時標(biāo)上的一類二元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂性

尚本罡,李文靜

(1.河南索凌電器有限公司，河南 鄭州 450007;2.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

時標(biāo)上動力系統(tǒng)的研究可以追溯到它的創(chuàng)始人Stefen Hilger[1]. 這是一個新的研究領(lǐng)域，有著相當(dāng)廣泛的理論探索空間和實際應(yīng)用意義,它的研究范圍已經(jīng)涉及動力方程的振動性、周期性和邊值問題等.本文考慮時標(biāo)上一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性和收斂性.

1 引 言

2002年,朱惠延考慮了二元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)

2006年又進(jìn)一步考慮離散系統(tǒng)[3]

根據(jù)時標(biāo)的特點：統(tǒng)一連續(xù)分析和離散分析，2008年，吳海華[4]考慮了時標(biāo)上的一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)

的漸進(jìn)性.其中，信號函數(shù)為：

本文考慮時標(biāo)上的二元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)

(1)

其中，信號函數(shù)為：

(2)

(1)式中，T為無界時標(biāo)，△為delta導(dǎo)數(shù)，τ>0為突觸滯后.

設(shè)X=C([-τ， 0]T，R2)為相空間，對任意給定的初值Φ=(φ，ψ)∈X，依次在[0，τ]T，[τ，2τ]T，[2τ，3τ]T…上解方程(1)，可得(1)的唯一解(x(t)，y(t)).其滿足初始條件xΦ|[-τ，0]T=φ，yΦ|[-τ，0]T=ψ.本文討論對任意的Φ=(φ，ψ)∈X，當(dāng)t→+∞時(x(t)，y(t))的極限性態(tài).文中總假定初始函數(shù)Φ∈X++∪X+-∪X-+∪X--=X.這里X±±={Φ∈X∶Φ=(φ，ψ)，φ∈C±，ψ∈C±}， 其中C+表示在[-τ，0]T上只有有限個零點、不變號的右稠密連續(xù)函數(shù)φ：[-τ，0]T→[β，+∞)的全體；而C-表示在[-τ，0]T上只有有限個零點、不變號的右稠密連續(xù)函數(shù)φ：[-τ，0]T→[-∞，β)的全體.顯然，X中包含了除零點之外的一切常函數(shù).本文將證明一旦Φ∈X確定下來，(x(t)，y(t))的性態(tài)以及t→ +∞時的極限行為完全由(φ(0)，ψ(0))決定.本文要證明的主要結(jié)果如下：

定理1 設(shè)β>1， 若Φ∈X++∪X+-∪X-+∪X--， 則當(dāng)t→+∞時， (x(t)，y(t))→(0，0).

定理2 設(shè)β=1,那么

(1)如果Φ∈X--，則當(dāng)t→ +∞時，

(x(t),y(t))→(0,0)；

(2)如果Φ∈X++，則當(dāng)t→ +∞時，

(x(t),y(t))→(1,1).

定理3 設(shè)0<β<1， 如果Φ∈X--， 則當(dāng)t→ +∞時， (x(t),y(t))→(0,0).

2 預(yù)備知識

1988年，Stefan Hilger 在他的博士論文中引進(jìn)時標(biāo)理論，目的是統(tǒng)一連續(xù)和離散分析.近年來，時標(biāo)上的動力系統(tǒng)由于廣泛的應(yīng)用前景，受到了數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注.時標(biāo)微積分理論的基本知識如下：

實數(shù)集中的任意非空閉子集稱為時標(biāo)，記作T.

設(shè)t∈T，定義向前(向后)跳躍算子σ(t)=

inf {τ>t∶τ∈T}(ρ(t)=sup{τ

若σ(t)>t， 稱t是右稠密的；若ρ(t)infT， 且ρ(t)=t， 則稱t為左稠密的；如果t既是右稠密又是左稠密的，稱t為稠密的.定義微量μ∶T→R，μ(t)=σ(t)-t.

定義1 設(shè)t∈T， 對?ε>0，存在t的δ鄰域U(U=(t-δ，t+δ)T)，使得：

|[f(σ(t))-f(s)]-f△(t)[σ(t)-s]|≤

ε|σ(t)-s|，s∈U.

稱f△(t)為函數(shù)f在點t處的△導(dǎo)數(shù).對?t∈T，若f△(t)存在，稱f是△可微的.

定義3 設(shè)t∈T， 函數(shù)f∶T→R， 那么

(1)如果f在t點處可微，則f在t點處連續(xù)；

(2)如果f在t點處連續(xù)且t是右離散點，則f在t處可微， 并且

(3)如果f在t點處連續(xù)且t是右稠密點，則

(4)如果f在t點處可微， 則f(σ(t))=

f(t)+μ(t)f△(t).

定義4 稱函數(shù)f∶T→R是右稠密連續(xù)的(記Crd)，如果函數(shù)f在T中的右稠密點處連續(xù)，在左稠密點處左極限存在.

定義5 如果p∈R(R={p∶T→R， 1+p(t)μ(t)≠0})，定義時標(biāo)上的指數(shù)函數(shù)為：

這里ξμ(τ)(p(τ))=

定義6 如果p∈R，函數(shù)f∶T→R是右稠密連續(xù)的，稱初值問題

全文假設(shè)1-μ(t)>0， 記[a，b]T=[a，b]∩T.

3 結(jié)論的證明

為了證明文中的主要結(jié)論，需引入以下引理：

引理1[1]如果p∈R，a，b，c∈T，則

定理1的證明：由(1)和(2)可知，方程(1)的形式共有四種，即：

(3)

(4)

(5)

(6)

由(3)(4)(5)(6)可知：

(7)

根據(jù)定理7可得:

(8)

(9)

因為當(dāng)t≥0時，總有：

(10)

從而當(dāng)t∈[t*,+∞)T是恒有：

(11)

解得：

(12)

(x(t),y(t))→(0,0).

定理2的證明：(1)設(shè)β=1，如果Φ∈X--， 當(dāng)t∈[0,τ]T時，由(1)和(2)可知，方程(1)可寫為：

求解得：

(13)

由于e-1(t,0)∈[0,1]，所以

x(t)=e-1(t,0)φ(0)<β，

y(t)=e-1(t,0)ψ(0)<β.

那么當(dāng)t∈[τ,2τ)T時，(x(t),y(t))滿足：

求解得：

那么x(t)<β，y(t)<β.以此類推，當(dāng)

t∈[(k-1)τ,kτ]T(k∈Z+)時， 恒有：

因此, 當(dāng)t→+∞時，(x(t),y(t))→(0,0).

類似定理2中(1)的方法可得其他的結(jié)論，在此略.

4 結(jié) 論

本文利用時標(biāo)理論給出了定理的證明.顯然,當(dāng)時標(biāo)T=R時，方程(1)可改寫為：

(17)

信號函數(shù)為：

這時由于σ(t)=t，μ(t)=0，那么定理1、定理2、定理3對于方程(17)成立.

當(dāng)時標(biāo)T=N時，方程(1)可改寫為：

(18)

信號函數(shù)

這時由于σ(t)=t+1，μ(t)=1，那么定理1、定理2、定理3對于方程(18)成立.

本文的結(jié)論包含了上述兩方程組的結(jié)論,利用時標(biāo)理論將微分方程及其離散形式結(jié)合起來研究.同時從證明的結(jié)果可知，系統(tǒng)(1)的收斂性與信號傳輸函數(shù)f和閥值β有關(guān)， 不同的傳輸函數(shù)f和閥值β將直接影響系統(tǒng)(1)的收斂性. 本文只是對信號函數(shù)(2)及閥值ξ=β(β>0)的情況作了一些簡單探討，至于ξ的其他情況，今后將做進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

[1] BOHNER M,PETERSON A.Dynamic equations on time scales[M].Boston:Birkhauser,2001.

[2] 朱惠延.一類二元人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的漸進(jìn)性[J]．南華大學(xué)學(xué)報，2002，16(1)：50-53.

[3] ZHU H, WANG L. Convergence and periodicity of solutions for a discrete-time neural networks model[J].Journal of Biomathematics, 2006, 21(2):177-183.

[4] 吳海華.時標(biāo)上一類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的漸進(jìn)性[J].河南工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，(2):72-74.