帶RCE抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊系統(tǒng)

顧慶鳳

（浙江林學(xué)院理學(xué)院，浙江臨安 311300）

帶RCE抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊系統(tǒng)

顧慶鳳

（浙江林學(xué)院理學(xué)院，浙江臨安 311300）

考慮服務(wù)員在休假期間不是完全停止工作，而是以相對于正常工作時低些的速率服務(wù)顧客的M／M／1工作休假排隊模型.在此模型基礎(chǔ)上，筆者針對現(xiàn)實的M／M／1排隊模型中可能出現(xiàn)的外來干擾因素，提出了帶RCE（Removal of Customers at the End）抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊這一新的模型.服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù).工作休假策略為空竭服務(wù)多重工作休假.抵消原則為負顧客一對一抵消隊尾的正顧客，若系統(tǒng)中無正顧客時，到達的負顧客自動消失，負顧客不接受服務(wù).使用擬生滅過程和矩陣幾何解方法給出了系統(tǒng)隊長的穩(wěn)態(tài)分布，證明了系統(tǒng)隊長和等待時間的隨機分解結(jié)果并給出穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)中正顧客的平均隊長和顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間.

負顧客；工作休假；矩陣幾何解；穩(wěn)態(tài)分布；隨機分解

1 引 言

Gelenbe在20世紀90年代初首次提出了負顧客的排隊模型［3］.負顧客可以看成是某些工作的外來援助或取消信號，一般作為系統(tǒng)的制約因素而存在，能抵消系統(tǒng)中的正顧客.后來，國內(nèi)外學(xué)者掀起了帶有負顧客的排隊模型的研究熱潮.關(guān)于負顧客的排隊模型的成果不斷涌現(xiàn)［4-6］.近幾年來，工作休假排隊系統(tǒng)［7-9］也是國內(nèi)外專家研究的熱點，此類模型的特點是在休假時服務(wù)員不會完全停止工作，而是以一個相對來說比正常服務(wù)率低一些的速率進行工作，比如說醫(yī)院系統(tǒng)，醫(yī)院里在休假時會安排部分工作人員值班，不會讓所有的醫(yī)生都休息.從休假期間部分的利用系統(tǒng)資源的角度來說，單服務(wù)臺排隊的工作休假策略類似于多服務(wù)臺排隊的部分服務(wù)臺休假策略，這可從文獻［11-12］中看出.如果服務(wù)員在工作休假期間的服務(wù)率減小為零，則我們得到了經(jīng)典的休假排隊模型（服務(wù)員在休假期間完全停止為顧客服務(wù)，只能做些其他的輔助工作）.所以，工作休假排隊是經(jīng)典休假排隊的擴展.受文獻［4-6］的啟發(fā)，筆者考慮一個將負顧客和工作休假結(jié)合起來的模型，首次提出了帶RCE抵消策略的負顧客M／M／1工作休假排隊系統(tǒng)，在RCE抵消策略下，負顧客可以看成服務(wù)系統(tǒng)中出現(xiàn)的一次外來對服務(wù)臺的干擾，一次外來干擾抵消一名隊尾的正顧客，當(dāng)系統(tǒng)中沒有正顧客時，外來干擾自動消失，負顧客不接受服務(wù).該模型在日常生活中有很廣泛的應(yīng)用，如在通訊系統(tǒng)中，當(dāng)數(shù)據(jù)傳輸?shù)浇邮芘_時，數(shù)據(jù)傳輸看成正顧客的到達，外來的干擾信號看成負顧客的到達.又如在商場中，通常的顧客看成正顧客，其他商家的誘惑等因素看成負顧客.

2 模型的描述

在M／M／1工作休假排隊系統(tǒng)中引入帶RCE抵消策略的負顧客，該系統(tǒng)是有正、負兩類顧客的單服務(wù)臺系統(tǒng).一旦系統(tǒng)內(nèi)無正顧客，服務(wù)員立刻開始一個隨機長度V的工作休假.在工作休假期間，服務(wù)員以低的服務(wù)率接待正顧客.若結(jié)束一次工作休假時系統(tǒng)中仍無正顧客，則繼續(xù)一個獨立同分布的工作休假.若在某次工作休假期間服務(wù)完某一個正顧客后系統(tǒng)中已有正顧客，則服務(wù)員終止工作休假并開始以正常服務(wù)率（更高的服務(wù)率）接待正顧客，直到服務(wù)臺再次變?yōu)榭臻e.正顧客和負顧客均泊松到達，到達率分別為λ和ε.服務(wù)臺對正顧客在正常服務(wù)期和工作休假期的服務(wù)時間均服從負指數(shù)分布，均值分別為和，這里（η＜μ）.假定到達間隔、服務(wù)時間和工作休假時間相互獨立.服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù).工作休假策略為空竭服務(wù)多重工作休假.抵消原則為負顧客一對一抵消隊尾的正顧客（若有），若系統(tǒng)中無正顧客時，到達的負顧客自動消失，負顧客只起抵消正顧客的作用，負顧客不接受服務(wù).

設(shè)工作休假時間V服從參數(shù)θ的指數(shù)分布，Qv（t）為時刻t系統(tǒng)中的正顧客數(shù).

J（t）定義如下：

由于到達間隔、服務(wù)時間和工作休假時間都服從負指數(shù)分布，則｛Qv（t），J（t）｝是一個擬生滅過程（quasi birth and death process，簡記QBD），有狀態(tài)空間如果將狀態(tài)按字典序排列后，其生成元可寫成下列分塊三對角形式：

在擬生滅過程中，矩陣方程R2B＋RA＋C＝0的最小非負解R稱為率陣，并起重要作用.為研究率陣R，需要下列

引理1 二次代數(shù)方程

證由（1）可知sp（R）＜1當(dāng)且僅當(dāng)ρ＜1.進一步地，由文獻［1］定理2.4可以證明過程正常返當(dāng)且僅當(dāng)ρ＜1.

3 系統(tǒng)隊長的性能指標

4 穩(wěn)態(tài)隊長的隨機分解

5 穩(wěn)態(tài)等待時間的隨機分解

6 結(jié) 論

本文給出了FCFS、RCE抵消策略的負顧客M／M／1連續(xù)時間工作休假排隊模型的系統(tǒng)隊長的穩(wěn)態(tài)分布和系統(tǒng)隨機分解結(jié)果.對于RCH（Removal of Customers in the head）或兩者（RCH與RCE）均有的情況，只需將文中的ε改為h（h為RCH的發(fā)生率）或ε＋h.此模型可以進一步推廣到帶負顧客的Geo／Geo／1離散時間工作休假排隊系統(tǒng)，從而對通訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（離散時間排隊系統(tǒng)）建立更切合實際的準確的模型.

［1］ 田乃碩，岳德權(quán).擬生滅過程與矩陣幾何解［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.

［2］ 田乃碩.休假隨機服務(wù)系統(tǒng)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001.

［3］ Gelenbe E.Queues with Negative Arrivals［J］.J.of Applied Probability，1991，28（1）：245-250.

［4］ Peter G.Harrison，Edwige Piter.The M／G／1 Queue with Negative Customers［J］.Advances in Applied Probability，1996，32（2）：540-566.

［5］ 陳燕，朱翼雋，陳洋.一類具有負顧客的M／G／1休假排隊模型［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，41（1）：118-121.

［6］ 杜貞斌，朱翼雋，肖江，陳洋.負顧客的M／G／1排隊模型［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，23（3）：91-94.

［7］ Servi L D，F(xiàn)inn S G.M／M／1 queues with working vacations（M／M／1／WV）［J］.Performance Evaluation，2002，50（1）：41-52.

［8］ Liu Wen-yuan，Xu Xiu-li，Tian Nai-shuo.Stochastic decompositions in the M／M／1 queue with working vacations［J］.Operations Research Letters，2007，35（5）：595-600.

［9］ Yutakababa.Analysis of a GI／M／1 queue with multiple working vacations［J］.Operations Research Letters，2005，33（2）：201-209.

［10］ Keilson J，Servi L D.A distributional form of Little’s law［J］.Operations Research Letters，1988，7（5）：223-227.

M／M／1 Queuing System with RCE Strategy of Negative Customers and Working Vacation

GU Qing-feng
（Faculty of Science，Zhejiang Forestry College，Lin’an，Zhejiang 311300，China）

Consider an M／M／1 queue with vacations such that the server works with different rates rather than completely stops during a vacation period.In order to solve the interfering factors take place in the M／M／1 queuing system，the M／M／1 queuing system with negative customers and working vacations is studied.The serve rules are First Come First Served.The working vacation policy is exhaustive service and multiple working vacations.Negative customers remove positive customers only one by one at the tail（if present）.When a negative customer arrives，if the system is empty，it will disappear.Negative customers need no services.Using QBD（quasi birth and death）process and Matrix-Geometric solution，we gain the steady-state distributions for the number of customers in the system，point out the result of stochastic decomposition of the queue length and obtain mean of the system size of positive customers and waiting time.

negative customers；working vacations；matrix-geometric solution；steady-state distributions；stochastic decomposition

O226

B

1672-1454（2010）05-0125-06

2007-12-03