一類亞純函數(shù)的級

葉枝宏, 尹愛軍

(思茅師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系, 云南普洱 665000)

一類亞純函數(shù)的級

葉枝宏, 尹愛軍

(思茅師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系, 云南普洱 665000)

構(gòu)造了下級為0、級可以為任意取定的大于1的有理數(shù)、零點(diǎn)和極點(diǎn)位于正實(shí)軸上、只有一條Julia方向的亞純函數(shù).利用這個函數(shù)回答了亞純函數(shù)的級的估計的一個問題.同時得到：若一個亞純函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位于2條從原點(diǎn)出發(fā)的不同的射線上,那么該亞純函數(shù)的級與下級之差不超過2.

亞純函數(shù); 零點(diǎn)和極點(diǎn); 級與下級; Julia方向

1 問題的提出及相關(guān)結(jié)果

零點(diǎn)和極點(diǎn)位于有限條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上或只有有限個Julia方向的亞純函數(shù)類是一個十分重要、且許多數(shù)學(xué)工作者都十分關(guān)注的函數(shù)類.人們對它已經(jīng)有比較深入的研究，并取得了一批豐富的成果.本文采用Nevanlinna理論中的結(jié)果和相關(guān)記號,詳細(xì)參見文獻(xiàn)[1].以下記ρf表示亞純函數(shù)f(z)的級,記f表示亞純函數(shù)f(z)的下級.

1960年，EDREI和FUCHS在文獻(xiàn)[2]中證明了：

定理A 如果下級有窮的整函數(shù)的零點(diǎn)只位于有限條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上，那么該整函數(shù)的級為有限數(shù).

1978年,張廣厚在文獻(xiàn)[3]中證明了：

定理B 設(shè)f(z)為下級有窮的整函數(shù)，如果它僅有q個Julia方向,那么ρf≤π/ω，其中ω是Julia方向夾角的最小者.q=1時,ω=2π.

1983年，STEIMENTZ在文獻(xiàn)[4]中猜測：如果整函數(shù)f(z)的零點(diǎn)只位于m條射線argz=αj(j=1,2,…,m)上,那么ρf≤[f]+m.同時,他還證明了m=1,m=2時，上述猜測是成立的.

1993年，QIAO在文獻(xiàn)[5]中得到了與Julia方向或者是零點(diǎn)所在射線的幾何分布無關(guān)，但依賴于下級和Julia方向個數(shù)或零點(diǎn)所在射線個數(shù)的整函數(shù)級的上界估計.他證明了下述定理：

定理C 如果整函數(shù)f(z)僅有有限條Julia方向argz=θj(j=1,2,…,q),則

ρf≤5q-1([f]+1).

定理D 如果整函數(shù)f(z)的零點(diǎn)位于q條射線上argz=θj(j=1,2,…,q)，則

2ρf≤4q([f]+1).

一個自然的問題是：對于下級有窮的亞純函數(shù)f(z)，如果其零點(diǎn)和極點(diǎn)只位于有限條射線上或者只有有限條Julia方向，那么f(z)的級是否也有類似于上述結(jié)果中的估計？

本文構(gòu)造了一個零點(diǎn)和極點(diǎn)只位于一條射線并且只有一條Julia方向的亞純函數(shù)否定該問題.得到如下結(jié)果：

定理1 存在亞純函數(shù)f(z)，滿足：

(1)僅有一限條Julia方向；

(2)零點(diǎn)和極點(diǎn)只位于Julia方向上；

由于定理1所構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)位于同一條射線上，有趣的是當(dāng)亞純函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)分別位于2條不同的射線時，上述問題不僅是對的，而且級具有ρf≤[f]+2的線性估計.

2 主要引理以及證明

引理1[1]若f(z)為開平面上的亞純函數(shù)，則對于任何復(fù)數(shù)a有：

證明由Possion-Jensen公式在原點(diǎn)的充分小鄰域有：

注意到z=0時：

從而:

3 定理的證明

3.1定理1的證明

3.1.1 首先證明上述無窮乘積收斂到一亞純函數(shù)

對于R>0,N,k≥N時).

由|ez-1|≤2|z| (|z|<1)，有

|Ek(z)-1|<2|logEk(z)|<6/Ak.

3.1.2 證明該函數(shù)以M為級,以0為下級

(1)

(2)

(3)

3.1.3 證明上述構(gòu)造的亞純函數(shù)f(z)僅有一條Julia方向

p0=b1sinε0≤|z-bk|,

所以

從而對于上述取定的ε0,角域C/Ω內(nèi)沒有該函數(shù)的Julia方向.又由于ρf=M>1,該函數(shù)必有Julia方向，所以argz=0是該函數(shù)唯一的Julia方向.

3.2定理2的證明

(4)

如果γ=π，則由式(4),顯然有∑|aj|m0與∑|bi|-m0收斂.

設(shè)f(z)=eg(z)E(z)，記ρ1是eg(z)的級，ρ2是E(z)的級，若ρ1>ρ2，則ρf=ρ1=f；若ρ1≤ρ2，則ρf≤ρ2≤[f]+2.

注:本文考察的是開平面內(nèi)零點(diǎn)和極點(diǎn)分布于有限條從原點(diǎn)出發(fā)的射線上的亞純函數(shù)的級的估計問題.事實(shí)上,對于單位圓外的亞純函數(shù)而言,利用陳特立[6]關(guān)于單位圓外的亞純函數(shù)理論,我們?nèi)匀豢梢钥紤]其級的估計問題.

致謝作者衷心感謝導(dǎo)師李玉華教授的指導(dǎo)!

[1] 楊樂. 值分布論及其新研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1982: 1-80.

[2] EDREI A, FUCHS W H J. Bounds for the deficient values of certain classes of meromorphic functions[J]. London Math Soc, 1962, 12(3):315-344.

[3] 張廣厚. 整函數(shù)與亞純函數(shù)的虧值、漸近方向和Julia方向的關(guān)系研究[J]. 中國科學(xué), 1978(增Ⅰ): 1-20.

[4] STEIMENTZ N. On the order and lower order of entire funtions with radially distributed zeros[J]. Proc Am Math Soc, 1983, 87(3): 449-452.

[5] QIAO Jianyong.Two problems in the value distribution theory[J]. Acta Mathematics Sinica Newseries, 1995, 4(1): 365-369.

[6] 陳特立, 張錫桐. 圓外亞純函數(shù)的Nevanlinna型理論(Ⅱ)[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2002(4): 40-45.

CHEN Tewei, ZHANG Xitong. Nevalenna type theory of meromorphic functions in the exterior of a circle (II)[J]. Journal of South China Normal University: Natural Science Edition, 2002(4): 40-45.

Keywords： meromorphic function; zero and pole; order and lower order; Julia direction

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

THEORDERSOFACLASSOFMEROMORPHICFUNCTIONS

YE Zhihong, YIN Aijun

(Department of Mathematics, Simao Normal College, Puer, Yunnan 665000, China)

A meromorphic function with zeros and poles line on a ray is given which has only one Julia direction. The function’s order may be any rational number but its lower order is 0. This funcion is used to answer a question about the orders’ upperbound estimation. On the other hand, the subtraction of the orders are found, and the lower orders of meromorphic functions with zeros line on one ray and with poles line on another ray will no more than two.

2009-03-16

葉枝宏(1980—)，男，云南普洱人，思茅師范高等?？茖W(xué)校助教，主要研究方向：復(fù)分析，Email:yzhaxyy.xj@163.com.

1000-5463(2010)02-0024-03

O174.52

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