簡述三角變換與構(gòu)造法在三角問題中的應(yīng)用

● (鑒湖中學(xué) 浙江紹興 312030)

簡述三角變換與構(gòu)造法在三角問題中的應(yīng)用

●胡惠根(鑒湖中學(xué) 浙江紹興 312030)

三角變換方法靈活且多樣，而構(gòu)造法在三角中的應(yīng)用更是常被人遺忘.本文舉例闡述三角變換與構(gòu)造法的一些應(yīng)用.

1 通過構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形等途徑來解三角問題

例1已知a1cosα1+a2cosα2+…+ancosαn=0，a1cos(α1+1)+a2cos(α2+1)+…+ancos(αn+1)=0，求證：對任意的β∈R,恒有a1cos(α1+β)+a2cos(α2+β)+…+ancos(αn+β)=0.

f(0)=f(1)=0，

因此

(1)

取β=1，得

例2求滿足下式的銳角x：

解將原式變?yōu)橛嘞叶ɡ淼男问剑?/p>

圖1

依題意有AD+DB=4，連結(jié)AB，在Rt△ABC中，

因此點(diǎn)D在AB上.由S△ACD+S△BCD=S△ABC，可得

即

于是

sin(30°+x)=1.

又由x是銳角，得

30°+x=90°，

因此

x=60°.

2 運(yùn)用三角公式代換，套用三角公式解決問題

三角公式在表達(dá)上具有各種不同的特點(diǎn).這些特點(diǎn)使我們能夠運(yùn)用三角換元法，將其他數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為三角問題,并充分發(fā)揮三角公式的特點(diǎn)解決問題.

( )

解令x=tanα，則

因此

于是

故選D.

例4已知集合A={(x，y)|9x2+36y2≤144}，B={k|k2+5=ak+2b，(a，b)∈A}，求集合B.

分析按照題意，即要求關(guān)于k的二次方程k2+5=ak+2b且9a2+36b2≤144的解集.如何恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用條件9a2+36b2≤144成為解決本題的首要目標(biāo).若將條件改寫為9a2+36b2=t2≤144，對比sin2a+cos2a=1，則容易看出此條件宜用三角方法描述，由此得出如下解法.

解由(a，b)∈A，得

9a2+36b2≤144.

即

3k2-tkcosa+15-tsina=0，

因此

Δ=t2cos2a-12(15-tsina)=

-(144-t2)-(tsina-6)2.

因?yàn)?/p>

144-t2≥0，(tsina-6)2≥0，

因此

3 形式類比，通過構(gòu)造公式解決問題

(2005年全國高中聯(lián)賽加試試題)

解法1由條件得

b(az+cx-b)+c(bx+ay-c)-a(cy+bz-a)=0，

即

2bcx+a2-b2-c2=0,

得

同理可得

由a，b，c，x，y，z為正數(shù),知

b2+c2>a2，a2+c2>b2，a2+b2>c2，

因此可構(gòu)造一個(gè)以a，b，c為邊長的銳角三角形ABC,其中

x=cosA，y=cosB，z=cosC，

于是問題就可轉(zhuǎn)化為：在銳角△ABC中，求函數(shù)

f(cosA，cosB，cosC)=

的最小值.因?yàn)?/p>

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，

所以

cotBcotC+cotAcotC+cotAcotB=1.

令μ=cotA，υ=cotB，ω=cotC，則μ，υ，ω∈R+，代入可得

μυ+υω+ωμ=1，

且

μ2+1=(μ+υ)(μ+ω)，

υ2+1=(μ+υ)(υ+ω)，

ω2+1=(μ+ω)(υ+ω).

又由μ=cotA,得

因此

同理可得

于是

(υ2-υω+ω2)+(μ2-μω+ω2)]=

將以上2個(gè)式子代入bx+ay=c,得

即

同理可得

以下同解法1.

除課本中的公式外，還有以下一些常用的三角恒等式、三角不等式：

(1)tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC；

(3)sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

(6)cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC；