將數(shù)學(xué)建模的基本思想融入文科高等數(shù)學(xué)的主干課程

鄭艷霞

（中國青年政治學(xué)院 數(shù)學(xué)中心，北京 100089）

將數(shù)學(xué)建模的基本思想融入文科高等數(shù)學(xué)的主干課程

鄭艷霞

（中國青年政治學(xué)院 數(shù)學(xué)中心，北京 100089）

本文主要闡述了將數(shù)學(xué)建模的思想融入到數(shù)學(xué)的主干課程的構(gòu)建；并進(jìn)行了實(shí)證分析；最后闡述了數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程存在的問題及對(duì)策.

數(shù)學(xué)建模；融入；直觀化；立體化；高等數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)建模思想對(duì)提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的影響是巨大的，高校數(shù)學(xué)主干課程中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足，促進(jìn)高校數(shù)學(xué)教師的知識(shí)更新，推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)思想的發(fā)展，同時(shí)解決高等數(shù)學(xué)教材與最新數(shù)學(xué)思想的時(shí)間差，是一件非常有意義的事情，而且這一觀點(diǎn)已經(jīng)在高校數(shù)學(xué)教師中達(dá)成共識(shí).但是，如何將數(shù)學(xué)建模的思想融入數(shù)學(xué)的主干課程使高等數(shù)學(xué)的教學(xué)達(dá)到更好的效果，還是一個(gè)嘗試階段.本文就筆者進(jìn)行文科高等數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约旱捏w會(huì)和看法.

1 數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程的構(gòu)建

常見的將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程的方式有：輕度的融入，中度融入和完全融入幾種方式.簡(jiǎn)單的講：輕度融入就是課程的體系完全不進(jìn)行改變，理論的講解和習(xí)題的練習(xí)仍然采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式進(jìn)行；只是在教學(xué)過程中引入適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模的例題和習(xí)題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用的意識(shí)，應(yīng)用性例題和習(xí)題講解成為原有例題習(xí)題的點(diǎn)綴；中度融入就是在教學(xué)中以原來的教學(xué)體系為主干，適當(dāng)?shù)耐卣乖械捏w系，在教學(xué)中添加數(shù)學(xué)問題的背景教學(xué)，向?qū)W生介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)史，采用數(shù)學(xué)建模的思想貫穿例題的講解中，突出有實(shí)際意義的例題的講解和練習(xí)，適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)軟件的使用，在教學(xué)中比較注重學(xué)生能力的培養(yǎng)；完全融入就是在課程介紹時(shí)選擇“問題式”進(jìn)行授課內(nèi)容的編排，在問題的解決過程中安排需要的知識(shí)體系，打破原有的課程的限制；中間穿插數(shù)學(xué)的歷史、數(shù)學(xué)的背景材料等，以學(xué)生的能力訓(xùn)練為主導(dǎo).

在實(shí)際的執(zhí)行過程中，到底采取什么樣的形式進(jìn)行融入，要看學(xué)生的具體情況和教師的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的積累.一般來說，輕度融入是最好進(jìn)行的，而且授課中沒有障礙，也不會(huì)牽扯教師更多的精力，易于操作，適合于剛畢業(yè)的新教師施行；中度融入需要教師熟悉原有的課程體系，熟悉數(shù)學(xué)的歷史，對(duì)實(shí)際應(yīng)用感興趣，并且具備一定的數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)于學(xué)生而言，是受益更大的一種方式；完全融入的方式學(xué)生受益會(huì)更大，課程講解也會(huì)更有意思，但是對(duì)教師的要求也更高，需要教師具有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和較高的數(shù)學(xué)建模的水平，而且需要對(duì)課程的宏觀把握更準(zhǔn)確.當(dāng)然在執(zhí)行的過程中，建議在原有的課程體系下進(jìn)行，分章節(jié)進(jìn)行調(diào)整；在需要認(rèn)真進(jìn)行概念分析的地方采取輕度融入；在恰當(dāng)?shù)牡胤讲扇≈卸热谌?，每本書就某一個(gè)或幾個(gè)專題進(jìn)行完全的融入方式進(jìn)行.

2 數(shù)學(xué)建模思想融入文科高等數(shù)學(xué)主干課程的實(shí)證分析

在教授的課程中，授課的對(duì)象不同，對(duì)高等數(shù)學(xué)的接受程度也是不同的.對(duì)于公共管理、社會(huì)工作、青少年工作等專業(yè)的學(xué)生而言，如何在授課中進(jìn)行更好的融入，是更為關(guān)鍵的問題.

2.1 借助于數(shù)學(xué)建模的思想，使數(shù)學(xué)直觀化

圖1

對(duì)于絕大多數(shù)文科生而言，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論往往會(huì)讓他們一頭霧水，我們數(shù)學(xué)教師在追求數(shù)學(xué)體系本身嚴(yán)謹(jǐn)性的時(shí)候，卻忽略了學(xué)生，很多學(xué)生由于對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)理論的懼怕而根本沒有學(xué)習(xí)興趣，他們中絕大部分學(xué)生都在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中苦苦的煎熬，只等學(xué)分修好就將數(shù)學(xué)知識(shí)統(tǒng)統(tǒng)束之高閣，再也不去碰它.這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，我們數(shù)學(xué)教師是有很大責(zé)任的.筆者認(rèn)為，應(yīng)該吸取數(shù)學(xué)建模解題的方式，運(yùn)用各種手段進(jìn)行教學(xué)，將教學(xué)的內(nèi)容直觀化，而不是盡量絕對(duì)追求數(shù)學(xué)自身體系的完美無缺.比如在課堂教學(xué)中講解極限的概念時(shí)，重點(diǎn)講授極限的思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)課件（如圖1）的直觀形式，讓學(xué)生體會(huì)時(shí)函數(shù)極限的基本思想，通過變換的不同數(shù)值，讓學(xué)生尋找的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)基本思想，弱化的嚴(yán)格定義敘述；在此過程中，抽象的極限理論成了學(xué)生腦子里生動(dòng)的圖形；這雖然是一種“不完美”的數(shù)學(xué)概念的講解，但是這種直觀模型，是更實(shí)用的，學(xué)生可以接受的.對(duì)于文科的學(xué)生而言，這種直觀的訓(xùn)練也就夠了.

2.2 借鑒于數(shù)學(xué)建模的解題過程，使數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容立體化

對(duì)于現(xiàn)在我國高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，存在很普遍的問題就是“燒中段”，也就是，在教學(xué)過程中，既不介紹數(shù)學(xué)問題的實(shí)際發(fā)展歷史和產(chǎn)生背景，也不強(qiáng)調(diào)和訓(xùn)練學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用，而僅僅是講授一段抽象的數(shù)學(xué)理論，并用這些理論去解決一些抽象的問題.我們希望借鑒數(shù)學(xué)建模的解題過程，從實(shí)際問題的描述入手，不斷總結(jié)抽象，進(jìn)行模型的假設(shè)，最后運(yùn)用數(shù)學(xué)的手段解決實(shí)際問題.在此過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決模型只是其中的一部分而不是全部?jī)?nèi)容.在文科高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中為使數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容立體化，除了講解原有的理論外，還應(yīng)該添加數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論的背景教學(xué)以及在講解這些理論的背景和發(fā)展過程中添加數(shù)學(xué)家的軼事.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)立、數(shù)學(xué)體系的發(fā)展，并非“空穴來風(fēng)”，它也像其他學(xué)科一樣有它產(chǎn)生的實(shí)際背景和過程，數(shù)學(xué)問題的提出和解決就像餓了吃飯，渴了喝水一樣自然，并且使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家的工作，培養(yǎng)學(xué)生的科研精神.如在講解導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)，介紹巴羅和柯西的關(guān)于導(dǎo)數(shù)定義的工作，同時(shí)介紹兩位數(shù)學(xué)家，還原導(dǎo)數(shù)的定義過程等.

要使文科高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)現(xiàn)立體化，還宜采用以問題引出概念的方式等進(jìn)行教學(xué).例如在講解非齊次線性差分方程的解時(shí)可以先引入一個(gè)例題：

“某高校為改善教學(xué)條件，急需一筆資金.當(dāng)時(shí)銀行貸款年利率是12%（月利率為1%），而該學(xué)院每月最多可籌集到20萬元用來還貸，假設(shè)用an來表示貸款后第n個(gè)月的欠款數(shù)，根據(jù)條件可得到第n+1個(gè)月學(xué)院所欠銀行貸款數(shù)為：an+1=an+0.01an-20.

（1）假設(shè)該學(xué)院準(zhǔn)備購置設(shè)備，從銀行貸款400萬元人民幣，多久可以還清？

（2）如果學(xué)院準(zhǔn)備擴(kuò)建校舍，建設(shè)一棟實(shí)驗(yàn)樓需要向銀行貸款5000萬元人民幣.學(xué)院仍然每個(gè)月只能拿出20萬元還貸，那么會(huì)是什么情況？

（3）如果學(xué)院貸款2000萬元人民幣，同樣每個(gè)月只還貸20萬元人民幣會(huì)是什么樣呢？

（4）如果學(xué)院貸款2000萬元，每月只還貸20萬元的話，那么這20萬元只夠支付銀行利息，所欠銀行2000萬元的一直保持不變.”由此例題出發(fā)，進(jìn)行差分方程的課堂教學(xué)引出概念，進(jìn)行描述等.這樣學(xué)生學(xué)習(xí)的過程就能夠目的性更明確了.

3 將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程存在的問題及對(duì)策

將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程的必要性和優(yōu)勢(shì)是明顯的，但是在此過程中，毫無疑問的還存在一些問題，突出表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

3.1 將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程面臨體系改革與現(xiàn)行的考試體制的矛盾

將數(shù)學(xué)建模的思想融入到數(shù)學(xué)的主干課程，毫無疑問對(duì)于學(xué)生的全方位的學(xué)習(xí)是有利的，但是現(xiàn)行的應(yīng)試體制下，學(xué)生為“考”而學(xué)，為“分”而學(xué)，凡是與分?jǐn)?shù)提高關(guān)系不大的東西都統(tǒng)統(tǒng)忽略，這是推行融入思想的一大障礙，這一障礙的掃除不是教師和某幾個(gè)高校所能夠完成的，必須是國家考試機(jī)制的轉(zhuǎn)變才能夠徹底消除.

3.2 將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程體系改革，外部條件尚存在問題

將數(shù)學(xué)建模的思想融入到數(shù)學(xué)的主干課程，改變?cè)瓉淼恼n程體系設(shè)置，需要一定的設(shè)備，最好能配置支持網(wǎng)絡(luò)的電腦，并且提供相應(yīng)的數(shù)學(xué)軟件以及平臺(tái)供教師使用；其次，在經(jīng)費(fèi)支持上，也應(yīng)該給教師更多的支持；這就需要學(xué)校在數(shù)學(xué)教學(xué)上給與更多的支持和資金投入.

3.3 將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)主干課程面臨體系改革，教師面臨更大的挑戰(zhàn)

將數(shù)學(xué)建模的思想融入到數(shù)學(xué)的主干課程，需要教師具有更廣泛的專業(yè)知識(shí)和更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，熟練掌握數(shù)學(xué)軟件，比較投入的進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究，對(duì)整體的課程體系非常熟悉；這對(duì)教師是非常大的挑戰(zhàn)；而且這些屬于教學(xué)方面的研究探索，花費(fèi)的心血非常大，但是在現(xiàn)行的高校評(píng)價(jià)體系中，更重視教師的科研工作，教學(xué)上只要達(dá)到學(xué)校的基本要求就可以了，而不是精益求精，反而在科研上的成果帶來名利雙收，不但評(píng)職稱、晉級(jí)占據(jù)主動(dòng)，就是輿論評(píng)價(jià)也往往把科研作為一個(gè)人能力的象征，由此導(dǎo)致教師投入的熱情不高，主動(dòng)性較差.這一問題的解決需要學(xué)校在評(píng)價(jià)教師時(shí)，增大教學(xué)的比重，把教學(xué)的研究作為科研的一部分；在評(píng)職稱等問題上對(duì)教學(xué)有所傾斜，提倡和鼓勵(lì)教師投入更大的熱情進(jìn)行教學(xué)工作.

總之，將數(shù)學(xué)建模的基本思想融入到數(shù)學(xué)的主干課程，是需要數(shù)學(xué)教師長期努力的過程，是需要教師不斷創(chuàng)新的.這個(gè)過程會(huì)隨著教師的不斷投入和經(jīng)驗(yàn)積累而不斷完善；會(huì)隨著教育制度的不斷完善、教育政策的更加合理以及學(xué)校對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的支持力度加大而逐漸完善的；這是需要全體從事高教的人員投入的事業(yè).

〔1〕蘇柏山.師范高專開設(shè)《文科高等數(shù)學(xué)》課程的初步探討.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1999(3).

〔2〕鄭艷霞.數(shù)學(xué)建模對(duì)大學(xué)生能力的培養(yǎng).高等數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（1）.

〔3〕周木生，王庚.數(shù)學(xué)軟件融入到微積分教學(xué)中的模式初探.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005（1）.

〔4〕魏波，馬耀蘭.將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探討成功.教育，2007（9）.

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1673-260X（2010）04-0003-02