基于L1樣條與B樣條改進(jìn)的利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)優(yōu)化

○吳澤福 吳 捷

(1. 華僑大學(xué) 工商管理學(xué)院, 福建 泉州 362021; 2. 澳門(mén)大學(xué) 管理學(xué)院, 中國(guó) 澳門(mén))

一 引 言

利率期限結(jié)構(gòu)是由特定時(shí)刻的到期期限與其對(duì)應(yīng)利率的系列組成，而利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)是指對(duì)特定時(shí)刻的利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值估計(jì)，對(duì)發(fā)展和完善中國(guó)資本市場(chǎng)和和金融體制具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。利率期限結(jié)構(gòu)是資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理和投資運(yùn)作的基礎(chǔ)，不僅直接影響公司投資決策和資金籌劃，密切作用于國(guó)際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易和宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行, 而且也是央行控制短期利率變化以影響中長(zhǎng)期利率變化的傳遞機(jī)制。國(guó)內(nèi)外大量研究表明，利率期限結(jié)構(gòu)的變動(dòng)規(guī)律能夠比較全面地刻畫(huà)資金市場(chǎng)的發(fā)育水平，綜合反映經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)預(yù)期、資金市場(chǎng)供求、宏觀政策趨勢(shì)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行狀況。

國(guó)際上利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)模型已經(jīng)從息票剝離法、多項(xiàng)式樣條插值，發(fā)展到采用整條曲線擬合的Nelson-Siegel簡(jiǎn)約模型[1]473-489，以及采用分段曲線擬合技術(shù)的樣條函數(shù)類(lèi)方法,主要有McCulloch的三次多項(xiàng)式樣條[2]19-31、Vasicek-Fong的指數(shù)樣條及Steeley的B樣條函數(shù)。線性?xún)?nèi)插式息票剝離法運(yùn)用單變量求解進(jìn)行運(yùn)算產(chǎn)生的計(jì)量誤差相對(duì)較小，但是有可能由于新發(fā)行債券收益率數(shù)據(jù)的到期缺口而導(dǎo)致不能夠準(zhǔn)確地描述即期利率函數(shù)的曲率，而Stephan發(fā)現(xiàn)立體樣條保值式利息剝離法在降低了線性?xún)?nèi)插的估測(cè)誤差的同時(shí)提供一個(gè)平滑的遠(yuǎn)期利率函數(shù)，但是存在估測(cè)結(jié)果相當(dāng)敏感于節(jié)點(diǎn)的選擇和在到期范圍末尾會(huì)造成額外曲線曲率的嚴(yán)重問(wèn)題。簡(jiǎn)約模型的優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)經(jīng)濟(jì)意義明確和所需估計(jì)的參數(shù)相對(duì)較少，缺點(diǎn)是需要預(yù)設(shè)部分參數(shù)來(lái)限定曲線類(lèi)型,算法涉及非線性?xún)?yōu)化且收斂速度很慢，模型估計(jì)存在的系統(tǒng)化凹性影響到長(zhǎng)期債券的定價(jià)精度。樣條函數(shù)類(lèi)方法對(duì)曲線擬合能力和適應(yīng)性較強(qiáng),程序估計(jì)誤差易于控制和擬合結(jié)果穩(wěn)定性較高，尤其是B樣條函數(shù)的局部非零性質(zhì)能夠避免多項(xiàng)式樣條估計(jì)方法中存在的回歸矩陣多重共線性問(wèn)題，但估計(jì)方法在樣條函數(shù)以及分割區(qū)間上存在著較大的選擇空間,需要運(yùn)行標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差的最小化搜索程序降低估計(jì)誤差。Steeley得出B樣條函數(shù)能夠相當(dāng)精確地近似貼現(xiàn)函數(shù)和獲取平滑的即期利率曲線[3]513-529，Deacon和Derry通過(guò)比較各種擬合技術(shù)得出B樣條函數(shù)是最有效的利率期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)方法。Fisher,Nychka和Zervos指出B樣條函數(shù)法能夠克服McCulloch使用平方樣條擬合時(shí)產(chǎn)生的遠(yuǎn)期利率曲線的節(jié)點(diǎn)問(wèn)題[4]85-116，但Chambers證實(shí)B樣條函數(shù)擬合效果受到樣本區(qū)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)選擇的影響重大[5]233-252。指數(shù)樣條克服多項(xiàng)式樣條對(duì)擬合遠(yuǎn)期利率的不穩(wěn)定性，能夠較好地刻畫(huà)利率到期期限延伸的拖尾曲線形狀。Vasicek和Fong設(shè)定折扣函數(shù)形式上是指數(shù)衰減，避免了二項(xiàng)式樣條函數(shù)不具有恒定的曲率而導(dǎo)致遠(yuǎn)期利率曲線斜率的近似誤差問(wèn)題，但Fong發(fā)現(xiàn)指數(shù)樣條的期限結(jié)構(gòu)擬合法有時(shí)劣于立體樣條法，常用的三次指數(shù)樣條函數(shù)系數(shù)需要利用非線性回歸，所得的遠(yuǎn)期利率曲線不穩(wěn)定且所需要計(jì)算量相當(dāng)大[6]339-348。

國(guó)內(nèi)學(xué)者采用不同方法構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)，如陳雯和陳浪南采用指數(shù)函數(shù),鄭振龍和林海[7]33-36，朱世武和陳健恒，周榮喜和邱菀華采用多項(xiàng)式樣條，謝赤和鐘贊運(yùn)用立方插值法，趙宇齡、范龍振和王曉麗采用Nelson-Siegel模型,朱峰采用帶平滑技術(shù)的B樣條，劉燦和易璐，傅曼麗、董榮杰和屠梅曾采用三階B樣條[8]1337-1340，大部分已有的利率期限結(jié)構(gòu)實(shí)證研究偏重于函數(shù)構(gòu)造及價(jià)格擬合度的驗(yàn)證,而忽視了最小化估計(jì)誤差約束的擬合模型優(yōu)化與整體估計(jì)效率分析以及現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)上存在的諸多摩擦因素的影響。

本文的主要貢獻(xiàn)體現(xiàn)為：(1)通過(guò)比較基本利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)模式的優(yōu)劣，推進(jìn)B樣條函數(shù)貼現(xiàn)擬合方法運(yùn)用程序的優(yōu)化研究；(2)構(gòu)建B樣條函數(shù)最小化定價(jià)誤差的節(jié)點(diǎn)組合人工搜索程序，豐富了B樣條函數(shù)估計(jì)在節(jié)點(diǎn)數(shù)目和定位的有效方式；(3)運(yùn)用L1樣條優(yōu)化技術(shù)進(jìn)一步放寬B樣條函數(shù)對(duì)貼現(xiàn)函數(shù)的二階平滑要求和克服對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)目與定位的人工干預(yù)，增強(qiáng)了對(duì)當(dāng)期價(jià)格變動(dòng)特征的估計(jì)能力，深化了債券定價(jià)精確度和貼現(xiàn)函數(shù)過(guò)度波動(dòng)問(wèn)題的研究。本文的研究旨在改進(jìn)利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)方法的精確度，為利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)機(jī)制研究提供精確數(shù)據(jù)，提升央行貨幣政策決策的有效性和科學(xué)性。

二 研究方法

1．B樣條改進(jìn)

(1)

(2)

(3)

(4)

運(yùn)用此方法估計(jì)的貼現(xiàn)函數(shù)在到期時(shí)取值為1，不需要系數(shù)的約束條件。但是運(yùn)用這種方法會(huì)導(dǎo)致短期利率的估計(jì)過(guò)度敏感于到期期限的改變，從而產(chǎn)生利率期限結(jié)構(gòu)估計(jì)的不穩(wěn)定，而且模型的估計(jì)需要運(yùn)用到非線性估計(jì)技術(shù)。雖然運(yùn)用樣條函數(shù)可以直接擬合遠(yuǎn)期利率曲線，但是Bing和Huei指出此種方法所需要的計(jì)算量相當(dāng)費(fèi)時(shí)且估計(jì)獲得的利率期限結(jié)構(gòu)曲線末端相當(dāng)不穩(wěn)定，故而本文暫不采用此法。

2．L1樣條技術(shù)[9]197-229

L1樣條擬合方法放寬了貼現(xiàn)函數(shù)二階可導(dǎo)條件，僅要求折現(xiàn)函數(shù)一階可導(dǎo),從而避免了B樣條函數(shù)在計(jì)算樣條插值時(shí)的高波動(dòng)性問(wèn)題。L1樣條定義最小化債券定價(jià)誤差和折現(xiàn)函數(shù)的統(tǒng)一程式為式(5)：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

三 實(shí)驗(yàn)研究

1．樣本選取

研究樣本為上海證券交易所上市交易的20只國(guó)債每個(gè)交易日價(jià)格的歷史行情數(shù)據(jù)，每條歷史行情數(shù)據(jù)記錄國(guó)債的代碼、日期、交易價(jià)格和收益率。由于2001年之前，市場(chǎng)缺乏期限超過(guò)10年的長(zhǎng)期債券，而且債券的交易品種很少，而2006年以后央行頻繁調(diào)整利率水平，為了控制擬合估計(jì)偏誤程度，回歸分析和優(yōu)化算法的樣本選取期間為2002年1月4日至2005年12月29日止的920個(gè)觀測(cè)日。由于2002年3月25日以后，國(guó)債交易價(jià)格是以扣除累計(jì)利息的凈價(jià)法表示，因此必須加上這些債券的累計(jì)利息，得出真實(shí)的息票債券價(jià)格，全部數(shù)據(jù)來(lái)自上海證券交易所的歷史行情數(shù)據(jù)庫(kù)。

2．模型設(shè)定與估計(jì)

筆者通過(guò)改變樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)的分布模式進(jìn)行敏感性分析，尋求最小化標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差的節(jié)點(diǎn)分布。運(yùn)用B樣條函數(shù)估計(jì)利率期限結(jié)構(gòu)的第一步是識(shí)別子區(qū)間個(gè)數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)目。為了獲得平滑的遠(yuǎn)期利率曲線，需要使用三階B樣條函數(shù)來(lái)近似貼現(xiàn)函數(shù)，通過(guò)比較平均標(biāo)準(zhǔn)誤差和顯著系數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)選取適當(dāng)?shù)淖訁^(qū)間數(shù)目，樣本內(nèi)的節(jié)點(diǎn)通過(guò)債券樣本數(shù)量的均等分來(lái)確定。當(dāng)子區(qū)間為4時(shí)，樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)設(shè)定為0, 6, 10, 15, 20的樣條函數(shù)組合的7個(gè)系數(shù)在0.05水平上都是顯著；當(dāng)子區(qū)間個(gè)數(shù)增加時(shí)，盡管平均標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差略有減少，但是估計(jì)系數(shù)的顯著水平并沒(méi)有顯著增加；上述節(jié)點(diǎn)設(shè)置的平均標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差是0.5326，使用不同的樣本外節(jié)點(diǎn)，定價(jià)誤差并沒(méi)有顯著的變化。

Vasicek和Fong指出由于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券越接近于到期日時(shí)的價(jià)格越接近于債券面值，而越是遠(yuǎn)離到期日的價(jià)格波動(dòng)會(huì)越大，因而無(wú)約束貼現(xiàn)擬合模型、約束貼現(xiàn)擬合模型和即期利率擬合模型的誤差項(xiàng)不是同方差的，但是Bing和huei發(fā)現(xiàn)上述三個(gè)模型的誤差項(xiàng)設(shè)定為同方差或異方差幾乎不改善模型的擬合效率。因而，本文設(shè)定這些誤差項(xiàng)具有同方差屬性來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的回歸分析。

使用2003年6月24日的國(guó)債交易價(jià)格進(jìn)行估計(jì)，表1給出不含息票因子的二項(xiàng)式樣條擬合模型估計(jì)結(jié)果。無(wú)約束貼現(xiàn)函數(shù)擬合模型，有約束貼現(xiàn)函數(shù)擬合模型和即期利率擬合模型的所有參數(shù)估計(jì)在95%的水平上都是顯著的，表明三種擬合方法的有效性；三種擬合方法的標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差相近，基本上在0.6至0.7之間，其中無(wú)約束貼現(xiàn)擬合法的標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差最大，約束貼現(xiàn)擬合法的標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差較小，即期利率擬合法最低，但是擬合出來(lái)的利率期限結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)路徑差異較大。

表1 不含息票因子的模型估計(jì)結(jié)果( 2003/6/24 )

表2 含息票因子的模型估計(jì)結(jié)果(2003/6/24)

通過(guò)B樣條函數(shù)估計(jì)定價(jià)模型的貼現(xiàn)函數(shù)與回歸系數(shù)如表1所示，再運(yùn)用無(wú)約束貼現(xiàn)擬合、約束貼現(xiàn)擬合和即期利率擬合即可獲取整個(gè)樣本期內(nèi)的利率期限結(jié)構(gòu)。在三種擬合方法中，無(wú)約束貼現(xiàn)擬合不能獲得可靠和穩(wěn)定的短期利率，約束貼現(xiàn)擬合法的標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差偏大(平均達(dá)0.62)，但是能夠顯著地改進(jìn)了短期利率估計(jì)的可靠性；在不考慮即期利率擬合法計(jì)算上的復(fù)雜性，其定價(jià)精確度略微優(yōu)于約束折扣擬合法。引入付息效應(yīng)和年利率水平后，標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差并沒(méi)有顯著下降，如表2所示。通過(guò)樣本區(qū)間內(nèi)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)化選擇，擬合的精確度有了進(jìn)一步的提高，即期利率擬合法的定價(jià)精確度優(yōu)于約束貼現(xiàn)擬合法，印證了Vasicek和Fong關(guān)于利率曲線的較優(yōu)擬合函數(shù)是指數(shù)函數(shù)而非二項(xiàng)式的觀點(diǎn)。

從圖1可以看出，無(wú)約束貼現(xiàn)擬合法得出的0.5年期短期利率出現(xiàn)了負(fù)值，這與現(xiàn)實(shí)不相符合；約束貼現(xiàn)擬合法比無(wú)約束貼現(xiàn)擬合法呈現(xiàn)更合理的利率期限結(jié)構(gòu)模式，中期利率曲線呈先上升后走低，而長(zhǎng)期利率曲線呈緩慢的上升趨勢(shì)；即期利率擬合法與約束貼現(xiàn)擬合法(節(jié)點(diǎn)T5=6,T6=10和T7=15)所得的利率曲線基本上一致；約束貼現(xiàn)擬合法中節(jié)點(diǎn)T5=5,T6=8,T7=15的擬合與節(jié)點(diǎn)T5=7,T6=10,T7=15的擬合的曲線相似，隨著期限的增加呈單調(diào)平緩上升趨勢(shì)。

從圖2可以看出，節(jié)點(diǎn)T5=6,T6=10和T7=15的B樣條函數(shù)擬合的結(jié)果最接近真實(shí)的債券價(jià)格，而無(wú)約束的B樣條函數(shù)擬合，節(jié)點(diǎn)T5=5,T6=8和T7=15的B樣條函數(shù)擬合和節(jié)點(diǎn)T5=7,T6=10和T7=15的B樣條函數(shù)擬合的結(jié)果均明顯高出真實(shí)的債券價(jià)格，進(jìn)一步比較圖3給出的不同節(jié)點(diǎn)定位B樣條估計(jì)定價(jià)誤差三維分布，可見(jiàn)，B樣本內(nèi)有相同節(jié)點(diǎn)數(shù)目而不同節(jié)點(diǎn)的定位選擇估計(jì)系數(shù)定價(jià)誤差有著重大影響。

圖1 不同節(jié)點(diǎn)組合下的利率期限結(jié)構(gòu)擬合 圖2 不同節(jié)點(diǎn)數(shù)目估計(jì)的債券價(jià)格結(jié)果比較

3．模型改進(jìn)——付息效應(yīng)與節(jié)點(diǎn)優(yōu)化

上海證券交易所上市交易的國(guó)債市場(chǎng)收益(2002.9.23-2004.6.24)數(shù)據(jù)表明，大部分的年付息國(guó)債的市場(chǎng)收益率比半年付息國(guó)債來(lái)得低，這主要是由于半年付息國(guó)債都是長(zhǎng)期國(guó)債,在市場(chǎng)收益率中包含流動(dòng)性溢價(jià)，但是這部分國(guó)債的定價(jià)模型中卻不存在付息效應(yīng)，筆者在上述三種B樣條擬合模型中增加付息次數(shù)因子和年付息水平因子，表2給出的回歸結(jié)果b8表明付息次數(shù)和年付息因子的估計(jì)系數(shù)均不顯著，這可能是因?yàn)榘肽旮断?guó)債的個(gè)數(shù)偏少(僅占樣本國(guó)債數(shù)量的12%)有關(guān)。

圖3 不同節(jié)點(diǎn)定位B樣條估計(jì)的定價(jià)誤差 圖4 不同節(jié)點(diǎn)數(shù)目和估計(jì)方法的貼現(xiàn)函數(shù)

本文考慮10個(gè)節(jié)點(diǎn)(-3,-2,-1,0,8,15,20,25,30,35)和15個(gè)節(jié)點(diǎn)(-3,-2,-1,0,4,7,10,12,15,18,20,22,25,30,35)兩種基本的節(jié)點(diǎn)組合，對(duì)于立體樣條函數(shù)而言，10個(gè)節(jié)點(diǎn)與15個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的B樣條函數(shù)個(gè)數(shù)分別為6條和11條，分別擬合國(guó)債10308在期間2003.10.8-2004.6.25內(nèi)的價(jià)格曲線如圖5(d)所示。圖5(d)顯示15個(gè)節(jié)點(diǎn)組合擬合的定價(jià)誤差明顯小于10個(gè)節(jié)點(diǎn)，而圖4中貼現(xiàn)函數(shù)曲線卻表明15個(gè)節(jié)點(diǎn)組合的折現(xiàn)曲線波動(dòng)幅度相比10個(gè)節(jié)點(diǎn)組合的較大，但更符合折現(xiàn)函數(shù)趨向于單調(diào)減少的基本特征。

圖5 不同估計(jì)技術(shù)與節(jié)點(diǎn)數(shù)量的擬合誤差對(duì)比

具有相同節(jié)點(diǎn)數(shù)目而節(jié)點(diǎn)位置不同的組合對(duì)于擬合定價(jià)誤差的影響，筆者考察了上述10個(gè)節(jié)點(diǎn)中的T5，T6和T7在樣本期內(nèi)的各種可能組合，運(yùn)用約束貼現(xiàn)擬合模型分別求出國(guó)債10308在2003年6月24日相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差如圖3所示，通過(guò)選取最小化的標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)組合(T5=6,T6=10和T7=15)即為最優(yōu)的樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)組合。筆者還將T5，T6和T7引入約束貼現(xiàn)擬合模型進(jìn)行非線性估計(jì)，得出更精確的樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)的組合。值得注意的是，上述各種樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)組合下的模型系數(shù)估計(jì)結(jié)果都是顯著的，進(jìn)一步顯示貼現(xiàn)約束B(niǎo)樣條函數(shù)估計(jì)在穩(wěn)定性和可靠性上提升。

4．L1樣條估計(jì)

雖然B樣條函數(shù)模型經(jīng)過(guò)上述改進(jìn)能夠顯著地提高定價(jià)精確性和減少貼現(xiàn)函數(shù)波動(dòng)程度，但是過(guò)多人為干預(yù)和定價(jià)精確度的進(jìn)一步提高仍是急待解決的問(wèn)題。為此進(jìn)一步引入L1樣條擬合國(guó)債10308(面值100元，到期日2013年9月17日，票面利率3.02%)在期間2003.10.8-2004.6.25內(nèi)的價(jià)格曲線，運(yùn)用TOMLAB算法優(yōu)化程序模塊解決。首先編寫(xiě)Matlab命令文件定義債券定價(jià)公式，通過(guò)雅克比(Jacobian)矩陣實(shí)現(xiàn)定價(jià)可微方程與真實(shí)債券價(jià)格的最優(yōu)線性逼近，將約束非線性絕對(duì)值求和最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束線性最小化問(wèn)題，然后運(yùn)用離散非線性?xún)?yōu)化算法SNOPT(Sparse Nonlinear Optimizer)調(diào)用廣義拉格朗日函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的準(zhǔn)牛頓近似作為優(yōu)化算法的路徑，使用迭代法逐步逼近問(wèn)題的可行域或最優(yōu)解。

為了揭示三次多項(xiàng)式函數(shù)的個(gè)數(shù)對(duì)L1樣條函數(shù)擬合的影響，筆者通過(guò)比較相同三次多項(xiàng)式個(gè)數(shù)的B樣條函數(shù)，圖5(b)表明具有相同節(jié)點(diǎn)數(shù)量與組合(-3,-2,-1,0,8,15,20,25,30,35)的L1樣條的擬合誤差比B樣條顯著變小，B樣條擬合傾向刻畫(huà)國(guó)債價(jià)格的長(zhǎng)期變化趨勢(shì)，而L1樣條則更強(qiáng)調(diào)國(guó)債價(jià)格短期變動(dòng)特征的捕捉，L1樣條的貼現(xiàn)函數(shù)的波動(dòng)性則明顯比B樣條更頻繁，但L1樣條擬合的貼現(xiàn)函數(shù)的波動(dòng)頻率增加的程度明顯低于B樣條函數(shù)。進(jìn)一步提高樣條節(jié)點(diǎn)數(shù)目，圖5(a,c)表明L1樣條和B樣條在15個(gè)節(jié)點(diǎn)下的擬合精確度比在10個(gè)節(jié)點(diǎn)的情形均有提高，表3數(shù)據(jù)說(shuō)明在運(yùn)用相同數(shù)目節(jié)點(diǎn)擬合債券價(jià)格數(shù)據(jù)時(shí)，L1樣條比B樣條的擬合誤差明顯降低，而圖4貼現(xiàn)函數(shù)曲線顯示L1樣條與B樣條節(jié)點(diǎn)數(shù)目的提高會(huì)導(dǎo)致貼現(xiàn)函數(shù)波動(dòng)性變化頻率增大，這與貼現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)遞減性特征相背離，同時(shí)L1的擬合隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加對(duì)國(guó)債價(jià)格近期變動(dòng)的曲線描繪更細(xì)致和精確，但L1樣條在特定節(jié)點(diǎn)數(shù)目下比B樣條的擬合耗時(shí)更長(zhǎng)，而且隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目和擬合數(shù)據(jù)量的增大明顯增長(zhǎng)(如表3)。再進(jìn)一步比較B樣條與L1樣條的貼現(xiàn)函數(shù)曲線的波動(dòng)特征，L1樣條擬合的貼現(xiàn)函數(shù)曲線的變化范圍在0.1-0.3之間(均值為0.2)，處于合理的波動(dòng)期間，而B(niǎo)樣條擬合的貼現(xiàn)函數(shù)卻更多地受到人為節(jié)點(diǎn)數(shù)目與組合的干擾。

表3 L1樣條與B樣條的擬合誤差與計(jì)算耗時(shí)

四 基本結(jié)論

本文針對(duì)國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)方法研究主要集中于息票剝離法、多項(xiàng)式樣條函數(shù)估計(jì)、指數(shù)樣條函數(shù)估計(jì)和B樣條函數(shù)估計(jì)，且相應(yīng)的估計(jì)定價(jià)誤差較大和貼現(xiàn)函數(shù)的精確度較低的問(wèn)題，對(duì)B樣條函數(shù)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)優(yōu)化組合和付息效應(yīng)因子的模型改進(jìn)，比較無(wú)約束貼現(xiàn)回歸、約束貼現(xiàn)回歸和即期利率回歸，借助標(biāo)準(zhǔn)定價(jià)誤差進(jìn)行樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)的敏感性分析，通過(guò)估計(jì)誤差最小化搜索程序和樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)組合，獲取最優(yōu)的B樣條函數(shù)的樣本內(nèi)節(jié)點(diǎn)分布結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步降低樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)誤差，擬合結(jié)果顯示改進(jìn)后的B樣條能夠增強(qiáng)對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)可靠性, 降低除節(jié)點(diǎn)選擇外的因素干擾。

B樣條函數(shù)經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)數(shù)目和定位的人工篩選后能夠進(jìn)一步降低擬合誤差，而提供的貼現(xiàn)函數(shù)的波動(dòng)程度會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加而有所增大。L1樣條通過(guò)最優(yōu)化技術(shù)有效地提高擬合精確度，但其貼現(xiàn)函數(shù)的波動(dòng)性相比B樣條函數(shù)而言隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)目的增加而緩慢增大，運(yùn)用自適應(yīng)算法可以進(jìn)一步改進(jìn)L1樣條節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確定位和改善定價(jià)的機(jī)制，同時(shí)L1樣條只要求貼現(xiàn)函數(shù)一階平滑條件，放寬了B樣條函數(shù)對(duì)貼現(xiàn)函數(shù)的二階平滑要求，從而更符合債券價(jià)格數(shù)據(jù)序列本身具有的不平滑性特征，因而較大程度提高了近似能力和解決了貼現(xiàn)函數(shù)的波動(dòng)性問(wèn)題。

國(guó)際上各種前沿的利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)模型，從指數(shù)樣條函數(shù)、致密樣條函數(shù)、B樣條函數(shù)到Chebyshev函數(shù)等，一步步地降低利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)技術(shù)存在的誤差，但是最為快捷、有效而準(zhǔn)確的靜態(tài)估計(jì)方法與理論的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)仍待進(jìn)一步深入的研究和探討。盡管本文借助B樣條函數(shù)估計(jì)優(yōu)化模型和L1樣條估計(jì)技術(shù)，進(jìn)一步改善了中國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)靜態(tài)估計(jì)方法的精確度，但最優(yōu)擬合函數(shù)形式和曲線平滑度問(wèn)題并未得到完全解決，有關(guān)報(bào)價(jià)誤差、買(mǎi)賣(mài)差價(jià)、稅收效應(yīng)和流動(dòng)性差異等因素對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)估測(cè)方法的影響有待深入分析[10]99-105。

參考文獻(xiàn)：

[1] Nelson C R, Siegel A F. Parsimonious modeling of yield curves[J]. Journal of Business, 1987, 60(4).

[2] McCulloch J H. Measuring the term structure of interest rate[J]. Journal of Business, 1971, 44(1).

[3] Steeley J. Estimating the glit-edged term structure: basis splines and confidence intervals[J]. Journal of Business Finance & Accounting, 1991,18 (4).

[4] Coleman, Thomas S, Fisher, Lawrence, Ibbotson, Roger G. Estimating the term structure of interest rates from data that include the prices of coupon bonds[J]. Journal of Fixed Income, 1992, 2(2).

[5] Chambers, Donald R, Carleton, Willard T Waldman, Donald W. A New Approach to Estimation of the Term Structure of Interest Rates[J]. Journal of Financial & Quantitative Analysis, 1984, 19(3).

[6] Vasicek, Oldrich A, Fong H Gifford. Term structure modeling using exponential splines[J]. Journal of Finance, 1982, 37(2).

[7] 鄭振龍，林 海. 中國(guó)市場(chǎng)利率期限結(jié)構(gòu)的靜態(tài)估計(jì)[J]. 武漢金融, 2003, 39(3).

[8] 傅曼麗，董榮杰，屠梅曾. B-樣條法構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)的實(shí)證研究[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版，2007, 39(8).

[9] Cheng H, Fang S C, Lavery J E. Univariate cubic L1splines-a geometric programming approach, Mathematical Methods of Operations Research[J]. 2002, 56(2).

[10] 吳澤福. 利率期限結(jié)構(gòu)波動(dòng)效應(yīng)的協(xié)整實(shí)證[J]. 華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2010, 31(1).