極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積教學(xué)方法探討

劉桂仙 劉慶升

1河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 454000

2曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 655011

極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積教學(xué)方法探討

劉桂仙1劉慶升2

1河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 454000

2曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 655011

從高等數(shù)學(xué)教學(xué)的角度出發(fā)，探討了如何講解在極坐標(biāo)下求平面圖形的面積問(wèn)題。

極坐標(biāo)；定積分；面積

求平面圖形的面積是定積分在幾何中的一個(gè)最基本的應(yīng)用，當(dāng)某些平面圖形的邊界曲線(xiàn)以極坐標(biāo)方程給出時(shí)，我們可以考慮直接用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算這些平面圖形的面積.本文就從高等數(shù)學(xué)教學(xué)的角度出發(fā)，探討了如何講解在極坐標(biāo)下求平面圖形的面積問(wèn)題。

圖1

在講課過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)由于中學(xué)課改，現(xiàn)在學(xué)生普遍沒(méi)有接觸過(guò)極坐標(biāo)，理解起來(lái)十分困難，這就使授課教師很為難，如果只是簡(jiǎn)單一帶而過(guò)的介紹，學(xué)生聽(tīng)不明白，只能死記公式，但如果向?qū)W生詳細(xì)介紹極坐標(biāo)，又受到學(xué)時(shí)的限制，難以展開(kāi)，可是若要講解在極坐標(biāo)下求平面圖形的面積問(wèn)題，學(xué)生必須知道什么是極坐標(biāo).要想用較短的時(shí)間向?qū)W生講明白什么是極坐標(biāo)，我想關(guān)鍵是用通俗易懂的語(yǔ)言把意思講清楚.什么是極坐標(biāo)？實(shí)際上用距離和方向表示平面上一點(diǎn)的位置，就是極坐標(biāo)。

結(jié)合直角坐標(biāo)系，通過(guò)作圖，把直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化關(guān)系分析清楚極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的關(guān)系如圖1所示，將極坐標(biāo)的極點(diǎn)O作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將極坐標(biāo)的極軸作為直角坐標(biāo)系x 軸的正半軸。如果點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x,y)，在極坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(ρ,θ) 則有下列關(guān)系

講清楚極坐標(biāo)的定義后，用元素法分析出用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算平面圖形的面積公式.如圖2，設(shè)圖形由曲線(xiàn)

圖2

在舉例子的過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生往往對(duì)由極坐標(biāo)表示的圖形很困惑，這些圖形是怎么生成的呢？如何畫(huà)呢？下面通過(guò)舉例來(lái)講解一下，在許多高等數(shù)學(xué)課本中有這樣一個(gè)例子：計(jì)算心形線(xiàn)所圍成的圖形的面積.我在講此例時(shí)，首先把解析幾何的平面曲線(xiàn)的方程這部分知識(shí)穿插進(jìn)來(lái)，向?qū)W生介紹心形線(xiàn)是如何生成的：當(dāng)一圓沿著一個(gè)定圓的外部作無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡在直角坐標(biāo)系下利用向量法得到的就是心形線(xiàn)。利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化關(guān)系就得到心形線(xiàn)的極坐標(biāo)表示式，其次再利用多媒體動(dòng)畫(huà)演示一遍，最后向?qū)W生分析在極坐標(biāo)系下圖形如何畫(huà)：找出作圖區(qū)間是;在此區(qū)間上找出特殊點(diǎn)；觀察

通過(guò)上面例子的詳細(xì)講解，學(xué)生在極坐標(biāo)系下會(huì)畫(huà)平面圖形，再用元素法分析出面積元素，那么利用極坐標(biāo)系計(jì)算平面圖形的面積就掌握了，這也為以后講授利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分奠定了基礎(chǔ)。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)(第六版)(上冊(cè))[M]．北京：高等教育出版社. 2007.

[2]呂林根，許子道. 解析幾何（第四版）[M]．北京：高等教育出版社.2006.

劉桂仙（1980-），女，講師，碩士，主要從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)方向的研究。

河南理工大學(xué)2008年教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2008JG073）;河南理工大學(xué)青年基金（646205）