一個逆向的Hilbert型積分不等式

黃臻曉

(湛江師范學院基礎教育學院，廣東湛江 524300)

一個逆向的Hilbert型積分不等式

黃臻曉

(湛江師范學院基礎教育學院，廣東湛江 524300)

通過引入?yún)?shù)及估算權系數(shù),建立一個具有混合核的逆向Hilbert型積分不等式,并證明其常數(shù)因子為最佳值.作為應用,給出了相應的等價形式及一些特殊結(jié)果.

Hilbert型積分不等式; 權函數(shù); 等價形式; H?lder不等式

(1)

(2)

本文應用文獻[7]由估算權系數(shù)建立逆向不等式的思想方法,建立一個含參量的核為

的Hilbert型積分不等式,并給出其等價式及一些特殊結(jié)果.

1 引理

引理1 設c>0,b>-c,定義權函數(shù)為

(3)

(4)

(5)

證明在式(3)、(4)中作變換u=x/y,經(jīng)查積分表,可算得

故式(5)成立,證畢.

引理2 設c>0,b>-c,0<ε

(6)

在式(3)中作變換u=x/y,由式(5),有

及

故式(6)成立,證畢.

則有

(7)

故式(7)成立,證畢.

2 主要結(jié)果

(8)

這里,常數(shù)因子

為最佳值.

特別地,當b=c=1時,有

(9)

證明由帶權的逆向H?lder不等式[3]及式(3)、(4)，有

(10)

若式(10)中間取等號,則有不全為零的常數(shù)A和B,

使得Afp(x)=bgq(y) a.e.于(0,∞)×(0,∞).即存

如式(8)中的常數(shù)因子k不是最佳值,則存在常數(shù)K≥k,使式(8)的常數(shù)因子k換上K后仍成立.即有

由極限保號性,有k≥K(ε→0+).故K=k是式(8)的最佳值.

(11)

(12)

這里,常數(shù)因子kp及kq為最佳值.特殊地,當b=c=1時,有如下不等式:

(13)

(14)

證明顯然,由條件,有J>0,若J=∞,則式(11)自然成立;若0

(y>0),

則由式(8),有

故式(11)成立.

反之,若式(11)成立, 配方并應用逆向的H?lder不等式,有

(15)

再由式(11),可得式(8).故式(8)與式(11)等價.

若式(11)中常數(shù)因子kp不是最佳值,則由式(15)易得式(8)中常數(shù)因子也不是最佳值的矛盾.證畢.

易見fn(x)>0 (n≥n0).由式(8)，注意到q<0,有

反之,設式(12)成立,配方并應用逆向的H?lder不等式,有

(16)

再由式(12),可得式(8).故式(12)與式(8)等價,因而式(8)、(11)與(12)相互等價.易由式(16)及反證法證明式(12)的常數(shù)因子也是最佳值.證畢.

致謝作者衷心感謝楊必成教授的指導與幫助！

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YANG Bicheng. A Hilbert-type integral inequality with the kernel of -3-order homogeneous[J]. Journal of Yunnan University:Natural Science Edition, 2008,30(4):325-330.

[8] 楊必成. 一個新的Hilbert型不等式[J].上海大學學報:自然科學版,2007,13(3):274-278.

YANG Bicheng. A new Hilbert-type inequality[J]. Journal of Shanghai University:Natural Science Edition,2007,13(3):274-278.

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WANG Aizhen, YANG Bicheng. A best generalization of reverse Hilbert-type inequality[J]. J Wuhan Univ: Natural Science Edition, 2008,54(3):275-278.

Keywords： Hilbert-type intergral inequality; weight function; equivalent form; H?lder’s inequality

【責任編輯 莊曉瓊】

AREVERSEHILBERT’STYPEINTEGRALINEQUALITY

HUANG Zhenxiao

(College of Basic Education, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang, Guangdong 524300，China)

By introducing some parameters and estimating the weight function, a reverse Hilbert-type integral inequality with a mixed kernel and a best constant factor is given. Furthermore, the equivalent forms and some particular results are also considered.

2009-10-12

廣東省高校自然科學重點研究項目(05Z026)

黃臻曉(1968—)，女，廣東湛江人，湛江師范學院高級講師，主要研究方向：解析不等式，Email: sjxhzx @126.com.

1000-5463(2010)02-0032-04

O178

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