2n階邊值問題正解的存在性與多解性

陳春香

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

2n階邊值問題正解的存在性與多解性

陳春香

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

為了研究一類非線性 2n階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性,通過建立一個(gè)特殊錐,利用錐壓縮與錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了該問題一個(gè)或多個(gè)正解存在的充分條件,拓展了已有結(jié)果。

邊值問題;不動(dòng)點(diǎn)定理;正解;存在性

Abstract:This paper is an attempt to investigate the existence and multiplicity of positive solutions for 2nth-order boundary value problemswith two points.The construction of special cone and the use of the fixed-point theorem of cone expansion or compression type lead to the sufficient conditionsof the problem,expanding the existing results.

Key words:boundary-value problem;fix-point theorem;positive solution;existence

0 引 言

在自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)等領(lǐng)域,常微分方程邊值問題正解的存在性與多解性已經(jīng)成為一個(gè)重要的研究熱點(diǎn),很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究[1-10]。其中,文獻(xiàn)[3]利用錐壓縮與錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理討論了非線性四階邊值問題

正解與多個(gè)正解存在的充分條件。文獻(xiàn)[4]利用同一定理討論了非線性四階兩點(diǎn)積分邊值問題

正解與多個(gè)正解存在的充分條件以及正解不存在的情況。此外,也有學(xué)者討論了高階邊值問題[5-10]。文獻(xiàn)[5]和[8]運(yùn)用上下解方法分別給出了 2n階兩點(diǎn)邊值問題正解存在的充要條件和常微分方程正解存在的充分條件。受文獻(xiàn)[3]和[4]的啟發(fā),筆者利用錐壓縮與錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理研究 2n階邊值問題

1 預(yù)備知識(shí)

為了書寫方便,引入下列符號(hào):假設(shè) (H1)成立,由方程 (8)及格林函數(shù)的性質(zhì)知:當(dāng)x∈C2n-2[0,1]時(shí),Ax∈C2n-2[0,1],由式 (11)知Ax∈C2n-2[0,1],由式 (12)知 Ax∈C2n[0,1]。由式(11)及格林函數(shù)的性質(zhì)得:A:C2n-2[0,1]→C2n[0,1]為連續(xù)映射,根據(jù)嵌入 C2n[0,1]→C2n-2[0,1]的緊性知:C2n-2[0,1]→C2n-2[0,1]為全連續(xù)映射。由式 (12)知 x∈C2n-2[0,1]為邊值問題 (1)解的充要條件為:x是 A的不動(dòng)點(diǎn)。

引理4 假設(shè) (H1)成立,則 A(P)? P且 A:P→P是全連續(xù)的。

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè) (H1)成立,若 η1f0<1<η2f∞,則問題 (1)至少有一個(gè)正解。

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(編輯 王 冬)

Existence and multiplicity of positive solutions for 2nth-order boundary value problem s

CHEN Chunxiang(College of Sciences,China University ofMining&Technology,Xuzhou 221116,China)

O175.8

A

1671-0118(2010)05-0399-04

2010-09-07

陳春香 (1984-),女,江蘇省銅山人,碩士,研究方向:常微分方程邊值問題,E-mail:chunxiang-chen@sina.com。