力學教學中向量的導入與應用

楊志安,辛 靜,李高峰

(1.唐山學院結構與振動工程重點實驗室,河北唐山 063000;2.河北理工大學機械工程學院,河北唐山 063000)

力學教學中向量的導入與應用

楊志安1,辛 靜2,李高峰1

(1.唐山學院結構與振動工程重點實驗室,河北唐山 063000;2.河北理工大學機械工程學院,河北唐山 063000)

向量是數(shù)學的基本概念之一,向量與力學聯(lián)系緊密。結合力學教學,將基于問題的研究性教學方法應用其中。給出在向量教學中自然導入力學背景,在力學教學中自然導出向量知識教學實例。教學實踐表明這種教學模式符合“以人為本,以學生為中心”的核心教育原則,也符合“學以致用”的教學目的。

向量;幾何;力學;基于問題;研究性教學

0 引言

力學是大學工科學生的一門技術基礎課。力學是研究物體機械運動一般規(guī)律的科學[1]。數(shù)學是大學工科學生的基礎課。數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系及空間形式的科學。數(shù)學為力學提供描述物體運動現(xiàn)象與規(guī)律的語言與工具,反過來,力學也為數(shù)學概念的建立提供原形。事實上,數(shù)學中有不少概念首先是由力學家提出,然后再由數(shù)學家逐步嚴謹化。例如,牛頓與萊布尼茲分別從運動學和幾何學出發(fā),各自獨立提出微積分。數(shù)學的分支向量分析也是如此[2]。

向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一,有深刻的幾何、力學背景,是解決幾何問題、力學問題的有力工具[3]。向量最初應用于力學,被稱為矢量,矢量的稱謂沿用至今。很多力學量,如力、速度、位移等都是向量。大約公元前350年,古希臘著名學者亞里士多德(Aritotle,公元前384-前322)就知道了力可以表示成向量,向量一詞來自力學、解析幾何中的有向線段,最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓[4](New ton,1642-1727)。向量的基本概念和基本運算都能從力學中找到背景[5]。如何在數(shù)學教學中有效導入力學背景?在力學教學中有效導出數(shù)學方法?已引起從事數(shù)學及力學教師的注意[6]。傳統(tǒng)理工教育常常將新的課程作為本課程內(nèi)一個自成系統(tǒng)的知識體系處理,介紹理論方法與公式時與學生已有的知識聯(lián)系甚少[7]。向量分析與力學教學也或多或少存在這種現(xiàn)象。我們知道,任何一種新的信息都會經(jīng)過學習者的心智結構的過濾,這一心智結構綜合了學生已有的知識,包括信念、先入之見,甚至是錯誤、偏見等。如果新的信息與學習者的心智結構相一致,就會被融匯進去,事半功倍。如果兩者有抵觸,學生為了應對考試,可能會死記硬背,不可能融入自己的心智結構中,在這種情況下,他們是學不進去的,教學效果也會大打折扣[8-10]。根據(jù)向量與力學課程的特點,可以在向量與力學的教學中搭建一個橋梁,使學生從可能熟悉的內(nèi)容與經(jīng)歷出發(fā),以便跟他們已有的知識結構聯(lián)系起來,這應是承擔向量、力學教學任務的教師重點研究的問題。新的內(nèi)容的提出應該有的放矢,與實際的應用有關,并與已有的知識結構聯(lián)系起來,而不是僵硬地提出來。如果學生能看到他們先前已掌握的知識或理論有用,可以用來演繹、推理新課程的命題,他們就會更加有積極性。這樣學生才會強烈主動地去學,并自主填補知識的空白,有效地開展研究性學習[11]。

下面結合筆者教學及研究的經(jīng)歷,從幾個方面討論力學與向量的導入導出關系,探討基于向量與力學問題的研究性教學方法。

1 向量的概念拓展及幾何表示

數(shù)學中,既有大小,又有方向并且服從平行四邊形加法法則的量叫做向量,力學中常稱為矢量。人們的長期實踐證實,力對物體的作用效應取決于力的三要素:①力的大小,②力的方向,③力的作用點。前兩方點說明力是向量,第三方點說明力是定位向量。

在幾何學中我們知道,帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段包含三個要素:起點、方向、長度。知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定。對照力的三要素,力可以用帶有箭頭的有向線段表示。

綜合上述分析,向量可以用有向線段表示。

在靜力學中,有一個著名的原理叫力的可傳性原理。作用于剛體上某一點的力,可沿其作用線移至剛體上任一點,而不改變對剛體的作用效應。根據(jù)力的可傳性可知,作用于剛體上的力的三要素是力的大小,方向和作用線。只需要表示出作用線而無需表示出作用點的向量稱為滑移向量。因此作用于剛體上的力是滑移向量。

在剛體靜力學中,學習過力偶矩向量。力偶對剛體的作用決定于三個要素:力偶矩的大小、作用面的方位和轉(zhuǎn)向。與力的三個要素對照,力偶矩的作用面的方位和轉(zhuǎn)向說明力偶矩的方向,力偶矩對剛體產(chǎn)生的繞任一點轉(zhuǎn)動效應相同,因此力偶矩向量是自由向量。向量概念被力學中力的概念引出,又在力學中得以拓展。

2 力學背景與幾何意義

2.1 向量加法

圖1

位移是向量,求兩個向量和的運算,叫做向量的加法。上面這種求向量和的方法,稱為向量的三角形法則。位移的合成可以看作向量加法三角形法則的力學模型。

圖2

上述這種求兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的力學模型。

向量的和運算是向量的一種基本運算。在向量和運算中導入兩種力學模型,在力和位移的合成運算中導出向量和,體現(xiàn)了數(shù)學與力學的和諧韻律。

2.2 向量數(shù)乘

在生活實踐中,有時向量與數(shù)量(指實數(shù))同時并存。在力學中有一條著名的定律,牛頓第二定律。表述為:物體的加速度跟所受的合力成正比,跟物體的質(zhì)量(質(zhì)量大于零)成反比,加速度的方向跟合力的方向相同,即

力和加速度都是向量,而質(zhì)量是數(shù)量。從這條定律知道力的方向與加速度方向一致。在此基礎上產(chǎn)生向量的數(shù)乘運算。

牛頓發(fā)現(xiàn)了力學基本定律-牛頓第二定律。給出了向量數(shù)乘的力學背景,而向量數(shù)乘又拓展了這一力學背景,使其更具有普遍性。數(shù)學與力學的和諧之美在牛頓定律中得到生動體現(xiàn)。

2.3 向量的數(shù)量積

功是一個標量,它由力和位移兩個向量來確定。那么,能否把“功”看成是這兩個向量的一種運算的結果呢?在此類問題的基礎上,引出向量數(shù)量積的概念。

圖3

功的概念意義遠遠超出了它的力學意義。功的概念在生活與實踐中廣泛應用。通過這種導入導出式學習,我們會深深感到數(shù)學與力學如影隨形,無處不在。

2.4 向量的矢量積

向量間還有一種運算,也是起源于實際需要,再看一個力學問題,就是力對點的矩矢的概念。

在此類問題的基礎上,引出向量的矢量積概念。

圖4

圖5

3 向量在力學中的應用舉例

向量作為工具研究幾何問題,開創(chuàng)了研究幾何問題的新方法。建立向量運算與幾何圖形之間的關系后,對圖形的研究推進到了有效能算的水平,從而實現(xiàn)了綜合幾何到向量幾何的轉(zhuǎn)折。

向量及其基本運算都有其力學背景。在靜力學中,前面已經(jīng)介紹力,力對點之矩矢、力偶矩矢都是向量。求合力、合力矩、合力偶矩運算就是向量運算。力系的簡化是靜力學研究的主要內(nèi)容之一,集中體現(xiàn)了向量的平移、向量的合成、向量的相等等運算。另外,力學與幾何密不可分,有些力學問題本身可歸納為幾何問題。下面介紹4個例子。

例1 渡河問題。如圖6,一條河的兩岸平行,河的寬度d=200 m,一艘小船從A處出發(fā)到河對岸,已知船在靜水中的速度是|v1|=4 m/s,水流速度|v2|=-m/s,求要使小船到達正對岸B處,小船應如何行使,耗時多少。

解:考慮到水的流速,要使小船到達正對岸B處,那么船的速度和水流速度的合速度必須垂直于對岸,速度合成如圖7。則有

圖6

圖7

此題涉及向量合成運算與直角三角形求解。

例-空間作用兩力的夾角問題。如圖8,在正方體剛體

圖8

此題求解空間兩個的夾角問題涉及向量的數(shù)量積運算與立體幾何問題的求解。

圖9

作用在鋼板上的合力方向向上,大小為200 6 kN,作用點為三角形ABC的中心。

此題是求解空間三力合力問題,涉及向量的數(shù)量積運算與正三角形求解。

例4 平面一般力系對不同簡化中心的主矩之間關系的向量表示與證明。即證明平面一般力系對于新簡化中心O′的主矩′,等于原簡化中心的主矩上在點O的主矢對新簡化中心O′點之矩。

圖10 力系簡化圖

此例涉及向量的矢量積與向量的三角形法則。

4 結論

結合力學教學實踐,總結出在向量教學中自然導入力學背景,在力學教學中自然導出向量知識這種基于問題的研究性教學方法。指出在向量教學中自然導入向量概念及基本向量運算的力學背景與幾何意義,在力學教學中自然導出向量知識這種基于問題的研究性教學方法的重要意義。對于教授力學課程的教師,強調(diào)在力學的相應之處導出向量知識并使其在力學中拓展與應用。這樣才能使課堂生動,有趣,使知識有機銜接。教學實踐表明這種教學模式符合“以人為本,以學生為中心”的核心教育原則,也符合“學以致用”的教學目的。

[1] 單輝祖,謝傳鋒.工程力學[M].北京:高等教育出版社,2008:3-4.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所.數(shù)學[M].北京:人民教育出版社,2008:34-35.

[3] 人民教育出版社物理室.物理[M].北京:人民教育出版社,2005:42.

[4] 董克誠.空間解析幾何教程[M].保定:河北大學出版社,1981:55-56.

[5] 南京工學院.理論力學[M].北京:高等教育出版社,1986: 65-66.

[6] 楊志安,李高峰,賈培強.基于數(shù)學歸納法的“工程力學”教學實踐[J].唐山學院學報,2010,23(3):1-4.

[7] 梅向明,黃敬之.微分幾何[M].北京:人民教育出版社,1983.

[8] Bruner,J.S.,The Act of Discovery[J].Harvard Ed-ucational Review,1961,31(1):717.

[9] Biggs,J.,Enhancing Teaching Through Constructive Alignment[J].Higher Education,1996,32(6):1-18.

[10] Felder,R.M.and Brent,R.Effective Strategies for Cooperative Learning[J].Cooperation and Collaboration in College Teaching,2001,10(2):69-75.

[11] 楊志安.基于學位論文與課程設計的“非線性振動”課程研究型教學實踐[J].唐山學院學報,2008,21 (6):1-8.

(責任編校:李高峰)

Applicationg and Introduction of Vector in Mechanics Teaching

YANG Zhi-an1,XIN Jing2,LIGao-feng1
(1.Key Lab of Structure and Vibration of Tangshan Collage,Tangshan 063000,China;2.College of Mechanical Engineering Hebei Polytechnic University,Tangshan 063000,China)

Vector is a basic mathmatical concept and is closely related with mathmatics.Combined with teaching practice of mechanics,the problem based investagating teaching method is brought forward and applied in mechanics teaching.The examples are given to show how to introduce background of mechanics in vector teaching and how to educe vector know ledge in mechanics teaching.Teaching practice indicates that this teaching mode accords to not only the core“people-oriented and student-centered”education principle,but also the teaching goal of learning for application.

vector;gometry;mechanics;problem-based;investagating teaching

O31;G64-

A

1672-349X(2010)06-0003-05

2010-06-25

楊志安(1963-),男,教授,博士,主要從事機電耦聯(lián)非線性動力學、結構與振動工程的教學與研究工作。