淺談中學(xué)常見(jiàn)數(shù)學(xué)解題策略

徐禮禮 江蘇省南通高等師范學(xué)校 225006

淺談中學(xué)常見(jiàn)數(shù)學(xué)解題策略

徐禮禮 江蘇省南通高等師范學(xué)校 225006

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家G.波利亞說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)，就在于加強(qiáng)解題訓(xùn)練.掌握數(shù)學(xué)就意味著解題。”美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的真正組成部分是問(wèn)題和解.”數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生如何解數(shù)學(xué)題，教會(huì)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”.學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力都有極其重要的意義.而在解題教學(xué)中，解題策略的教學(xué)則是關(guān)鍵.解題策略是指解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)總體上所采取的方針、原則和方案.解題策略不同于具體的解題方法，它是指導(dǎo)方法的原則，是對(duì)解題途徑的概括性認(rèn)識(shí)和宏觀把握，體現(xiàn)了選擇的機(jī)智和組合的藝術(shù)，因而是最高層次的解題方法。下面就應(yīng)用知識(shí)階段的解題策略談一些粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、模式識(shí)別

當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，首先要辨別題目的類(lèi)型，以便與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)生聯(lián)系，然后再確定解決問(wèn)題的思路.這種首先進(jìn)行歸類(lèi)辨別的策略便是模式識(shí)別策略。

例1 已知等差數(shù)列｛an｝，Sn為其前n項(xiàng)和，且S10＝S20，則S30等于多少？

解 由題意可知，

分析 閱讀題目后可直接識(shí)別此題為是解數(shù)列問(wèn)題，利用解決此類(lèi)問(wèn)題的模式，考慮采用基本量法，即求出等差數(shù)列中的基本量a1和d，問(wèn)題就一定會(huì)迎刃而解.當(dāng)然，本題還有其他更為簡(jiǎn)單、巧妙的解法，但在這里更需強(qiáng)調(diào)的是通性通法，因?yàn)樗w現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“基本問(wèn)題”思想，滲透了“算法”思想，即將同類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，然后用標(biāo)準(zhǔn)的程序去解決它。實(shí)際上，中學(xué)數(shù)學(xué)中還有很多類(lèi)似的“基本問(wèn)題”，在教育教學(xué)過(guò)程中要有意積累模式，加強(qiáng)識(shí)別，這樣才能做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”。

二、化歸轉(zhuǎn)化

當(dāng)我們面對(duì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能用已知模型加以解決時(shí)，就會(huì)考慮其他意義上的解題策略，其中首要的就是化歸轉(zhuǎn)化策略，化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化新為舊、化未知為已知，這是人類(lèi)認(rèn)識(shí)的基本規(guī)律.化，就是變化原問(wèn)題，轉(zhuǎn)化原問(wèn)題，變換原問(wèn)題；歸，說(shuō)的是變化、轉(zhuǎn)化、變換原問(wèn)題是有目的、有方向的，其目的是變化出一個(gè)已知數(shù)學(xué)模型，就是通過(guò)變化使新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解決過(guò)的問(wèn)題。

例2 設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且3a=4b=6c，試證：

解 對(duì)3a=4b=6c同時(shí)取對(duì)數(shù)有

分析：由于已知等式中的a，b，c都是指數(shù)，不便于運(yùn)算。通過(guò)取對(duì)數(shù)這一等價(jià)轉(zhuǎn)化手段，將指數(shù)冪運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，降低了運(yùn)算難度。實(shí)際上，取對(duì)數(shù)運(yùn)算、換元、引進(jìn)坐標(biāo)系、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型、構(gòu)造函數(shù)等均是化歸轉(zhuǎn)化的常用手段。

三、差異分析

通過(guò)分析條件與結(jié)論之間的異同、并不斷減少目標(biāo)差來(lái)完成解題的策略，稱(chēng)為差異分析.使用差異分析通常要求通過(guò)分析題目的條件與結(jié)論中所出現(xiàn)的數(shù)量特征、關(guān)系特征、位置特征等去尋找目標(biāo)差，一旦出現(xiàn)目標(biāo)差主動(dòng)作出減少目標(biāo)差的反應(yīng)，多次減少目標(biāo)差使得目標(biāo)差的減少能積累起來(lái)。

例3

∴得證。

分析：通過(guò)觀察、分析求證式左、右兩邊的差異，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)差：一個(gè)是角的差異，另一個(gè)是函數(shù)名的差異，解題時(shí)從分析目標(biāo)差入手，向著減少目標(biāo)差的方向努力.差異分析法是“綜合——分析法”的一種特殊形式，在三角恒等式或不等式的證明中應(yīng)用廣泛。

四、正難則反

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，大多是從條件出發(fā)進(jìn)行正面順向思考。然而，事物往往是互為因果的，具有雙向可逆的特征。如果正向思維有困難時(shí)就逆向思維，順向推導(dǎo)有困難時(shí)就逆向推導(dǎo)，直接證明有困難時(shí)就間接證明。

證明 假設(shè) 不是無(wú)理數(shù)，而是有理數(shù)，

由于在p2的素因數(shù)分解中，有偶數(shù)個(gè)2（或0個(gè)2），在q2的素因數(shù)分解中，有偶數(shù)個(gè)2 （或0個(gè)2），在6的素因數(shù)分解中，有1個(gè)2。

可見(jiàn)，在6q2的素因數(shù)分解中，有奇數(shù)個(gè)2。

分析：由于已知條件太空、太少，以至于正面直接推導(dǎo)“舉步維艱”，故可考慮采用“正難則反”的策略。事實(shí)上，這一策略在一方面是對(duì)正向思維的背叛，同時(shí)又離不開(kāi)正向思維的“協(xié)同作戰(zhàn)”，所以，應(yīng)該是“正反相輔”。這一策略反映了原因與結(jié)果的辯證統(tǒng)一，肯定與否定的辯證統(tǒng)一，有限與無(wú)限的辯證統(tǒng)一，證實(shí)與證偽的統(tǒng)一。

五、以少勝多

不少數(shù)學(xué)問(wèn)題往往涉及多個(gè)變量，多個(gè)變量往往難以控制，但這些變量之間又存在一定的聯(lián)系，抓住這種聯(lián)系，用變換的方法，以較少的變量甚至一個(gè)變量來(lái)控制多個(gè)變量，往往使問(wèn)題迎刃而解。

例5 設(shè)a，b∈R,a2+4b2=8，求 a+b的最大、最小值。

解

分析：要求a+b的最大、最小值，a，b都是變量，但a，b又滿足a2+4b2=8，如果將變量變換成一個(gè)，則問(wèn)題就變?yōu)槭煜さ膯?wèn)題.為此可以令，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題。

六、以退求進(jìn)

以退求進(jìn)解證數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略是：把一個(gè)不能馬上解決的問(wèn)題，通過(guò)弱化或更改條件，退到能夠解決的程度，找到問(wèn)題的突破口或解法思路，以求原問(wèn)題的完滿解決，這是一種辯證思維，即運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題按適當(dāng)方向后退到能看清關(guān)系或悟出解法的地步，再通過(guò)后退后相關(guān)問(wèn)題的求解推知原問(wèn)題的解法.華羅庚教授曾指出：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我們?nèi)菀卓辞鍐?wèn)題的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”。

證明 作△ABC外接圓的直徑AD，BE。設(shè)半徑為R，連CE，DC，BD。

并分別設(shè)其長(zhǎng)為x，y，z，則

分析：本題通常做法是運(yùn)用兩角和的余弦及三角函數(shù)的和差化積公式來(lái)解，顯然比較繁瑣。仔細(xì)觀察題目，我們發(fā)現(xiàn)題中涉及的角為銳角，我們可以退回到初中階段所學(xué)過(guò)的三角函數(shù)的定義上來(lái)解決。

發(fā)揮學(xué)生的主體性，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，是教學(xué)工作的重中之重.解題策略的教學(xué)是解決這一問(wèn)題行之有效的方法.教師應(yīng)將解題策略的教學(xué)貫穿到課程具體內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，與學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程緊密結(jié)合，使學(xué)生有大量的實(shí)踐機(jī)會(huì)，從而充分發(fā)揮解題策略對(duì)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用。

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.陜西：陜西師范大學(xué)出版社.2008.

[2]李維.認(rèn)知心理學(xué)研究［M］.杭州：浙江人民出版社.2004.

[3]張雄，李得虎.數(shù)學(xué)方法論與解題研究［M］.北京：高等教育出版社.2003.

10.3969/j.issn.1001-8972.2010.21.132