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    運(yùn)用Drucker-Prager準(zhǔn)則的深埋圓形硐室彈塑性分析

    2010-11-26 02:15:32陳國祥郭兵兵
    關(guān)鍵詞:粘結(jié)力彈塑性摩擦角

    陳國祥,郭兵兵

    (河南工程學(xué)院 安全工程系,河南 鄭州 451191)

    地下硐室是巖石工程建造最多的地下構(gòu)造物,如公路和鐵路的隧道、地下廠房、礦山豎井等.它們有的具有圓形斷面的特點(diǎn),而其他形狀的斷面也可作近似圓斷面來處理.對(duì)硐室圍巖進(jìn)行彈塑性區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變分析,將直接指導(dǎo)著地下硐室的施工與設(shè)計(jì)工作.關(guān)于圓形硐室圍巖的彈塑性分析一直廣泛引用修正的Fenner 方程,它基于的屈服條件為庫侖-莫爾準(zhǔn)則[1,2].庫侖-莫爾屈服準(zhǔn)則并沒有考慮中間主應(yīng)力對(duì)屈服特性的影響,而研究表明,中間主應(yīng)力對(duì)巖石屈服還是有一定的影響作用的[3-5].但由于傳統(tǒng)因素,工程界一直沿襲至今.Drucker-Prager準(zhǔn)則計(jì)入了中間主應(yīng)力的影響,又考慮靜水壓力的作用,克服了基于庫侖-莫爾準(zhǔn)則的不足.因此,本文將以Drucker-Prager準(zhǔn)則為屈服條件,對(duì)深埋圓形硐室圍巖作彈塑性分析.

    1 塑性區(qū)的應(yīng)力狀態(tài)

    1.1 基本假設(shè)

    圍巖為各向同性、均勻的連續(xù)介質(zhì),無限長(zhǎng)巷道處于原巖應(yīng)力為p0的均勻應(yīng)力場(chǎng)中,側(cè)壓系數(shù)λ=1,巷道斷面為圓形,屬軸對(duì)稱問題,可作平面應(yīng)變處理.符合深埋條件,埋深大于或等于20倍巷道半徑,其模型見圖1.

    圖1 圓形硐室圍巖彈塑性分析模型Fig.1 Elastic and plastic analysis model of circular roadway for surrounding rocks

    1.2 塑性區(qū)應(yīng)力

    將Drucker-Prager準(zhǔn)則作為巖石進(jìn)入塑性狀態(tài)的判據(jù),該起塑條件[2,6]為:

    (1)

    當(dāng)λ=1時(shí),可認(rèn)為切向應(yīng)力σθ為最大主應(yīng)力,徑向應(yīng)力σr為最小主應(yīng)力,而軸向應(yīng)力σz為中間主應(yīng)力,則I1、J2改寫成:

    I1=σii=σθ+σr+σz

    (2)

    (3)

    軸對(duì)稱問題的平衡方程為:

    (4)

    這兒塑性區(qū)的應(yīng)力符號(hào)(σθp、σrp)在腳標(biāo)上加以區(qū)分.

    設(shè)硐室圍巖塑性區(qū)體積應(yīng)變?chǔ)舖為0[1,2],對(duì)平面應(yīng)變?chǔ)舲=0和塑性區(qū)體積應(yīng)變?chǔ)舖=0的情況,軸向應(yīng)力σzp與σθp、σrp的關(guān)系[7]為:

    (5)

    將式(5)、(3)、(2)代入式(1)得:

    (6)

    代入式(4)得:

    (7)

    解此微分方程并利用邊界條件:r=rα、σrp=pα可得,

    (8)

    (9)

    1.3 塑性區(qū)半徑

    通常將彈塑性分界點(diǎn)稱作為塑性區(qū)半徑.根據(jù)條件:r=Rp,σθp=σθe;σrp=σre.利用式(8)、式(9)和當(dāng)λ=1時(shí),彈性應(yīng)力應(yīng)滿足的條件:σre+σθe=2p0,建立如下公式:

    (10)

    (11)

    由上式看出,塑性區(qū)半徑與巷道半徑、原巖應(yīng)力、圍巖內(nèi)摩擦角φ、粘結(jié)力c以及支護(hù)阻力有關(guān).上式還表明,圍巖具有自承能力,對(duì)于一給定的pa,硐室圍巖會(huì)通過調(diào)整塑性圈半徑來維持自身的平衡.支護(hù)阻力越大,塑性區(qū)半徑越小.對(duì)于不同埋深的硐室,在圍巖性質(zhì)變化不大的情況下,深部巷道要想獲得與淺部巷道相同或相近的穩(wěn)定性,就必須施加更大的支護(hù)阻力.

    2 彈性區(qū)的應(yīng)力狀態(tài)

    圍巖彈性區(qū)的應(yīng)力可直接引用平面應(yīng)變軸對(duì)稱的結(jié)果:

    (12)

    (13)

    式中,σR0為塑性區(qū)邊界處的徑向應(yīng)力.

    由式(8)得塑性區(qū)邊界處的徑向應(yīng)力為:

    (14)

    根據(jù)式(12)、(13)、(14),即可確定彈性區(qū)內(nèi)應(yīng)力.

    對(duì)于c=5 MPa,φ=30°,Rp/rα=1.5,pα=0.4 MPa,由式(10)、(14)算得p0=28.2 MPa,σR0=10.5 MPa,用MATLAB可繪出硐室開挖后應(yīng)力(無標(biāo)度)重分布曲線如圖2所示.

    圖2 硐室開挖后應(yīng)力(無標(biāo)度)重分布曲線Fig.2 Dimensionless stresses redistribution curves

    3 與修正的Fenner 方程比較

    松動(dòng)圈理論[8,9]認(rèn)為,松動(dòng)圈半徑,即塑性區(qū)半徑是硐室進(jìn)行支護(hù)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)之一.因此,有必要對(duì)修正的Fenner 方程和本文推導(dǎo)得的塑性區(qū)半徑作一比較.修正的Fenner 方程確定的塑性區(qū)半徑為:

    (15)

    式(11)與式(15)比較,可知其影響因素均為巷道半徑、原巖應(yīng)力、圍巖內(nèi)摩擦角φ和粘結(jié)力c以及支護(hù)阻力.兩種準(zhǔn)則下塑性區(qū)半徑的變化規(guī)律比較如圖3和圖4所示.

    圖3 塑性圈半徑隨內(nèi)摩擦角φ(Pa=0.4 MPa;P0=15 MPa; C=5 MPa)和原巖應(yīng)力P0(P0=15 MPa;C=5 MPa;φ=30°)的變化規(guī)律Fig.3 Variation of the plastic loosening zone radius R with internal friction angle φ and in-situ rock stress P0

    圖4 塑性圈半徑隨粘結(jié)力C(Pa=0.4 MPa;P0=15 MPa; φ=30°)和支護(hù)阻力Pa(P0=15 MPa;C=5 MPa; φ=30°)的變化規(guī)律Fig.4 Variation of the plastic loosening zone radius R with the bonding strength C and the support capacity

    由圖3和圖4可以看出,兩者的變化規(guī)律具有一致性.而且,在同等條件下,基于Drucker-Prager準(zhǔn)則推導(dǎo)出的塑性圈半徑要大于修正的Fenner 方程得到的塑性圈半徑.這表明,中間主應(yīng)力對(duì)巷道塑性圈半徑大小有一定的影響,其影響程度主要與公式(11)和(15)中的四大因素有關(guān).進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),內(nèi)摩擦角在20°~45°內(nèi),粘結(jié)力較大時(shí),兩者的塑性圈半徑相差并不大,但粘結(jié)力較小時(shí)兩者相差較大,且相差趨勢(shì)越來越明顯.這說明,如對(duì)軟巖進(jìn)行支護(hù)設(shè)計(jì)時(shí),采用基于Drucker-Prager準(zhǔn)則推導(dǎo)出的塑性圈半徑作為支護(hù)設(shè)計(jì)依據(jù)時(shí)是偏安全的.

    4 結(jié) 論

    (1)基于Drucker-Prager準(zhǔn)則推導(dǎo)出的塑性圈半徑隨影響因素的變化規(guī)律與修正的Fenner 方程變化規(guī)律基本一致.而且,由于考慮了中間主應(yīng)力的影響,在同等影響因素下,前者的塑性圈半徑較后者大.圍巖內(nèi)摩擦角在20°~45°以及粘結(jié)力較大時(shí),兩者的塑性圈半徑相差并不大,但粘結(jié)力較小時(shí)兩者相差較大,且相差趨勢(shì)越來越明顯.

    (2)由于考慮了中間主應(yīng)力對(duì)巖石屈服的影響作用,克服了修正的Fenner 方程的不足.因此,該推導(dǎo)結(jié)果可用于現(xiàn)場(chǎng)巷道支護(hù)設(shè)計(jì)依據(jù).

    (3)本文推導(dǎo)基于的準(zhǔn)則實(shí)際上也是一種理想彈塑性模型,并未考慮到巷道圍巖的破壞或應(yīng)變軟化特征.如果考慮到巷道圍巖的破壞或應(yīng)變軟化特征,應(yīng)該可以得到更近實(shí)際的圓形巷道周圍彈塑性解,這還需進(jìn)一步研究探討.

    參考文獻(xiàn):

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