宋利梅
(嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東梅州 514015)
一類(lèi)二階非線性中立型微分方程周期解的存在性
宋利梅
(嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東梅州 514015)
利用k-集壓縮算子的抽象連續(xù)性定理,討論了一類(lèi)二階非線性中立型微分方程周期解的存在性,得到周期解存在的充分條件.
中立型微分方程; 周期解;k-集壓縮算子
眾所周知,在大量的自然和社會(huì)活動(dòng)中,時(shí)滯現(xiàn)象幾乎都是不可避免的.所以對(duì)時(shí)滯微分方程的研究受到廣泛的關(guān)注.隨著泛函微分方程應(yīng)用的不斷推廣及理論研究的逐漸深入,近年來(lái)時(shí)滯微分方程周期解的存在性問(wèn)題的研究也非常活躍,并有了一些很好的研究成果[1-4].如王根強(qiáng)和燕居讓[1]利用重合度理論研究了一類(lèi)二階非線性中立型方程
[x(t)+cx(t-)]″+g(t,x(t-σ))=p(t)
(1)
的周期解存在性問(wèn)題,其中c,,σ均為常數(shù).朱艷玲和魯世平[2]利用重合度理論研究了一類(lèi)變時(shí)滯微分方程
[x(t)-cx(t-σ)]″+g(t,x(t-(t)))=p(t)
(2)
周期解的存在性問(wèn)題,其中c,σ為常數(shù),(t)為上連續(xù)T周期函數(shù).顯然,方程(1)是方程(2)當(dāng)(t)退化為常數(shù)時(shí)的特殊情況.上述方程的共同特點(diǎn)是方程非線性項(xiàng)不含x導(dǎo)數(shù)項(xiàng).本文將利用k-集壓縮算子的抽象連續(xù)性定理及一些分析技巧研究以下一類(lèi)變時(shí)滯的二階非線性中立型微分方程周期解的存在性問(wèn)題
[x(t)-cx(t-r)]″=
f(t,x(t-(t)),x′(t-(t)))+p(t),
(3)
其中r,c是常數(shù),r≥0, |c|<1,(t)C1(,),p(t)C(,),f(t,x,y)C(×2,), 且(t+T)=(t),p(t+T)=p(t),f(t+T,x,y)=f(t,x,y),′(t)<1,T>0為常數(shù).
定義1[3]設(shè)X是一個(gè)實(shí)Banach空間,S是X的有界子集,令
αX(S)=inf{δ>0:S可表示為有限個(gè)集的并:
(4)
則稱αX(S)為S的非緊性測(cè)度或Kuratowski距離.
定義2[3]設(shè)X,Y均是實(shí)Banach空間,D?X, 算子N:D→Y連續(xù)、有界,如果存在常數(shù)k≥0,使對(duì)任何有界集S?D, 都有αY(N(S))≤kαX(S),則稱N是D上的k-集壓縮映射.
如果L:DomL?X→Y是指標(biāo)為零的Fredholm算子,由文獻(xiàn)[4]可以知道,對(duì)任何有界集B?DomL,sup{γ>0:γαX(B)≤αY(L(B))}是存在的,因而可以定義
l(L)=sup{γ>0:γαX(B)≤αY(L(B)),
對(duì)任何有界集B?DomL}.
(5)
(R1)Lx≠Nx+y,?x?Ω, ?(0,1);
定義算子L為:
x(t)-cx(t-r)=c1t+c2,
x(t)=c2+cx(t-r)=c2+c[c2+cx(t-r-r)]=
c2(1+c)+c2x(t-2r)=…=
c2(1+c+c2+…+cn-1)+cnx(t-nr)=
又定義算子N為:
N:X→Y, (Nx)(t)=f(t,x(t-(t)),x′(t-(t))),
則方程(3)轉(zhuǎn)化為算子方程Lx=Nx+p.
定理1 假設(shè)以下條件成立:
2f-(t,x,y)≤a1|x|+a2|y|+a3,
或
2f+(t,x,y) ≤a1|x|+a2|y|+a3.
注意到:當(dāng)f是非負(fù)或非正時(shí),條件(H3)是自然成立的.
在證明此定理之前,我們先給出以下一些引理.
引理2[6]若L是指標(biāo)為零的線性Fredholm算子,則成立l(L)≥1, 其中l(wèi)(L)是由式(5)定義的.
(Nux)(t)=f(t,x(t-(t)),u′(t-(t))).
diamX(Bj)≤η+ε.
(6)
(7)
|(Nx)(t)-(Nu)(t)|0=
|(Nx)(t)-(Nux)(t)|0+|(Nux)(t)-(Nu)(t)|0.
(8)
由條件(H1)知
|(Nx)(t)-(Nux)(t)|0=
故由式(6),有
|(Nx)(t)-(Nux)(t)|0≤kη+kε.
(9)
|(Nux)(t)-(Nu)(t)|0=
|(Nux)(t)-(Nuu)(t)|0≤ε.
(10)
|(Nx)(t)-(Nu)(t)|0≤kη+(k+1)ε.
從而由ε的任意性知, αY(N(B))≤kαX(B), 即N是k-集壓縮的.證畢.
這里系數(shù)1/2是最佳的.
定理1的證明考慮算子方程Lx=Nx+p,(0,1), ?xX, 即
[x(t)-cx(t-r)]″=
(11)
設(shè)x(t)=x(t+T)是方程(11)的任一周期解.對(duì)方程(11)兩邊從0到T積分,得
即
(12)
f(ξ,x(ξ-(ξ)),x′(ξ-(ξ)))+p(ξ)=0.
由條件(H2),我們有|x(ξ-(ξ))|≤M1.由于ξ-(ξ),因而一定存在整數(shù)n和t0[0,T],使得ξ-(ξ)=nT+t0, 所以|x(t0)|=|x(ξ-(ξ))|≤M1.于是由引理4有
(13)
(14)
由式(12)~(14)及條件(H3)有
由式(13),有
且定義投影算子Q:Y→Y/ImL=R為
[QN(x)+Qp,x]·[QN(-x)+Qp,x]=
定理2 若定理1的條件(H1)和(H2)成立,且滿足:
(H4)函數(shù)f可分解成
f(t,x,y)=f1(t,x)+f2(t,y),
使得
(15)
于是
(16)
|f2(t,x′(t-(t)))|≤(γ+ε)|x′(t-(t))|.
(17)
結(jié)合式(15)~(17),有
βM1T+β1T+K1T+|p|0T.
于是有
其余類(lèi)似于定理1的證明.證畢.
作為應(yīng)用現(xiàn)舉例如下.
例1 考慮如下非線性中立型時(shí)滯微分方程
(18)
致謝:作者衷心感謝翁佩萱教授的悉心指導(dǎo)!
[1] 王根強(qiáng), 燕居讓. 二階非線性中立型泛函微分方程周期解的存在性[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 47(2): 379-384.
WANG Genqiang, YAN Jurang. Existence of periodic solutions for second order nonlinear neutral delay equations[J]. Acta Mathematica Sinica, 2004, 47(2): 379-384.
[2] 朱艷玲, 魯世平. 一類(lèi)二階中立型泛函微分方程周期解的存在性[J]. 安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2006, 29(1): 12-16.
ZHU Yanling, LU Shiping. On the existence of periodic solutions for a kind of second order neutral functional differential equations[J]. Journal of Anhui Normal University:Natural Science Edition, 2006, 29(1): 12-16.
[3] 郭大均. 非線性泛函分析[M]. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2002: 187-193.
[4] GAINES R E, MAWHIN J L. Coincidence degree and nonlinear differential equation[M]. Lecture Notes in Math No. 568, New York: Springer-Verlag, 1977.
[5] PETRYSHYN W V, YU Z S. Existence theorems for higher order nonlinear periodic boundary value problems[J]. Nonlinear Anal, 1982, 6(9): 943-969.
[6] LIU Zhongdong, MAO Yiping. Existence theorem for periodic solutions of higher order nonlinear differential equations[J]. J Math Anal Appl,1997, 216: 481-490.
[7] LI Jingwen, WANG Genqiang. Sharp inequalities for periodic functions[J]. Applied Mathematics E-Notes, 2005, 5: 75-83.
Keywords: neutral differential equations; periodic solutions;k-set contractive operator
【責(zé)任編輯 莊曉瓊】
EXISTENCEOFPERIODICSOLUTIONSFORACLASSOFSECONDORDERNONLINEARNEUTRALDIFFERENTIALEQUATIONS
SONG Limei
(School of Mathematics, Jiaying University, Meizhou,Guangdong 514015,China)
By using the abstract continuation theorem ofk-set contractive operator,the periodic solutions for a second order nonlinear neutral differential equations are investigated.Some sufficient conditions are obtained.
2010-01-04
宋利梅(1975—),女,廣東梅州人,嘉應(yīng)學(xué)院講師,主要研究方向:常微分方程,Email:songlimei1001@163.com.
1000-5463(2010)02-0027-05
O175.14
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