逆向工程橢圓柱構(gòu)件的擬合計算＊

雷婉南 趙鵬飛

(1)同濟大學測量與國土信息工程系,上海 200092 2)上海市測繪院,上海 200063)

逆向工程橢圓柱構(gòu)件的擬合計算＊

雷婉南1)趙鵬飛1,2)

(1)同濟大學測量與國土信息工程系,上海 200092 2)上海市測繪院,上海 200063)

提出一種基于逆向工程原理的擬合橢圓柱構(gòu)件的方法：使用電子全站儀采集橢圓柱形工業(yè)構(gòu)件表面的離散點坐標,通過擬合橢圓柱底面獲取法向量,從而進行坐標轉(zhuǎn)換,將空間任意位置的橢圓柱轉(zhuǎn)換為標準形式,將橢圓柱的擬合問題轉(zhuǎn)換為橢圓的擬合問題。并用工程實例證明了該方法的可行性。

橢圓柱構(gòu)件;平面擬合;坐標轉(zhuǎn)換;橢圓擬合;逆向工程

1 引言

現(xiàn)代工業(yè)構(gòu)件的檢測工作具有數(shù)據(jù)采集量大、點位測量要求精度高、數(shù)據(jù)要求可靠度高等特點,傳統(tǒng)的丈量尺寸的檢測方法已經(jīng)逐漸不能適應(yīng)其需要。所以目前工業(yè)構(gòu)件的檢測大多采用逆向工程的原理：通過使用測量儀器,采集待測工業(yè)構(gòu)件特征位置的一系列點的坐標,通過對這些坐標進行擬合計算,對比設(shè)計數(shù)據(jù),從而達到對工業(yè)構(gòu)件進行檢測的目的。

在工業(yè)領(lǐng)域中,橢圓柱狀的工業(yè)構(gòu)件有很多,包括油罐、氣罐、運輸罐、瀝青罐等儲罐類構(gòu)件,以及其他橢圓柱型的工業(yè)構(gòu)件等等。文獻[1]提出一種將特征值也作為參數(shù)的二次曲線擬合方法;文獻[2]提出利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行橢圓柱面擬合的方法,但這兩種方法的數(shù)學模型均較為復(fù)雜。本文通過研究橢圓柱的幾何性質(zhì),提出一種擬合橢圓柱的簡單方法：以最小二乘原理為基礎(chǔ),通過坐標轉(zhuǎn)換將空間任意位置的橢圓柱轉(zhuǎn)換為標準位置的橢圓柱,從而達到擬合計算的目的。

2 橢圓柱底面的擬合

平面方程通常表示為

很顯然,若方程兩邊可以同時乘上一個比例系數(shù),所得方程依然表示該平面。所以,為方便起見,令系數(shù)D=1,則平面方程改寫為

根據(jù)最小二乘法原理,每組觀測點 (xi,yi,zi)的誤差方程為:

令:

則誤差方程改寫為:

利用在橢圓柱底面上測量得到的 n個點的坐標,建立 n個誤差方程,通過間接平差的方法便可求出平面方程的3個參數(shù)。

如果對橢圓柱的兩個底面都進行了測量,那么可以列出兩套誤差方程:

由于橢圓柱兩個底面是平行的,所以上下兩個平面方程的參數(shù)滿足條件:

可以結(jié)合式(6)和式(7),按照附有條件的間接平差模型進行解算,即可求出這兩個平面方程。

3 計算平面的法向量

式(1)、式(2)為平面方程的一般表達式,同樣平面可以表達為如下的法式表達式:

式中,α、β、γ為平面法向量分別與 X、Y、Z3個坐標軸的夾角,r為法向量的長度。式 (2)和式 (8)都為同一平面的表達式,所以對應(yīng)系數(shù)滿足:

又根據(jù)向量夾角余弦定理,有:

通過式(9)和(10),解得

考慮式(9)中 r與 k的關(guān)系,如果規(guī)定法向量長度為正,則 k取負值。所以平面法向量可表達如下:

法向量的方位角α方位角和天頂距 Z天頂距分別為:

4 計算坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

在工業(yè)檢測中,所采集的數(shù)據(jù)是在工程坐標系(X,Y,Z)中所得到的坐標數(shù)據(jù),該坐標系在空間的位置是任意的。為了方便對橢圓柱構(gòu)件進行擬合計算,建立自定義坐標系 (X′,Y′,Z′),并規(guī)定:在自定義坐標系中,Z′軸與橢圓柱的中心軸平行。

圖1 工程坐標系和自定義坐標系Fig.1 Engineering coordinate system and self-defined coordinate system

根據(jù)橢圓柱底面法向量的方位角和天頂距,對工程坐標系 (X,Y,Z)和自定義坐標系 (X′,Y′,Z′)進行轉(zhuǎn)換。

1)工程坐標系 (X,Y,Z)轉(zhuǎn)換為自定義坐標系(X′,Y′,Z′)

式中,(x0,y0,z0)為坐標轉(zhuǎn)換的平移參數(shù),也就是自定義坐標系的坐標原點在工程坐標系中的坐標,其值可取為橢圓柱底面測量坐標的平均值:

2)自定義坐標系 (X′,Y′,Z′)轉(zhuǎn)換為工程坐標系(X,Y,Z)

式中,(x0,y0,z0)同式 (14)。

5 橢圓的擬合

橢圓的擬合思路如下:橢圓屬于二次曲線,所以先按照二次曲線進行擬合,然后對比相應(yīng)參數(shù),最終獲得橢圓的擬合參數(shù)。

1)二次曲線擬合

二次曲線的方程為:

a0的值可以取為 x′坐標和 y′坐標的最大值與最小值之差的乘積,參數(shù) a1、a2、a3、a4、a5的迭代初值可以取為 0。迭代求解至收斂,從而求得各系數(shù)。

2)橢圓參數(shù)的求解

平面橢圓的標準方程可表達為

將式 (20)代入 (19),得:

圖2 橢圓的表示Fig.2 Scheme of an ellipsis

對照式(17)和 (21),最終求得橢圓的參數(shù)為:

6 工程實例

筆者受托對某廠生產(chǎn)的一批大型儲油罐進行抽樣檢測。儲油罐為臥式鋼罐,截面為橢圓形,檢測的目的是測定其實際截面尺寸是否符合設(shè)計尺寸,要求偏差控制在 3 cm之內(nèi)。儲油罐的設(shè)計尺寸為13.35 m×3.52 m×2.78 m,即截面橢圓的長軸為3.52 m,短軸為 2.78 m。

所以截面橢圓的設(shè)計標準方程為

通過索佳NET1200全站儀 (其標稱精度為：測角 0.5″,測距 1+1×10-6)對構(gòu)件表面點的三維坐標進行采集,坐標測量采用全站儀無棱鏡模式。共采集 48個點的三維坐標：其中 8個點在儲油罐底面上,用以擬合底面方程;其余 40個點在儲油罐側(cè)壁上,分為 5組,每組 8個點,同一組的點形成的平面大致平行于底面 (圖 3),相鄰平面之間距離為 2 m左右。

1)底面方程擬合及其法向量的計算

表 1列出底面上所采集的 8個點的三維坐標。

圖3 儲油罐側(cè)壁采樣數(shù)據(jù)Fig.3 Sample data on the lateralwall of oil tank

表 1 儲油罐底面的采樣數(shù)據(jù)(單位:m)Tab.1 Sample data on the bottom face of oil tank(un it: m)

首先,將底面采集數(shù)據(jù)進行擬合,得到底面的平面方程。

然后,經(jīng)過計算得到橢圓柱底面的法向量,進而計算出法向量的天頂距和方位角分別為 Z天頂距= 89.267 934°,α方位角=29.799 627°。

2)坐標轉(zhuǎn)換和橢圓擬合

表 2列出了儲油罐側(cè)壁上測量得的 40個點的三維坐標。

按照本文方法將 40組坐標由工程坐標轉(zhuǎn)換為自定義坐標。然后用轉(zhuǎn)換后的坐標擬合橢圓 (圖4)。

得到橢圓的標準方程為

即長軸為 3.496 3 m,短軸為 2.798 9 m?？梢?儲油罐界面的長短軸與其設(shè)計尺寸的偏差控制得較好,均在 3 cm之內(nèi),所以認為儲油罐的尺寸是合格的,也證明了本文模型是可行的。

7 結(jié)論

表 2 儲油罐側(cè)壁的采樣數(shù)據(jù)(單位:m)Tab.2 Sample data on the lateral wall of oil tank(un it: m)

圖4 擬合的橢圓柱Fig.4 Fitting of elliptical cylinder

本文提出一種可用于逆向工程中的橢圓柱構(gòu)件的擬合計算方法。通過儀器采集橢圓柱構(gòu)件表面的離散點,先對橢圓柱底面進行擬合,從而獲得三維坐標轉(zhuǎn)換參數(shù);通過坐標轉(zhuǎn)換將空間任意位置的橢圓柱轉(zhuǎn)換為標準的橢圓柱;然后將橢圓柱的擬合轉(zhuǎn)化為對平面橢圓的擬合,最終獲得橢圓的尺寸參數(shù)。最后,將該方法應(yīng)用于工程實例并取得成功,從而證明該方法是可行的。

該方法數(shù)學模型簡單,便于電算程序?qū)崿F(xiàn)。

在實際應(yīng)用中,為了提高截面尺寸擬合的精度,保證計算結(jié)果的準確,可采取以下幾個措施：

1)在采集構(gòu)件表面點坐標時,使用高精度的儀器(例如索佳NET1200高精度全站儀),并且要盡量避免粗差的產(chǎn)生;

2)測量中,測站的數(shù)目應(yīng)越少越好,以避免搬站或坐標歸算引起的誤差;

3)底面的擬合關(guān)系到坐標轉(zhuǎn)換的準確度,進而影響到擬合結(jié)果,所以在采集底面點的坐標時,要注意采集點盡可能的多(最少采集 4個點的坐標),而且分布均勻;

4)側(cè)面采集點的選取也應(yīng)盡量均勻,點數(shù)應(yīng)盡量的多(最少采集 6個點的坐標),可采取如本例所示的采集方法：每組采集點能形成一個平面,該平面平行于底面;而且每兩組平面的距離大致相等。

1 王解先.工業(yè)測量中一種二次曲面的擬合方法[J].武漢大學學報(信息科學版),2007,(1)：47-50.(Wang Jiexian.A method for fitting of conicoid in industrial measurement[J].Geomatics and Infor mation Science ofWuhanUniversity,2007,(1)：47-50)

2 谷川.GA柱面擬合法在隧道斷面收斂監(jiān)測中的應(yīng)用[J].大地測量與地球動力學,2010,(2)：58-62.(Gu Chuan.Application of spatial cylindrical surface fitting based on GA in tunnel section convergence monitoring[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2010,(2)：28-62)

3 程效軍,顧孝烈.工程結(jié)構(gòu)物的拋物面方程回歸計算[J].同濟大學學報 (自然科學版),2009,(9)：1 246-1 249. (Cheng Xiaojun and Gu Xiaolie.Regressive adjustment of paraboloid-equation for engineering construction[J].Journal of TongjiUniversity(Natural Science),2009,(9)：1 246 -1 249)

4 樊功瑜.誤差理論與測量平差[M].上海：同濟大學出版社,1998.(Fan Gongyu.Error theory and surveying adjustment[M].Shanghai：TongjiUniversity Press,1998)

5 潘國榮,趙鵬飛.基于空間向量的三維基準轉(zhuǎn)換模型[J].大地測量與地球動力學,2009,(6)：78-82.(Pan Guorong and Zhao Pengfei.3D datum transformation model based on space vector[J].Journal of Geodesy and Geodynamics, 2010,(6)：78-82)

6 王解先,季凱敏.工業(yè)測量擬合[M].北京：測繪出版社, 2008.(Wang Jiexian and Ji Kai min.The fitting of industrial surveying[M].Beijing：Surveying andMapping Press,2008)

7 閆蓓,王斌,李媛.基于最小二乘法的橢圓擬合改進算法[J].北京航空航天大學學報,2005,(3)：295-298.(Yan Bei,Wang Bin and Li Yuan.Optimal ellipse fitting method based on least-square principle[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2005,(3)：295-298)

FITTING CALCULATION OF ELL IPTICAL CYL INDER COM PONENT IN REVERSE ENGINEERING

LeiWannan1)and Zhao Pengfei1,2)

(1)Departm ent of Surveying and Geo-Infor m atics,Tongji University,Shanghai 200092 2)Shanghai Surveying and M apping Institute,Shanghai 200063)

A method based on the principle of reverse engineering for fitting the elliptical cylinder component is proposed.At first,the data on the face of elliptical cylinder component is sampled by electronic total-station,then, the normal vector is gotten by fitting the bottom surface.At last,arbitrary elliptical cylinder is transfor med to the standard form by the coordinate transformation.In theway,the elliptical cylinder fitting transforms to the ellipse fitting.At the end,an engineering example is shown to prove the feasibility of thismethod.

elliptical cylinder component;fitting of plane;coordinate transformation;fitting of ellipse;reverse engineering

1671-5942(2010)05-0102-05

2010-04-09

雷婉南,女,1987年生,研究生在讀,研究方向：精密工程測量、工業(yè)測量與測量數(shù)據(jù)處理.E-mail：leiwannanlei@163.com

P258

A