加框板中頻振動(dòng)的等效阻抗靈敏度和響應(yīng)變異性分析

夏智彬 ，黎 勝

（大連理工大學(xué)a.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.船舶工程學(xué)院，大連 116024）

1 引 言

對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)分析，一般根據(jù)所考慮的頻率范圍將分析頻段分為低頻段、中頻段和高頻段，并針對(duì)不同頻段采取不同的分析方法。在低頻段，有限元方法得到了廣泛的應(yīng)用。在高頻段，統(tǒng)計(jì)能量分析和能量有限元方法等取得了成功的應(yīng)用。而在中頻段，目前基本上都是基于雜交方法[1-7]。雜交方法是基于結(jié)構(gòu)特征波長(zhǎng)或是模態(tài)密度將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分為剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件，對(duì)剛性構(gòu)件采用有限元建模，對(duì)柔性構(gòu)件采用統(tǒng)計(jì)能量分析或能量有限元方法建模，求解步驟是在確定柔性構(gòu)件對(duì)剛性構(gòu)件的邊界等效阻抗后，首先對(duì)剛性構(gòu)件采用有限元法求解得到剛性構(gòu)件的響應(yīng)，并由剛性構(gòu)件響應(yīng)和等效阻抗確定輸入柔性構(gòu)件的功率，再對(duì)柔性構(gòu)件采用統(tǒng)計(jì)能量分析或能量有限元法求解。目前中頻工作的不同點(diǎn)主要在于求解柔性構(gòu)件對(duì)剛性構(gòu)件的等效阻抗時(shí)采用的方法不同，中頻振動(dòng)雜交方法的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題就是怎樣合理高效地求得柔性構(gòu)件對(duì)剛性構(gòu)件的等效阻抗作用，因?yàn)槠渫ㄟ^(guò)附加阻尼、附加質(zhì)量和附加剛度決定了剛性構(gòu)件響應(yīng)的求解準(zhǔn)確性，并通過(guò)附加阻尼和剛性構(gòu)件響應(yīng)確定的輸入功率決定了柔性構(gòu)件響應(yīng)的求解準(zhǔn)確性。鑒于等效阻抗在中頻振動(dòng)雜交分析方法中的重要性，為了解等效阻抗對(duì)柔性構(gòu)件各參數(shù)的敏感程度以及等效阻抗的變化對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，本文以加框板為例對(duì)等效阻抗進(jìn)行了靈敏度分析，并對(duì)等效阻抗引起的響應(yīng)變異性進(jìn)行了分析。

2 計(jì)算方法

中頻振動(dòng)分析中首先要基于結(jié)構(gòu)特征波長(zhǎng)或是模態(tài)密度在計(jì)算頻帶內(nèi)來(lái)劃分剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件。有關(guān)結(jié)構(gòu)特征波長(zhǎng)計(jì)算和模態(tài)密度計(jì)算可參看有關(guān)專著[8-9]。對(duì)剛性構(gòu)件，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下，考慮柔性構(gòu)件等效阻抗作用的有限元形式的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：ω 為激勵(lì)圓頻率；i=（-1）1/2；［M］、［C］和 ［K］分別為剛性構(gòu)件的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；｛x｝為剛性構(gòu)件位移向量；｛F ｝為外激勵(lì)力向量；［Mf］、［Cf］和［Kf］分別為柔性構(gòu)件的附加質(zhì)量矩陣、附加阻尼矩陣和附加剛度矩陣。值得指出的是柔性構(gòu)件的附加質(zhì)量、附加阻尼和附加剛度只與柔性構(gòu)件和剛性構(gòu)件邊界連接處的自由度有關(guān)，故其又可通過(guò)標(biāo)量質(zhì)量單元、標(biāo)量阻尼單元和標(biāo)量彈簧單元直接定義在剛性構(gòu)件邊界的有限元節(jié)點(diǎn)上。如等效阻抗Z可表示為

式中Z的實(shí)部Re（Z）=cf即為附加阻尼，虛部Im（Z）=ωmf-kf/ω即為附加質(zhì)量和附加剛度，計(jì)算時(shí)可單獨(dú)用附加質(zhì)量或附加剛度來(lái)表示，本文中用附加質(zhì)量來(lái)表示。

在得到所有連接點(diǎn)處的附加阻尼和附加質(zhì)量（剛度）后，通過(guò)標(biāo)量阻尼單元和標(biāo)量質(zhì)量（彈簧）單元加在相應(yīng)的剛性構(gòu)件有限元節(jié)點(diǎn)上，首先對(duì)剛性構(gòu)件進(jìn)行有限元求解。在得到剛性構(gòu)件的響應(yīng)后，即由剛性構(gòu)件與柔性構(gòu)件連接點(diǎn)處的速度響應(yīng)和相應(yīng)的附加阻尼可得到輸入柔性構(gòu)件的功率Π為

式中：n為剛性構(gòu)件與柔性構(gòu)件連接點(diǎn)的數(shù)目，cfi和vi為連接點(diǎn)i處相應(yīng)的附加阻尼和速度響應(yīng)。得到柔性構(gòu)件的輸入功率Π后，柔性構(gòu)件的響應(yīng)即采用統(tǒng)計(jì)能量分析或能量有限元法進(jìn)行求解。如柔性構(gòu)件的均方速度響應(yīng)為

式中：η和m分別為柔性構(gòu)件的損耗因子和質(zhì)量。

對(duì)加框板，Vlahopoulos等[5-6]采用解析方法得到了框板焊接點(diǎn)處的等效阻抗，數(shù)值結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較表明該方法具有較高的精度。Vlahopoulos等[5]采用解析方法得到的等效阻抗為

類似地可求得等效阻抗對(duì)Lx，Ly，ψs，ψmn等各個(gè)變量的靈敏度。由于等效阻抗與上述變量都有關(guān)系，存在一定的不確定性，下面對(duì)等效阻抗的不確定性引起的響應(yīng)變異性進(jìn)行分析。由（3）式和（4）式可知，柔性構(gòu)件的均方速度響應(yīng)為

為便于進(jìn)行變異性分析，將cfi等效為一個(gè)點(diǎn)阻抗cf，則上式可表示為

3 數(shù)值算例

本文的計(jì)算模型為圖1所示的加框板結(jié)構(gòu)，板長(zhǎng)和板寬為1.63m和1.09m，板厚為0.8mm，框由空心矩形截面管組成，框的截面面積為1.1291×10-3m2，截面慣性距為5.7447×10-6m4，結(jié)構(gòu)材料的密度為7850kg/m3，彈性模量為210GPa，泊松比為0.3，結(jié)構(gòu)阻尼為0.02。板和框通過(guò)點(diǎn)焊連接，連接點(diǎn)如圖中O所示。計(jì)算的頻帶為100-700Hz，在該計(jì)算頻帶內(nèi)板和框的特征波長(zhǎng)或模態(tài)密度適合于將該結(jié)構(gòu)中的框架劃分為剛性構(gòu)件采用有限元建模，將板劃分為柔性構(gòu)件采用統(tǒng)計(jì)能量分析建模。如對(duì)板和框均采用有限元進(jìn)行計(jì)算，按一個(gè)波長(zhǎng)需要?jiǎng)澐?個(gè)線性單元，圖1所示的稀疏網(wǎng)格有限元模型在計(jì)算頻帶內(nèi)計(jì)算框沒(méi)有問(wèn)題，但計(jì)算板時(shí)滿足一個(gè)波長(zhǎng)劃分6個(gè)單元要求的上限頻率僅為47Hz。需要采用非常密的有限元網(wǎng)格才能達(dá)到計(jì)算精度要求。所以在將加框板劃分為剛性構(gòu)件和柔性構(gòu)件后，采用（5）式來(lái)計(jì)算得到柔性板對(duì)剛性框的等效阻抗，然后使用稀疏網(wǎng)格基于上述計(jì)算方法得到柔性構(gòu)件的均方速度響應(yīng)見(jiàn)圖2，圖2中還給出了使用稀疏有限元網(wǎng)格（自由度數(shù)＝6915）、加密有限元網(wǎng)格（自由度數(shù)＝52533）和上述雜交方法得到的計(jì)算結(jié)果?？梢钥吹?，使用稀疏網(wǎng)格的有限元法計(jì)算結(jié)果已遠(yuǎn)小于加密網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果，而使用稀疏有限元網(wǎng)格的雜交法得到了滿意的結(jié)果。

計(jì)算板等效阻抗對(duì)板長(zhǎng)、板寬、密度、靜定模態(tài)和振動(dòng)模態(tài)等的靈敏度如圖5示，可以看到，板的靜定模態(tài)和振動(dòng)模態(tài)對(duì)板等效阻抗的影響最大，而對(duì)板長(zhǎng)、板寬和板的面密度的靈敏度影響較小。值得指出的是，令板等效阻抗對(duì)板長(zhǎng)、板寬、密度、靜定模態(tài)和振動(dòng)模態(tài)等的靈敏度對(duì)激勵(lì)頻率的導(dǎo)數(shù)為零可得到其靈敏度在時(shí)取得極值，即等效阻抗的靈敏度在激勵(lì)頻率為倍的固有頻率時(shí)取得極值。

下面對(duì)等效阻抗的不確定性引起的響應(yīng)變異性進(jìn)行分析。假定附加阻尼的不確定性服從正態(tài)分布，將按（5）式計(jì)算得到的附加阻尼取為均值，標(biāo)準(zhǔn)差取為均值的10%，則附加阻尼的變異性包絡(luò)圖μ1±3σ1如圖6所示，由附加阻尼的變異性計(jì)算柔性板均方速度的變異性μ2±3σ2如圖7所示，可以看到，附加阻尼的變化對(duì)板的均方速度響應(yīng)的影響不大。

4 結(jié) 論

柔性構(gòu)件對(duì)剛性構(gòu)件的等效阻抗是中頻振動(dòng)雜交分析方法中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。為了解等效阻抗對(duì)柔性構(gòu)件各參數(shù)的敏感程度以及等效阻抗的變化對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，本文以加框板為例對(duì)中頻振動(dòng)分析中等效阻抗的靈敏度以及等效阻抗的不確定性所引起的響應(yīng)變異性進(jìn)行了理論分析，推導(dǎo)了靈敏度計(jì)算公式和響應(yīng)變異性計(jì)算公式并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算研究。計(jì)算結(jié)果表明：板的振動(dòng)模態(tài)和靜定模態(tài)對(duì)等效阻抗的影響較大，等效阻抗的不確定性對(duì)板均方速度的影響較小。

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