曼寧公式及其誤差分析

賈界峰 趙井衛(wèi) 陳客賢

1 曼寧公式(Manning's formula)

曼寧公式是1889年提出的,反映了水流與河床之間的部分關(guān)系以及河床內(nèi)部各因素間的相互關(guān)系。當(dāng)工程中不知道河道水位流量關(guān)系曲線時(shí),用曼寧公式推求是必要的手段。

水文計(jì)算流量所依據(jù)的河流橫斷面,稱為水文斷面,又稱形態(tài)斷面,形態(tài)斷面的流速和流量計(jì)算常常用到曼寧公式[1,2],其基本表達(dá)式為:

其中,v為斷面平均流速,m/s,對于復(fù)式斷面,河槽與河灘的斷面平均流速應(yīng)分別計(jì)算;n為粗糙系數(shù),糙率;m為n的倒數(shù),為水力半徑,m;i為洪水比降,以小數(shù)計(jì)。

水文斷面的流量計(jì)算為:

單式斷面時(shí):Q=Av;

復(fù)式斷面時(shí):Q=Acvc+Atvt=Qc+Qt。

其中,Q為全斷面總流量,m3/s;A為過水?dāng)嗝婷娣e,m2;Ac,At分別為河槽與河灘的斷面過水面積,m2;vc,vt分別為河槽與河灘的斷面平均流速,m/s;Qc,Qt分別為河槽與河灘的流量,m3/s。

2 誤差分析

2.1 誤差的提出

2.2 誤差的推求

水力半徑 R為過水?dāng)嗝婷娣e與其濕周的比值,若以X表示濕周,則 R=A/X,代入上式則有:

以斷面平均水深h代替水力半徑R時(shí)流量計(jì)算公式為:Q1=B為水面寬,兩種方法計(jì)算流量成果的相對誤差為:

把 Q1和 Q的表達(dá)式代入式(1),整理得:

式(2)就是以平均水深h代替水力半徑R利用曼寧公式計(jì)算流量的誤差公式。可以看出,其誤差系統(tǒng)是偏大的。

張仲平道：“至于，當(dāng)然至于，像我們這樣在這么一個有創(chuàng)意的地方碰上，算什么？算緣份啦。你主動開口求我點(diǎn)事，被我的電話打忘了，我罪過大了，求求你，你還是趕緊把那問題想起來吧，別讓我難過了，好嗎？”

2.3 不同斷面形狀的具體誤差分析

2.3.1 矩形斷面

矩形斷面形狀如圖1所示。

矩形斷面的濕周 X1=B+2h,式(2)可寫為:

規(guī)范規(guī)定:斷面的寬深比大于100稱為寬淺河道,以斷面平均水深 h代替水力半徑 R,計(jì)算的流量誤差

當(dāng)B/h→∞時(shí),δ→0,也就是說,矩形斷面寬淺河道以斷面平均水深h代替水力半徑R計(jì)算的流量誤差范圍在0%～1.33%之間。寬深比B/h越大,則誤差越小。對于矩形斷面窄深河道,流量計(jì)算誤差大于1.33%,且寬深比B/h越小,則誤差越大。表1給出了矩形斷面不同寬深比所對應(yīng)的流量計(jì)算誤差。

表1 矩形斷面 B/h—δ關(guān)系表

參照《水文資料整編規(guī)范》給出的水位流量關(guān)系水力因素法定線指標(biāo)對系統(tǒng)誤差的規(guī)定,系統(tǒng)誤差不能超過2%。要使系統(tǒng)誤差不大于2%,利用式(3)可得最小寬深比應(yīng)大于66.3。

2.3.2 三角形斷面

三角形斷面的流量誤差,除與寬深比有關(guān)外,還受三角形形狀的影響。

對于等腰三角形斷面,過水面積 A=Bhmax/2,又因 A=Bh,所以 h=hmax/2,即 hmax=2h。

則誤差公式為

對于直角三角形斷面(斷面形狀如圖2所示),X3=

則誤差公式為

對于寬淺河道,h≤B/100,代入式(4),則 δ≤0.05%;代入式(5),則δ≤1.34%。表2給出了等腰、直角三角形斷面不同寬深比所對應(yīng)的流量計(jì)算誤差。

表2 三角形斷面 B/h—δ關(guān)系表

2.3.3 “U”形斷面

“U”形斷面的濕周X4介于矩形斷面濕周X1和等腰三角形斷面濕周X2之間,所以按照規(guī)范系統(tǒng)誤差不超過2%的要求,最小寬深比應(yīng)在16.2～66.3之間。但“U”形斷面更接近于矩形斷面,為保證流量計(jì)算精度,“U”形斷面的寬深比 B/h宜大于66.3。

3 結(jié)論與建議

1)斷面的寬深比大于100時(shí),以斷面平均水深h代替水力半徑R利用曼寧公式計(jì)算流量,矩形斷面引起的流量誤差 δ≤1.33%;等腰三角形斷面引起的流量誤差δ≤0.05%;直角三角形斷面引起的流量誤差 δ≤1.34%;“U”形斷面引起的流量誤差 δ≤1.33%。

2)對于較為普遍的“U”形斷面,當(dāng) B/h≥66.3時(shí),可采用斷面平均水深代替水力半徑進(jìn)行計(jì)算,成果的系統(tǒng)誤差不超過2%。

3)對于等腰三角形斷面,當(dāng)B/h≥16.2時(shí),可采用斷面平均水深代替水力半徑進(jìn)行計(jì)算,成果的系統(tǒng)誤差不超過2%;對于直角三角形斷面,當(dāng)B/h≥67.3時(shí),可采用斷面平均水深代替水力半徑進(jìn)行計(jì)算,成果的系統(tǒng)誤差不超過2%;對于其他任意三角形斷面,為保證流量計(jì)算精度,寬深比 B/h宜大于67.3。

4)實(shí)際中應(yīng)根據(jù)實(shí)測斷面計(jì)算各級水位的寬深比,不可盲目采用斷面平均水深代替水力半徑進(jìn)行流量計(jì)算。

5)對采用斷面平均水深代替水力半徑進(jìn)行的有關(guān)計(jì)算中,建議規(guī)范中采用斷面平均水深代替水力半徑的寬深比的標(biāo)準(zhǔn)可以適當(dāng)放寬,并給出不同形態(tài)斷面采用的具體寬深比限值,而不能只用一個限值套用所有的斷面形式。

[1] 劉潤生,李家星,王培莉.水力學(xué)[M].南京:河海大學(xué)出版社,1992.

[2] 高東光.橋涵水文[M].北京:人民交通出版社,2008.

[3] 中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),水文資料整編規(guī)范[S].

[4] 中華人民共和國交通部,公路工程水文勘測設(shè)計(jì)規(guī)范[S].