分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的多項(xiàng)式相位信號(hào)DOA估計(jì)

(重慶郵電大學(xué) 信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

1 引 言

多項(xiàng)式相位信號(hào)(Polynomial Phase Signal，PPS)是信號(hào)處理領(lǐng)域中一個(gè)具有重要意義的非平穩(wěn)寬帶信號(hào)，在通信、雷達(dá)、電子對(duì)抗、生物醫(yī)學(xué)、聲納、語(yǔ)音等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者大多是針對(duì)PPS的相位系數(shù)估計(jì)進(jìn)行研究，而對(duì)PPS的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方面的研究甚少。在現(xiàn)代電子通信領(lǐng)域中，精確估計(jì)PPS的DOA，實(shí)現(xiàn)超分辨測(cè)向顯得非常重要。線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)(LFM，又稱(chēng)chirp)是PPS的一個(gè)特例。當(dāng)前，LFM信號(hào)DOA估計(jì)經(jīng)典的方法有MUSIC、ESPRIT算法等，后來(lái)對(duì)MUSIC算法提出了一系列改進(jìn)算法，如求根MUSIC算法[1]、循環(huán)MUSIC算法、時(shí)頻MUSIC算法等，但這些算法都是針對(duì)窄帶LFM信號(hào)的。對(duì)于寬帶LFM信號(hào)，國(guó)內(nèi)學(xué)者陶然、齊林等對(duì)分?jǐn)?shù)階Fourier變換(FRFT)的寬帶LFM的DOA估計(jì)[2]進(jìn)行了深入研究，并取得了較好的效果；鄭州大學(xué)的張艷紅提出了基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的寬帶LFM信號(hào)DOA估計(jì)[3]，但是針對(duì)大于二階的多項(xiàng)式相位信號(hào)，相關(guān)的研究卻很少。

2 線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)的陣列模型

陣列模型為M個(gè)陣元的均勻線(xiàn)陣(ULA)，陣元間距為d，如圖1所示。假設(shè)有一LFM信號(hào)s(t)，入射角為θ。如果把第一個(gè)陣元作為參考陣元，則第i個(gè)陣元上的觀測(cè)信號(hào)可以表示為

xi(t)=st-τi+nit，i=1，2，3,…，M

(1)

其中：

τi=i-1dsinθ/c

(2)

st=Aej2πf0t+πKt2+φ

(3)

式中，f0、K和φ分別為L(zhǎng)FM信號(hào)的初始頻率、調(diào)頻斜率和初始相位，ni(t)為第i個(gè)陣元相互獨(dú)立且與信號(hào)無(wú)關(guān)的高斯白噪聲，τi是信號(hào)s(t)在第i個(gè)陣元相對(duì)于第一個(gè)陣元的延時(shí)，c為光速。

圖1 均勻線(xiàn)陣結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The ULA and array model

3 FRFT的DOA估計(jì)

3.1 多項(xiàng)式相位變換實(shí)現(xiàn)對(duì)PPS的降階

我們考慮多項(xiàng)式相位采樣信號(hào)模型為

x(n)=s(n)+w(n)=

(4)

式中，0≤n≤N-1，N為采樣點(diǎn)數(shù)，Δ為采樣間隔，am(m=1,2,3,…,M)為PPS的相位系數(shù)，M和b0分別為PPS的階數(shù)和幅度，w(n)為均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲。對(duì)于上式的信號(hào)模型，τ為延時(shí)參數(shù)，假設(shè)τ和M為正整數(shù)。

PPS的一個(gè)重要性質(zhì)就是通過(guò)高階瞬態(tài)距(HIM)計(jì)算，可得如下信號(hào)形式[4]：

(5)

其中：

(6)

φ=(M-1)！(τΔ)M-1aM-1-

0.5(M-1)M！(τΔ)MaM

(7)

M階多項(xiàng)式相位變換定義為DPM[s(n),τ]的離散時(shí)間傅氏變換，對(duì)一個(gè)振幅恒定的M階PPS應(yīng)用M階算子DPM將該信號(hào)變換成單個(gè)正弦信號(hào)，且其頻率w0與最高次項(xiàng)系數(shù)aM有關(guān)。

(8)

3.2 FRFT實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)陣列的窄帶化處理

信號(hào)x(t)的FRFT定義為[6]

(9)

式中，F(xiàn)RFT的變換核Kp(t,u)為

(10)

式中，n為整數(shù)，α稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角度，且α=pπ/2，p為FRFT的階數(shù)，F(xiàn)p·為FRFT的算子符號(hào)，δt為單位沖激函數(shù)。

信號(hào)xt的FRFT是線(xiàn)性變換，它和Wigner-Ville分布(簡(jiǎn)稱(chēng)WVD)的關(guān)系可解釋為時(shí)頻平面的旋轉(zhuǎn)算子，這一特性決定了FRFT特別適合于處理LFM類(lèi)信號(hào)。如圖2所示，與該斜直線(xiàn)相垂直的分?jǐn)?shù)階Fourier域(FRF域)上求信號(hào)的FRFT，則在該域的某點(diǎn)將出現(xiàn)明顯的峰值。而噪聲的能量均勻地分布在整個(gè)時(shí)頻平面內(nèi)，在任何的FRF域上均不會(huì)出現(xiàn)能量聚集。因此，F(xiàn)RFT在某個(gè)FRF域中對(duì)給定的LFM信號(hào)具有最好的能量聚集[6]。

圖2 LFM信號(hào)的時(shí)頻分布及其在FRF域上的投影Fig.2 LFM signal in the time-frequency distribution and projection of FRF domain

對(duì)信號(hào)st進(jìn)行p階FRFT，在α,u平面上，運(yùn)用分級(jí)計(jì)算迭代搜索方法對(duì)spu進(jìn)行峰值點(diǎn)的二維搜索，即確定分?jǐn)?shù)階的搜索范圍a,b，確定初始步長(zhǎng)Δp1=0.1，估計(jì)出分?jǐn)?shù)階的初始值為p1;再進(jìn)行二次搜索范圍p1-0.1,p1+0.1，確定初始步長(zhǎng)Δp2=0.01，估計(jì)出分?jǐn)?shù)階的初始值為p2;再進(jìn)行三次搜索范圍p2-0.01,p2+0.01，確定初始步長(zhǎng)Δp3=0.001，直至達(dá)到所要求的精度。得到峰值點(diǎn)的位置αq和um，則可得信號(hào)的調(diào)頻斜率和初始頻率估計(jì)[6]:

(11)

也就是說(shuō)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度α=-arccotK時(shí)，spu有最佳的能量聚集。

(12)

式中，i=1,2,3,…,M。

Ap=1，e-j2πτ2u1msinα，…，e-j2πτMu1msinαT

(13)

因此，可得到天線(xiàn)陣列的觀測(cè)信號(hào)在FRF域矢量表達(dá)式:

Xp=Apsp+Np

(14)

其中：

(15)

(16)

3.3 求根MUSIC算法實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)DOA估計(jì)

式(14)中的矢量表達(dá)式的協(xié)方差矩陣為

(17)

式中，Rps和Rpn分別為信號(hào)和噪聲協(xié)方差矩陣。對(duì)上式協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，可得λ1>λ2>,…,λQ>λQ+1=λQ+2=…,λm，其中，Q為信號(hào)源個(gè)數(shù)，則信號(hào)子空間是由大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量組成的空間，而噪聲子空間是由小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量組成的空間。

首先定義如下一個(gè)多項(xiàng)式[7]

(18)

式中，ei是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中小特征值對(duì)應(yīng)的M-Q個(gè)特征矢量，pz=1,z,…,zM-1T。

由以上的定義可知：當(dāng)z=ejw，即多項(xiàng)式的根正好位于單位圓上時(shí)，p(ejw)是一個(gè)空間頻率為w的導(dǎo)向矢量。由特征結(jié)構(gòu)類(lèi)算法可知，p(ejw)=p(z)就是信號(hào)的導(dǎo)向矢量，所以其與噪聲子空間是正交的。因此，多項(xiàng)式可定義為

(19)

因?yàn)槎囗?xiàng)式fz的階數(shù)為2M-1，所以有M-1對(duì)根，且每對(duì)根是相互共軛的關(guān)系。在這M-1對(duì)根中有Q個(gè)根z1,z2,…,zQ正好分布在單位圓上，即：

zi=expjwi，1≤i≤Q

(20)

上式考慮的是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣精確可知時(shí)的情況，在實(shí)際應(yīng)用中也就是數(shù)據(jù)矩陣存在誤差時(shí)，只需求式(19)的Q個(gè)接近于單位圓上的根即可。也就是對(duì)于等距均勻線(xiàn)陣，根據(jù)方向?qū)蚴噶緼p可知波達(dá)方向

(21)

由以上分析，可總結(jié)PPS波達(dá)方向估計(jì)的算法流程:

(1)初始化，令m=M和xmn=xn，其中，0≤n≤N-1;

(3)令

(22)

其中，0≤n≤N-1;

(4)替換m=m-1，直到m=2為止;

(5)對(duì)信號(hào)xmn進(jìn)行P階的FRFT;

(6)在相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Fourier域，進(jìn)行峰值搜索，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度α不變和式(12),可確定峰值點(diǎn)的位置;

(7)由式(13)、(14)、(15)確定信號(hào)在FRF域所對(duì)應(yīng)的方向向量;

(8)利用求根MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)，估計(jì)最終信號(hào)的波達(dá)方向。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)一

設(shè)信號(hào)模型為

xn=sn+wn=

b0expja1n+a2n2+a3n3+wn

(23)

式中，0≤n≤N-1，a1=0.125,a2=0.25/N,a3=0.65/N2，采樣點(diǎn)N=360，延時(shí)τ=N/3，離散FFT時(shí)變換的長(zhǎng)度為120×100點(diǎn)。

圖3給出了本文PPS分別在沒(méi)有噪聲和SNR=20 dB時(shí)，瞬態(tài)矩后的信號(hào)實(shí)部幅值特性圖。從圖中可以看出，經(jīng)過(guò)瞬態(tài)矩后，沒(méi)有噪聲時(shí)，信號(hào)為正弦信號(hào);當(dāng)SNR=20 dB時(shí)，信號(hào)為正弦信號(hào)和新的噪聲。圖4給出了SNR=20 dB時(shí)，經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式相位變換的譜線(xiàn)分析，從中可以得到該信號(hào)的頻率，也就是可以得到三階PPS的最高階相位系數(shù)a3。圖5給出了均方誤差(MSE) 隨信噪比(SNR)變化的曲線(xiàn)圖，從圖中可以看出，三階PPS在SNR≥6 dB時(shí)，該方法的估計(jì)性能接近克拉美羅界(CRB)，而隨著信噪比的降低，仿真結(jié)果與理論結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。

圖3 三階PPS的瞬態(tài)矩Fig.3 Instantaneous moment of the third order PPS

圖4 SNR=20 dB時(shí)的多項(xiàng)式相位變換譜線(xiàn)圖Fig.4 Spectrum of polynomial phase transform when SNR=20 dB

圖5 a3估計(jì)值均方誤差和CRB隨信噪比變化圖Fig.5 MSE and CRB of a3 versus SNR

4.2 實(shí)驗(yàn)二

在實(shí)驗(yàn)一的基礎(chǔ)上，結(jié)合本文提出算法中的第三步降階的思想，設(shè)和實(shí)驗(yàn)一有相同的參數(shù)，且入射角θ=70°，快拍數(shù)為τ。

圖6給出了SNR=10 dB時(shí)，PPS按本文提出的思想降階后的FRFT。從圖中可以看出，該信號(hào)具有很好的能量聚集性，從而把寬帶的PPS轉(zhuǎn)化為FRF域窄帶信號(hào)。在相應(yīng)的FRF域，用MUSIC算法，對(duì)信號(hào)進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，如圖7所示，從圖中可以看出，能較為準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)的波達(dá)方向。圖8給出了陣元數(shù)分別為10和6時(shí)，多項(xiàng)式相位變換結(jié)合FRFT的求根MUSIC算法的DOA估計(jì)均方誤差隨信噪比變化的曲線(xiàn)圖，從圖中可以看出，均方誤差隨SNR的減小而增加，在SNR>7 dB時(shí)，能較為準(zhǔn)確地估計(jì)PPS的DOA，同時(shí)，在SNR相同時(shí)，陣元數(shù)為10比陣元數(shù)為6的估計(jì)性能要稍好些。

圖6 PPS降階后分?jǐn)?shù)階Fourier域的信號(hào)Fig.6 PPS of order lowered in FRF domain

圖7 基于FRFT的PPS的DOA估計(jì)Fig.7 DOA estimation of PPS based on FRFT

圖8 陣元不同時(shí)DOA估計(jì)隨SNR的變化圖Fig.8 DOA estimation of different sensors versus SNR

5 結(jié) 論

本文提出了一種多項(xiàng)式相位信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)的方法，目前有關(guān)PPS的DOA估計(jì)的文獻(xiàn)很少，所以本文為以后在這方面的深入研究打下了一定的基礎(chǔ)。由于運(yùn)用了多項(xiàng)式相位變換降階，在SNR≥7 dB時(shí)能很好地估計(jì)出單分量PPS的DOA，但估計(jì)多分量的PPS的DOA問(wèn)題還有待解決。同時(shí)，利用分級(jí)計(jì)算迭代搜索方法對(duì)FRF域的峰值點(diǎn)進(jìn)行二維搜索，計(jì)算量大大減小，所以該算法簡(jiǎn)單。

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