動(dòng)態(tài)情況下星敏感器探測(cè)靈敏度研究

李 曉，趙 宏，盧 欣

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.中國(guó)空間技術(shù)研究院，北京 100094)

星敏感器的探測(cè)靈敏度是指星敏感器能夠探測(cè)到的最弱星等的能力，探測(cè)靈敏度的高低決定了視場(chǎng)內(nèi)恒星的數(shù)量.在動(dòng)態(tài)情況下，星像在像平面不斷移動(dòng)，與靜態(tài)情況相比，星光產(chǎn)生的有效信號(hào)電荷分散到更多像元，從而降低了星敏感器的探測(cè)靈敏度.

本文以從噪聲中檢測(cè)信號(hào)的理論為基礎(chǔ)，通過(guò)分析像元輸出模型，得出單個(gè)像元被探測(cè)到的條件；進(jìn)而通過(guò)研究星像提取方法和動(dòng)態(tài)情況下星像能量分布特性，推出星像被提取的條件；最后以給定的星敏感器參數(shù)為例進(jìn)行計(jì)算和分析.

1 動(dòng)態(tài)情況下星像能量分布特征

在靜態(tài)情況下，星像能量滿足正態(tài)分布，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)可以用二維高斯函數(shù)來(lái)表示[1]：

(1)

式中， (xc，yc)表示星像中心的實(shí)際位置，σPSF為高斯半徑，表示點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的能量集中度.

動(dòng)態(tài)情況下，由于在曝光期間星像中心一直在移動(dòng)，星像能量分布可以用如下函數(shù)表示：

(2)

式中，Te為曝光時(shí)間，xc(t)和yc(t)為時(shí)刻t(0≤t≤Te)的星像中心位置坐標(biāo).考慮到星體角速度一般不大于2(°)/s，曝光時(shí)間不大于0.5s，星像中心軌跡很短且近似為直線，因此近似認(rèn)為xc(t)和yc(t)是線性函數(shù).設(shè)星像中心軌跡為線段L，其參數(shù)方程為：

(3)

式中，u為星像中心移動(dòng)速率，θ為軌跡與x軸夾角.設(shè)l為軌跡L的長(zhǎng)度，l=uTe.將式(3)代入式(2)，并令積分變量t=τ/u得出星像能量分布函數(shù)：

(4)

可以看出，在高斯半徑一定的情況下，星像能量分布函數(shù)只與初始位置(x0，y0)、軌跡L的長(zhǎng)度l和軌跡與x軸的夾角θ有關(guān).

2 星像的提取方法

星像的提取通常需要經(jīng)過(guò)兩步：

(1)圖像的半閾值化

采用全局閾值的方法對(duì)圖像進(jìn)行閾值分割，目的是將含有有效信號(hào)的像元檢測(cè)出來(lái)，從而確定星像所處區(qū)域.閾值由實(shí)時(shí)得到的圖像數(shù)據(jù)計(jì)算獲得：

Gth=E+αδ

(5)

式中，E為整幅圖像所有像元的灰度均值，δ為整幅圖像灰度的標(biāo)準(zhǔn)差，α可根據(jù)需要設(shè)定.半閾值化函數(shù)如下：

(6)

(2)連通域分析

對(duì)半閾值化后的圖像IT(x，y)進(jìn)行連通域提取，并通過(guò)判斷連通域中的像元數(shù)目剔除孤立噪聲點(diǎn)，獲得星像區(qū)域.一般要求連通域中的像元數(shù)目不小于4，小于4的連通域被認(rèn)為是孤立噪聲點(diǎn)予以剔除.因此星像被提取的條件是，星像區(qū)域中大于閾值的像元能形成一定面積的連通域.

3 含有效信號(hào)的像元探測(cè)

3.1 像元輸出模型

星敏感器像元噪聲有多種，為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，只考慮暗電流噪聲、光子散粒噪聲、讀出噪聲、背景噪聲和量化噪聲，而將其它噪聲一并歸入讀出噪聲進(jìn)行分析.

像元產(chǎn)生的電荷數(shù)可用如下的隨機(jī)變量來(lái)表示[2]：

N=Ns+Ndark+B+Nron

(7)

(8)

設(shè)像元輸出灰度I與像元產(chǎn)生的電荷數(shù)N滿足如下正比關(guān)系：

(9)

m為比例系數(shù)，n為量化位數(shù)，Nsatu為飽和光電子數(shù).量化過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生服從0～1均勻分布的量化誤差，其方差為1/12.所以像元輸出灰度I的均值E(I)和標(biāo)準(zhǔn)差為：

(10)

設(shè)σquan為量化噪聲的等效電荷數(shù)：

(11)

則像元輸出灰度I的均值E(I)和標(biāo)準(zhǔn)差為：

(12)

恒星在曝光時(shí)間Te內(nèi)產(chǎn)生的總信號(hào)電荷數(shù)μ0為：

(13)

式中，E0(λ)為零等星λ波段的輻照度，M為星等，D為鏡頭口徑，Eph為單個(gè)光子能量，QE(λ)和τ0(λ)分別為λ波段的量子效率和光學(xué)系統(tǒng)透過(guò)率，Kfill為填充系數(shù).像元產(chǎn)生的有效信號(hào)電荷μs可根據(jù)總信號(hào)電荷數(shù)和星像能量分布函數(shù)確定.

暗電流μdark可以按如下公式計(jì)算：

μdark=JdarkSTe/q

(14)

式中，Jdark為暗電流密度，S為像元面積，q為一個(gè)電荷所帶電量；背景噪聲μB相當(dāng)于10等星產(chǎn)生的電荷數(shù)，讀出噪聲σron和量化噪聲σquan為常數(shù)，可根據(jù)星敏感器的參數(shù)獲得.

3.2 含有效信號(hào)的像元探測(cè)

圖像半閾值化的目的是將含有效信號(hào)的像元提取出來(lái).根據(jù)從噪聲中檢測(cè)信號(hào)的理論，從噪聲中提取目標(biāo)像元存在兩個(gè)指標(biāo)：一是將目標(biāo)像元有效提取的概率稱為探測(cè)率PDET；二是將非目標(biāo)像元判斷為目標(biāo)像元的概率稱為虛警率PFA.理想的探測(cè)系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)使探測(cè)概率達(dá)到最大，虛警概率達(dá)到最小，但兩者不可能同時(shí)達(dá)到最佳，能做到的只是保證虛警概率為某個(gè)許可值時(shí)，而使相應(yīng)的探測(cè)概率盡可能大[4].

(15)

(16)

(17)

(18)

式中積分上限L為：

(19)

當(dāng)給定虛警概率PFA和探測(cè)概率PDET指標(biāo)時(shí)，通過(guò)查正態(tài)分布表，可以獲得PFA對(duì)應(yīng)的TNR值和PDET要求的最高積分上限Lm.定義像元的信噪差比SNDR為：

SNDR=-L

(20)

則像元滿足探測(cè)概率的條件為：

SNDR≥-Lm

(21)

根據(jù)TNR的定義，理論閾值Gth=TNR·σn+In，由于實(shí)際圖像處理過(guò)程中無(wú)法獲得σn的精確值，可以用實(shí)時(shí)圖像的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為其真值的估計(jì)，即E≈In,δ≈σn.故式(5)中系數(shù)α等于閾值噪聲比TNR.

4 動(dòng)態(tài)情況下星敏感器探測(cè)靈敏度

4.1 星像被提取的條件

由星像的提取方法可知，星像能夠被提取的條件是：灰度大于域值的像元能形成一定面積的連通域.為便于分析，將星像軌跡區(qū)域的像元進(jìn)行分類，如圖1所示.圖中斜線為星像中心軌跡L，根據(jù)L的走向確定星像區(qū)域像元的分類方式，若L的行跨度比列跨度大，則選擇按行分類方式，反之選擇按列分類方式.當(dāng)選擇按行(列)分類方式時(shí)，在每一行(列)像元當(dāng)中，含有有效信號(hào)電荷最多的像元定義為p像元，含有有效信號(hào)電荷僅少于p像元的定義為w-1像元，依次類推定義w-2像元、w-3像元……w-n像元.

在同一星像軌跡中，不同的w-1像元所含有的有效信號(hào)電荷不盡相同，將其中含有有效信號(hào)最少的像元定義為w-1m像元.若w-1m像元滿足探測(cè)條件SNDR≥-Lm，所有w-1像元和p像元顯然滿足探測(cè)條件，經(jīng)過(guò)圖像半域值化，p像元和w-1像元可以形成一定面積的連通域，星像就能夠被提取.因此星像能夠被提取的條件為：w-1m像元滿足探測(cè)條件SNDR≥-Lm.

圖1 像元分類示意圖

4.2 星敏感器的探測(cè)靈敏度計(jì)算

星敏感器的探測(cè)靈敏度是指星敏感器能夠探測(cè)到的最弱的星的能力.星等越大，產(chǎn)生的有效信號(hào)電荷μ0越小，相應(yīng)的w-1m像元越不易被探測(cè)，星像越不易被提取.

設(shè)η為w-1m像元生成的信號(hào)電荷μsw-1m占總信號(hào)電荷μ0的比例：

?Asw-1mg(x,y)dxdy

(22)

式中，Asw-1m為w-1m像元所在區(qū)域；g(x，y)為信號(hào)電荷分布函數(shù)，只與星像中心軌跡L的長(zhǎng)度l，與x軸夾角θ，初始位置(x0,y0)有關(guān).對(duì)于確定的星像中心軌跡，η可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算得出，而與總信號(hào)電荷μ0無(wú)關(guān).

當(dāng)給定虛警率和探測(cè)率指標(biāo)時(shí)，TNR和Lm可獲得.由式SNDR≥-Lm可確定μsw-1m的最小值，再根據(jù)式(22)可以確定總信號(hào)電荷μ0的最小值，最后根據(jù)式(14)可確定星等的極限值，即星敏感器的探測(cè)靈敏度.

實(shí)際情況中，η隨l、θ、(x0，y0)的變化而變化，是不定值.因此，為保證求出的極限星等在任何情況下都可以被探測(cè)到，η應(yīng)取最小值進(jìn)行計(jì)算.在l確定的情況下，當(dāng)θ=0且星像中心軌跡L位于p像元中心線時(shí)，調(diào)整y0的位置，可使η取得最小值ηmin.因此當(dāng)給定角速度的模ω，求對(duì)應(yīng)的探測(cè)靈敏度時(shí)，應(yīng)令角速度的方向平行于y軸或x軸，求得η的最小值ηmin.

當(dāng)σPSF=1像元時(shí)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算可得出不同的l對(duì)應(yīng)的ηmin，如表1所示.

表1 σPSF=1時(shí)w-1m像元有效信號(hào)占總信號(hào)的最小比例ηmin

可以看出，當(dāng)長(zhǎng)度l>5時(shí)，ηmin與軌跡長(zhǎng)度的乘積近似為定值0.242，因此ηmin近似計(jì)算為：

(23)

對(duì)于不同的高斯半徑，都可以采用數(shù)值計(jì)算的方法近似得出ηmin與軌跡長(zhǎng)度l的關(guān)系.軌跡長(zhǎng)度l可由式(24)來(lái)估算：

l=fωTe

(24)

式中f為焦距，其單位是像元.

4.3 給定星敏感器的探測(cè)靈敏度計(jì)算實(shí)例

表2給定了星敏感器的典型參數(shù)，以此為例計(jì)算動(dòng)態(tài)情況下星敏感器的探測(cè)能力.

圖3給出在虛警率PFA=0.01、探測(cè)率PDET=0.99，即TNR=2.33、Lm=-2.33時(shí)，給定星敏感器在不同的曝光時(shí)間下的探測(cè)靈敏度.

可以看出，探測(cè)靈敏度隨角速度增大而減小.同時(shí)可以看出，在角速度較小時(shí)，曝光時(shí)間越長(zhǎng)，探測(cè)靈敏度越高；而當(dāng)角速度較大時(shí)，增加曝光時(shí)間并不能提高星敏感器的探測(cè)靈敏度，因?yàn)橄裨邮盏男盘?hào)電荷并沒(méi)有隨著曝光時(shí)間的增加而增加，相反暗電流噪聲和背景噪聲會(huì)隨曝光時(shí)間增加而增加，從而使探測(cè)靈敏度略有降低.

表2 給定星敏感器的參數(shù)

圖2 給定星敏感器的光學(xué)系統(tǒng)透過(guò)率和量子效率

圖3 給定星敏感器在不同曝光時(shí)間下的探測(cè)靈敏度

5 結(jié) 論

本文從探測(cè)率和虛警率的角度分析了像元能被探測(cè)到的條件；并根據(jù)像元輸出模型和星像提取方法，論證了用w-1m像元的信噪差比來(lái)判斷星像能否被提取的可行性；最后以給定星敏感器參數(shù)計(jì)算動(dòng)態(tài)情況下的探測(cè)靈敏度，得出在角速度較大時(shí)增加曝光時(shí)間并不能提高探測(cè)靈敏度的結(jié)論.