賓漢鉆井液圓管軸向?qū)恿鲏航档臄?shù)值計(jì)算

高遠(yuǎn)文,魯 港,楊 龍,佟長(zhǎng)海,孫忠國(guó)

在鉆井水力參數(shù)計(jì)算和優(yōu)化設(shè)計(jì)等問(wèn)題中,鉆具內(nèi)及環(huán)空中的壓降計(jì)算是基本的計(jì)算。除了與鉆具、環(huán)空的幾何參數(shù)有關(guān)之外,鉆井液的流變性質(zhì)是影響壓降的主要因素。不同類(lèi)型的鉆井液其流變性質(zhì)是不同的,目前常用的描述鉆井液流變性質(zhì)的模型主要有 5種:牛頓模型、賓漢模型、冪律模型、赫 -巴模型和卡森模型。關(guān)于不同流變模型下的壓降計(jì)算目前已有很多研究成果[1]。本文對(duì)賓漢模型下的鉆具內(nèi)層流壓降計(jì)算進(jìn)行了詳細(xì)的研究。在賓漢模型下,層流壓降滿足一個(gè) 4次代數(shù)方程;在一定的條件下可以得到壓降的一個(gè)近似公式[2]。本文的研究表明,這個(gè)近似公式的計(jì)算誤差隨著鉆具長(zhǎng)度而增大。盡管可以使用代數(shù)方程求解理論求出壓降的精確計(jì)算公式[3],但是在計(jì)算機(jī)編程計(jì)算時(shí)很麻煩,并且該方法很特殊,僅適用于賓漢模型。本文提出了求解壓降方程的一個(gè)數(shù)值迭代方法,對(duì)其收斂性給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明;并與以往使用的近似計(jì)算公式進(jìn)行了對(duì)比分析。

1 非牛頓流體圓管軸向?qū)恿鲏航?/h2>

假設(shè)所研究的非牛頓流體的本構(gòu)方程可一般地表示為:

式中 :γ——剪切速率 ,s-1;τ——剪切應(yīng)力 ,MPa;f()——一般的連續(xù)函數(shù)。

從動(dòng)量守恒定律,得:

式中:Δp——壓降 ,MPa;L——圓管長(zhǎng)度 ,m;r——離開(kāi)圓管軸心的距離,m。

在一定壓力梯度下,剪切應(yīng)力τ與 r成正比;在管壁處切應(yīng)力有最大值:

式中:R——圓管半徑,m;τw——最大剪切應(yīng)力值,MPa。

文獻(xiàn)[1]給出了下面的計(jì)算公式:

式中:u(r)——流體的速度分布函數(shù),ms-1;Q——流量,m3s-1;V——平均流速,ms-1。

從式 (2)得到壓降的計(jì)算公式:

式(6)即是非牛頓流體圓管軸向?qū)恿鲏航档囊话阌?jì)算公式;參數(shù)τw需要從方程 (4)解出。

2 賓漢流體圓管軸向?qū)恿鲏航?/h2>

賓漢流體的本構(gòu)方程為[1]:

式中:τ0——屈服值 ,MPa;ηs——塑性粘度 ,mPa·s。

將上式代入式 (4),得:

當(dāng)τ0=0即本構(gòu)方程退化成牛頓模式時(shí),得:

代入式 (6)得到牛頓模式的壓降公式:

當(dāng) τ0>0時(shí),記:

則有:

再記:

則得到ξ的方程如下:

方程(8)稱(chēng)為壓降計(jì)算的特征方程,簡(jiǎn)稱(chēng)特征方程。

從特征方程中求出滿足 0<ξ<1的正實(shí)數(shù)解ξ,再按下式計(jì)算壓降:

3 特征方程的數(shù)值求解

特征方程是關(guān)于未知數(shù)ξ的 4次代數(shù)方程,可以使用 4次代數(shù)方程的求根公式求出其解析解[3],但是計(jì)算過(guò)程很麻煩。這里給出一個(gè)數(shù)值求解的方法。

在 0≤ξ≤1區(qū)間上,函數(shù) F(ξ)是單調(diào)下降函數(shù),參見(jiàn)圖 1。并且容易驗(yàn)證:F(0)=1,F(1)=0。特征方程的解ξ可以看成是曲線 y=F(ξ)與直線 y=aξ的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值。

圖1 函數(shù) F(ξ)的圖像

記:b=1/(3a+4),則 b<1/4。構(gòu)造下面的迭代算法:

首先可以證明迭代序列{ξk}是有界的:

其次,對(duì)于任意給定的正整數(shù) m>0,有:

因 4b<1,根據(jù)序列收斂的 Cauchy收斂準(zhǔn)則[4],可知迭代序列{ξk}是收斂的。

假設(shè)迭代序列{ξk}收斂到ξ＊,易知:

令收斂允許誤差為ε,則最大迭代步數(shù)為:

4 壓降的近似計(jì)算公式

由于 0<ξ<1,可知ξ4很小。在特征方程中忽略ξ4項(xiàng),得到:

求得:

代入式(9),得到壓降的近似計(jì)算公式:

假設(shè)特征方程的精確解為ξ＊,對(duì)應(yīng)計(jì)算出的壓降為Δp;近似公式 (11)計(jì)算出的壓降為Δp′,則有:

可見(jiàn),雖然ξ＊3很小,但是當(dāng)管長(zhǎng) L很大時(shí),Lξ＊3不是小量。所以,近似壓降公式在管長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差。

相對(duì)誤差為:從圖 1可以看出,當(dāng)直線系數(shù) a增大時(shí),解ξ＊隨之減小。而 a與流量 Q成正比,所以,當(dāng)流量減小時(shí),相對(duì)誤差δ也隨之增大。

5 雷諾數(shù)

廣義雷諾數(shù)的定義[1]:

式中:μN(yùn)——視牛頓粘度,滿足下式:

所以:

式 (12)是賓漢流體圓管軸向?qū)恿骼字Z數(shù)的精確計(jì)算公式。如果在特征方程中忽略ξ4項(xiàng),得到雷諾數(shù)的近似計(jì)算公式:

易知:

可見(jiàn),使用近似公式計(jì)算的雷諾數(shù)要小于其真實(shí)值。

6 數(shù)值分析及算例

圖2給出了特征方程的解ξ與方程中的參數(shù) a之間的變化曲線,從圖中可以看出,解ξ與參數(shù) a之間的變化曲線類(lèi)似于第一象限中的雙曲線。

圖2 特征方程的解ξ與參數(shù) a的關(guān)系曲線

圖3給出了參數(shù) a很小時(shí)的數(shù)值解與近似解的變化曲線,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)參數(shù) a很小時(shí),近似解與精確解之間有顯著的差異。

圖3 特征方程的精確解和近似解與參數(shù) a的關(guān)系曲線

算例:鉆具長(zhǎng)度 L=2525 m,內(nèi)徑 R=54.3 mm,流量 Q=28.2 L/s,賓漢模型參數(shù):τ0=4.15 Pa,ηs=0.028 Pa·s。

使用本文方法得到的壓降為 1.0956 MPa,使用近似公式 (11)得到的壓降為 1.1011 MPa,相對(duì)誤差為 5.1‰。迭代過(guò)程中解隨迭代步變化的情況見(jiàn)圖4。只需要 10步左右迭代就得到特征方程穩(wěn)定數(shù)值解。

圖4 特征方程的解隨迭代步的變化曲線

7 結(jié)論

(1)賓漢鉆井液在鉆具中的層流壓降滿足一個(gè)非線性方程,需要使用數(shù)值方法進(jìn)行求解。本文提出了一個(gè)迭代算法,并對(duì)其收斂性給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明;得到了最大迭代步數(shù)的上限值。

(2)理論分析和實(shí)際算例表明,本文方法具有非常穩(wěn)定的收斂性能和非?？斓氖諗克俣?。

(3)使用數(shù)值迭代方法計(jì)算壓降比近似計(jì)算公式更精確。在計(jì)算機(jī)軟件編程中宜用數(shù)值方法代替以往使用的近似計(jì)算公式。

[1] 張景富.鉆井流體力學(xué)[M].北京:石油工業(yè)出版社,1994.

[2] 曾春元.賓漢流體水力參數(shù)優(yōu)化程序設(shè)計(jì)方法[J].石油鉆探技術(shù),1994,22(1):48-50.

[3] 陳尚偉.賓漢塑性流體層流壓強(qiáng)降的分析解[J].化學(xué)世界,1990,45(8):369-372.

[4] 歐陽(yáng)光中,朱學(xué)炎,秦曾復(fù).數(shù)學(xué)分析 (上冊(cè))[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1983.