閉合旋轉(zhuǎn)薄殼的非線性模態(tài)方程*

孟慶照, 李小菊, 張志良

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

閉合旋轉(zhuǎn)薄殼的非線性模態(tài)方程*

孟慶照, 李小菊, 張志良

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

采用Sanders薄殼理論和虛功原理推導(dǎo)了閉合旋轉(zhuǎn)薄殼的幾何非線性模態(tài)方程,其系數(shù)計算公式適合于用數(shù)值方法確定.用已有理論和解析結(jié)果證實了本文工作的正確性.Donnell非線性淺殼理論所得到的平方非線性的系數(shù)值與本文結(jié)果基本相同,而立方非線性的系數(shù)值則比本文結(jié)果明顯偏小.

旋轉(zhuǎn)薄殼；非線性；模態(tài)方程;Sanders薄殼理論；離散

0 引 言

薄殼結(jié)構(gòu)在航空、航天、船舶、建筑、核能等工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,非線性振動將破壞其穩(wěn)定性.直接采用有限元等數(shù)值方法計算薄殼非線性振動的時間歷程不僅計算成本高,而且海量般多次迭代運算存在可靠性問題.因此,將薄殼正確離散為有限個自由度系統(tǒng)是分析研究薄殼非線性振動的關(guān)鍵.在此過程中，通常采用線性模態(tài)的疊加離散連續(xù)系統(tǒng)[1-3].對存在幾何非線性任意形狀的彈性薄殼,Radwan等[1]離散給出了有限自由度非線性模態(tài)振動方程,但方程過于復(fù)雜,且不適合于數(shù)值計算,因此，它的應(yīng)用受到限制.即使在圓柱殼這種形狀最為簡單的旋轉(zhuǎn)薄殼的離散中,也不直接采用文獻[1]的結(jié)果,而是通過Galerkin 方法[2]、Lagrangian方程等[3]得到有限自由度的非線性振動方程.本文推導(dǎo)具有幾何非線性的閉合旋轉(zhuǎn)薄殼的非線性模態(tài)方程,利用周向三角函數(shù)解的正交性,得到了較為簡單的結(jié)果,并給出了方程中系數(shù)的有限元數(shù)值計算公式.最后,利用已有理論和解析結(jié)果證實了本文結(jié)果的正確性.

1 非線性模態(tài)方程

對存在幾何非線性的旋轉(zhuǎn)閉合薄殼,其應(yīng)變勢能含有3次和4次項,即

式(1)中:r,θ分別為柱坐標(biāo)系中的徑向坐標(biāo)和角坐標(biāo);s為薄殼母線坐標(biāo);q代表薄殼的3個位移分量;下標(biāo)代表q的冪次.

由虛功原理可寫出彈性薄殼的非線性運動方程[4]

式(3)中,h為薄殼厚度.可見,對旋轉(zhuǎn)閉合薄殼,方程(2)的各函數(shù)具有相同的積分形式.

將q展開為線性模態(tài)的疊加,對旋轉(zhuǎn)薄殼,模態(tài)的周向解是三角函數(shù).為方便以下運算,采用復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式,即

式(5)中:c.c.代表其前邊項的共軛復(fù)數(shù);g為任意正整數(shù),根據(jù)實際問題確定.模態(tài)yn(s,θ)=Yn(s)einθ,且有以下關(guān)系:

將式(5)代入運動方程(2)的前2項,得

式(8)中:ωn為與模態(tài)yn對應(yīng)的固有頻率;質(zhì)量mn為

為得到P21(q,δq)的模態(tài)表達式,首先由式(5)得

因而有

經(jīng)過與前述相同的推導(dǎo),得到立方非線性的模態(tài)表達式

式(13)中的P211和P1111項分別為應(yīng)變能P4(q)的二階和三階變分.

將式(8)、式(12)和式(13)代入方程(2),得到離散化的旋轉(zhuǎn)閉合薄殼非線性模態(tài)方程

可見,方程中出現(xiàn)了2次和3次非線性項,除模態(tài)自身的非線性項外,還出現(xiàn)了模態(tài)間的非線性耦合項.

2 方程系數(shù)的確定

僅當(dāng)簡單支撐邊界條件下的圓柱殼,方程的系數(shù)可以解析求得，對一般形狀的旋轉(zhuǎn)薄殼,這些系數(shù)必須借助數(shù)值方法得到,筆者采用的是有限元方法和Sanders薄殼理論[4].據(jù)Sanders理論,式(1)中的應(yīng)變能密度分別為:

式(15)～式(17)中：伸長勁度K=Eh(1-v2);線性應(yīng)變分量εs,εθ,εsθ,κs,κθ和κsθ以及角位移βs,βθ和β與位移的關(guān)系見文獻[4].

據(jù)位移分量的相位關(guān)系,線性模態(tài)yn表示為

類似地,

位移U(n)和節(jié)點廣義位移y(n)關(guān)系由有限元中的形函數(shù)矩陣N表出:

據(jù)式(5),虛位移δq可表示為

(23)

據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法得線性本征值問題

(25)

求得本征值后,據(jù)式(9)可算得質(zhì)量mn.

式(28)中:k=n-j;列矩陣ξ和η的分量為

式(29)中的v1=1-v.雖然由對式(12)的討論知,總有j≥1,但是為了保持公式的普適性，式(29)中引入符號函數(shù)s(j),以對

式(31)中:l=n-j-k;列矩陣λ的分量為

式(32)中:v2=1+v;另外2個三次非線性項的系數(shù)由變分規(guī)則直接據(jù)下式計算:

至此,非線性模態(tài)方程(14)的系數(shù)計算公式已全部給出.首先由式(24)計算線性固有頻率和模態(tài),然后由式(8)計算線性項系數(shù),最后根據(jù)式(28)、式(30)、式(31)和式(33)計算非線性項系數(shù),式(28)和式(33)中諸量通過式(20)和式(21)由已知的線性模態(tài)位移計算.

3 應(yīng)用和驗證例

文獻[2]研究了兩端為簡單支撐的圓柱殼受橫向激勵的非線性振動,其激勵為

式(34)中:ξ=s/L;L為圓柱殼長度.其選用的模態(tài)為

式(35)中的橫向位移w前的負號是由于文獻[2]的w以內(nèi)法線為正方向,與本文相反.注意該文為了研究軸對稱模態(tài)對薄殼非線性振動類型(硬彈簧還是軟彈簧)的貢獻選用了3個軸對稱模態(tài),因此,本文給出的模態(tài)展開式(5)和非線性模態(tài)方程(14)必須稍作推廣.考慮到最后一個軸對稱模態(tài)基本無貢獻[2],且又不失一般性,以下推導(dǎo)中不計該模態(tài).對于2個軸對稱模態(tài),按如下2步列寫方程:首先僅考慮1個軸對稱模態(tài)α0y0和非軸對稱模態(tài),按方程(14)寫出方程;然后,按代數(shù)運算法則對所得方程作如下替換:

得

(37)

另一個軸對稱模態(tài)方程與上式相似,這里不列出.可以看到,同一個模態(tài)方程中各項α的下標(biāo)值之和相同,對非軸對稱模態(tài)方程(37),該和值為n;對軸對稱模態(tài)方程,該和值為0.或者說,每個模態(tài)方程含有的項為所有模態(tài)乘積的排列組合,該組合的α的下標(biāo)值之和等于模態(tài)的周向波數(shù).注意到這點,并注意α的排列組合和前面系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,對模態(tài)不多的系統(tǒng),方程可容易寫出.

利用α0=c0和αn=(cn-idn)/2,將方程(37)和(38)轉(zhuǎn)換為實系數(shù)方程

式(39)和式(40)中：上標(biāo)撇代表對歸一化時間τ=ωnt求導(dǎo);幅度則由薄殼厚度h歸一化,

文獻[2]所研究的圓柱殼的幾何參數(shù)為長0.2 m,半徑0.1 m,厚度0.247 mm;材料參數(shù)為E=7.102×1010N/m,v=0.31,ρ=2 796 kg/m3，非軸對稱模態(tài)的周向波數(shù)n=6.表1比較了本文和文獻[2]列出的結(jié)果.由表1可知，除系數(shù)h6外,其余結(jié)果差別不大.差別的原因應(yīng)該是本文采用了較為精確的Sanders薄殼理論,而文獻[2]則采用了較為近似的Donnell淺殼理論.但系數(shù)h6如此大的差別,應(yīng)對此作進一步考察.

表1 本文和文獻[2]的系數(shù)值比較

首先證實本文系數(shù)值h6的有效性.在式(17)中僅考慮β4θ,并且在動能和勢能中忽略面內(nèi)慣性和面內(nèi)應(yīng)變,由文獻[1]中的式(50)得

代入具體數(shù)據(jù)算得h6=0.498,與本文數(shù)據(jù)較為接近,這證實了本文結(jié)果的正確性.

鑒于許多作者采用Donnell非線性淺殼理論,有必要考察文獻[2]的h6值為何顯著偏低.當(dāng)周向波數(shù)較大時,由采用相同理論的文獻[5]在附錄B所給出的公式可以推得h6的計算式為

由式(43)算得h6=0.300,與文獻[2]結(jié)果相同.比較式(42)和式(43),看到兩者相差因子3/[2(1-v2)],約為1.6,大致為本文結(jié)果和文獻[2]結(jié)果的倍數(shù).Donnell淺殼理論的近似性主要是忽略了面內(nèi)慣性以及轉(zhuǎn)角中的面內(nèi)位移分量,在求解von Karman形式的運動方程中,面內(nèi)邊界條件和周向位移的連續(xù)性僅滿足積分.對目前周向波數(shù)較大,且振型以w為主的模態(tài),忽略面內(nèi)慣性和面內(nèi)位移分量應(yīng)不至于引起如此大的差異.這種差異極可能是由于面內(nèi)邊界條件和周向位移的連續(xù)性僅滿足積分而造成的.

文獻[3]比較了Donnell,Sanders,Flügge,Novozhilov 4種薄殼理論和Donnell淺殼理論在圓柱殼非線性固有頻率漂移的結(jié)果.前4種理論采用Lagrangian方法,而Donnell淺殼理論采用求解von Karman形式運動方程.發(fā)現(xiàn)5種理論雖然都導(dǎo)致薄殼非線性的軟彈簧特性,但由Donnell淺殼理論所得到的結(jié)果明顯過軟,其他4種理論的結(jié)果基本相近.文獻[3]將其歸因于Donnell淺殼理論忽略了面內(nèi)慣性,從而導(dǎo)致線性軸對稱模態(tài)固有頻率的差異.現(xiàn)在看到Donnell淺殼理論得到明顯過軟的結(jié)果應(yīng)是由于其立方非線性項的系數(shù)值顯著偏低引起,而這種相比于其他理論結(jié)果明顯過軟的事實進一步證實了本文結(jié)果的正確性.

4 結(jié) 論

推導(dǎo)了閉合旋轉(zhuǎn)薄殼的非線性模態(tài)方程,其系數(shù)計算采用Sanders薄殼理論.給出的系數(shù)計算公式適宜于數(shù)值編程實現(xiàn).所得方程可用于研究一般形狀旋轉(zhuǎn)薄殼在任意邊界條件下的靜態(tài)或動態(tài)非線性響應(yīng).已有結(jié)果和解析結(jié)果證實了本文工作的正確性.Donnell非線性淺殼理論所得到的平方非線性的系數(shù)值與本文結(jié)果基本相同,而立方非線性的系數(shù)則明顯偏小.

[1]Radwan H,Genin J.Non-linear mode equations for thin elastic shells[J].Non-Linear Mechanics,1975,10:15-29.

[2]Amabili M,Pellicano F,Paidoussis M P.Non-linear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid,Part II:large-amplitude vibrations without flow[J].J Sound Vib,1999,228(5):1103-1124.

[3]Amabili M.A comparison of shell theories for large-amplitude vibrations of circular cylindrical shells:Lagrangian approach[J].J Sound Vib,2003,264(5):1091-1125.

[4]Maewal A.Finite element analysis of steady nonlinear harmonic oscillations of axisymmetric shells[J].Computer methods in applied mechanics and engineering,1986,58(1):37-50.

[5]Kubenko V D,Kovalchuk P S,Kruk L A.Non-linear interaction of bending deformations of free-oscillating cylindrical shells[J].J Sound Vib,2003,265(2):245-268.

(責(zé)任編輯 杜利民)

Nonlinearmodalequationsforclosedrevolutionshells

MENG Qingzhao, LI Xiaoju, ZHANG Zhiliang

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

Nonlinear modal equations for closed revolution shells were derived according to the virtual work principle by the Sanders nonlinear shell theory. The coefficients of the equations were well-suited for numerical calculation. The obtained results were verified by the known published results. The coefficient values of the square terms derived from the Donnell′s nonlinear shallow-shell theory seemed very close to the present results, whereas the coefficient values of the cubic terms were significantly under-estimated.

revolution shell; nonlinear; modal equation； Sanders nonlinear shell theory; discretization

1001-5051(2010)01-0063-07

2009-11-04

浙江省自然科學(xué)基金資助項目(100039)

孟慶照(1976-),男,河南洛陽人,碩士研究生.研究方向:非線性振動.

張志良

O326

A