羅振東又采用一種自由度較少、論證過程也較簡單的混合有限元格式[8-9],但是其研究的都是三角形單元.本文將利用由[10]改造得到的非常規(guī)Hermite型矩形元來研究二階橢圓問題,并得到了其收斂性結(jié)果.

    2 單元構(gòu)造

    為簡單起見,設(shè)Ω是R2中的一個有界凸多邊形區(qū)域,其邊界?Ω平行于x軸或y軸,h是Ω的一個矩形剖分族,即?e∈h設(shè)其中心點為(xe,ye),兩邊分別平行于x軸和y軸,兩邊長分別為2hx和2hy.設(shè)ê=[-1,1]×[-1,1]是ξ-η平面上的參考單元,其四個頂點分別為和四條邊為和則存在可逆放射變換

    (2.1)

    (2.2)

    (2.3)

    (2.4)

    3 收斂性分析

    取上面假設(shè)中的V=L2(Ω),W=L2(Ω)×L2(Ω),D=0×L2(Ω)?H′×M′,則(H1)-(H3)都成立;若h為Ω?R2的擬一致矩形剖分,he為單元e的直徑,h=max{he;e∈h},則(H4)也成立,這時s(h)=ch-1, 即:

    ‖φh‖1≤ch-1‖φh‖0, ?φh∈Hh∩(H1(Ω))2.

    要討論(H5)成立,為此我們引入下面的引理.

    (divφ,v)=-(φ,v)

    (3.1)

    定理1 如果存在算子rh∶H→Hh使得對于φ∈H都有:

    b(φ-rhφ,vh)=0, ?vh∈Mh

    (3.2)

    則問題(1.3)存在唯一的解(ψh,uh)∈Hh×Mh并有下列誤差估計:

    ‖ψ-ψh‖0≤‖ψ-rhψ‖0+|u-uh|1,

    (3.3)

    ?vh,wh∈Hh

    (3.4)

    (3.5)

    并且有先驗估計:

    ‖λd‖1+‖yd‖2≤D‖d‖0

    (3.6)

    下面來構(gòu)造有限元空間Hh和Mh以及算子rh滿足定理1的條件.

    (3.7)

    同時定義泡函數(shù)be(x,y)為:

    (3.8)

    B=(span{be;e∈h})2

    (3.9)

    (3.10)

    (3.11)

    在這里我們需要定義v的插值函數(shù)Iv∈Mh,

    (3.12)

    (3.13)

    定義rh∶H→Hh使得, ?φ∈H,

    (3.14)

    b(φ-rhφ,vh)=(div(φ-rhφ),vh)=-(φ-rhφ,vhdxdy.

    由Mh的定義知,vh|e是常向量,所以定理1的(3.2)式成立,只需:

    (3.15)

    由rh的定義得:

    (3.16)

    這樣當(dāng)αe滿足(3.15)時,rh滿足(3.2)式.由前面的單元構(gòu)造知道|e|=4hxhy又經(jīng)過計算得到:

    (3.17)

    (3.18)

    故由(3.16)和H?lder不等式得:

    |αe|=

    (3.19)

    由rh的定義及(3.17),(3.18)得到:

    ‖φ-rhφ‖0,e=

    (3.20)

    因此,Hh,Mh和rh滿足定理1,于是得到下面的結(jié)論.

    h‖ψ-ψh‖0+‖u-uh‖0≤Ch2‖f‖0

    (3.21)

    證明設(shè)ρh∶H2(Ω)→Mh為L2投影算子, 則:

    |u-ρhu|1≤Ch|u|2, ?u∈H2(Ω)

    (3.22)

    由(3.3)、(3.18)、(3.20)得到:

    ‖ψ-ψh‖0≤C(‖ψ-rhψ‖0+|u-ρhu|1)≤Ch‖f‖0

    (3.23)

    下面我們來估計‖u-uh‖0,由引理1,H?lder不等式及(3.6)、(3.18)、(3.22)得到:

    b(λd-rhλd,u-ρhu)=(div(λd-rhλd),u-ρhu)=-(λd-rhλd,(u-ρhu))≤

    C‖λd-rhλd‖0|u-ρhu|1≤Ch2‖u‖2‖λd‖1≤Ch2‖u‖2‖d‖0

    (3.24)

    α(ψ-ψh,λd-rhλd)≤C‖ψ-ψh‖0‖λd-rhλd‖0≤Ch‖ψ‖1h‖λd‖1≤Ch2‖u‖2‖d‖0

    (3.25)

    b(ψ-ψh,yd-ρhyd)=(div(ψ-ψh),yd-ρhyd)=-(ψ-ψh,(yd-ρhyd))≤

    C‖ψ-ψh‖0‖yd-ρhyd‖1≤Ch‖ψ‖1h‖yd‖2≤Ch2‖u‖2‖d‖0

    (3.26)

    將(3.24)、(3.25)、(3.26)代入(3.4)得到:

    ‖u-uh‖0≤Ch2‖u‖2≤Ch2‖f‖0

    (3.27)

    由(3.23)、(3.27)即可證明本定理.

    參考文獻:

    [1] 羅振東.混合有限元法基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

    [2] BREZZI F, FORTIN M.Mixed and hybrid finite element methods[M].Springer-Verlag,1991.

    [3] RAVIART PA,THOMAS P A. A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems[J]. Lecture notes in math:springer-verlag,1977(68):292-315.

    [4] DOUGLAS JR J, ROBERTS J E.Global estimates for mixed methods for second order elliptic equations[J]. Math.Comp,1985,169(44):39-52.

    [5] 黃建國.一個混和元的最大模估計及超收斂估計[J].計算數(shù)學(xué),1991,13(3):174-279.

    [6] 龐之垣.混合有限元法的誤差估計[J].計算數(shù)學(xué),1986,8(4):337-344.

    [7] 石東洋,梁慧.一個新的非常規(guī)型各向異性矩形元的超收斂分析及外推[J].計算數(shù)學(xué),2005,27(4):369-382.

    [8] CIARIT P G. The finite method for elliptic problem[M]. Amsterdam: North-Holland Publ., 1978.

    [9] 林群,嚴(yán)寧寧.高效有限元構(gòu)造與分析[M].石家莊:河北大學(xué)出版社,1996.

    [10]王烈衡,許學(xué)軍.有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

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