秩虧自由網(wǎng)平差及其通解

趙超英,黃觀文

(長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院,陜西西安 710054)

秩虧自由網(wǎng)平差及其通解

趙超英,黃觀文

(長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院,陜西西安 710054)

通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將初始坐標(biāo)系下的特解轉(zhuǎn)換得到任意坐標(biāo)系下的通解,研究了秩虧自由網(wǎng)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的實(shí)質(zhì)。結(jié)果表明,秩虧自由網(wǎng)平差最優(yōu)解實(shí)質(zhì)是基于近似值所確定的基準(zhǔn)下的最優(yōu)解,在實(shí)際應(yīng)用中確定合適的基準(zhǔn)是關(guān)鍵。以西安地區(qū)GPS沉降監(jiān)測(cè)網(wǎng)為例,不同基準(zhǔn)下秩虧解均為該基準(zhǔn)下最優(yōu)解,但只有顧及板塊運(yùn)動(dòng)的基準(zhǔn)才具有物理意義。

秩虧;自由網(wǎng)平差;基準(zhǔn)條件;坐標(biāo)系;通解

0 引言

自Messl提出自由網(wǎng)平差以來(lái)[1],其理論研究和應(yīng)用研究均得到較大的發(fā)展,中國(guó)學(xué)者自20世紀(jì)80年代開(kāi)始對(duì)其進(jìn)行了系統(tǒng)研究[2-3]。后來(lái)Xu相繼提出了非線性秩虧自由網(wǎng)平差的通解及其應(yīng)用[4-6],推出不同坐標(biāo)系以及不同基準(zhǔn)下的通解。筆者在介紹秩虧自由網(wǎng)平差通解的基礎(chǔ)上,分析了如何將傳統(tǒng)自由網(wǎng)平差擴(kuò)展為各種坐標(biāo)系、各種基準(zhǔn)下的通解。這有助于理解秩虧自由網(wǎng)平差的實(shí)質(zhì),并在實(shí)際應(yīng)用中通過(guò)確定合理的基準(zhǔn)從而獲取具有物理意義的解。_

1 秩虧自由網(wǎng)平差原理

對(duì)于非線性大地控制網(wǎng),觀測(cè)方程滿足

式中:E(·)為數(shù)學(xué)期望;D(·)為方差;σ0為單位權(quán)中誤差;F(·)、f(·)為非線性函數(shù);X為初始(任意)坐標(biāo)系t維待定坐標(biāo)向量;L為n維觀測(cè)值向量;Δ為觀測(cè)值所含的偶然誤差;P為觀測(cè)值的權(quán)。通常,選定初始坐標(biāo)系S0下的一組初始坐標(biāo)X0,對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行線性化得

式中:A為n×t維設(shè)計(jì)矩陣,其秩R(A)=r

采用最小二乘準(zhǔn)則可得基于初始坐標(biāo)系S0下參數(shù)的通解

式中:N為ATPA;M為任意非零向量;I為單位陣; N-為N的廣義逆。

2 傳統(tǒng)秩虧自由網(wǎng)平差方法及基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換

2.1 傳統(tǒng)秩虧自由網(wǎng)平差

傳統(tǒng)秩虧自由網(wǎng)平差的主要目的是求參數(shù)的唯一解,為此附加條件,如

則平差后初始坐標(biāo)系S0下參數(shù)最佳估值X為

式(5)～(7)中:S為法方程系數(shù)N的零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量所構(gòu)成;X0為參數(shù)近似值。采用最小范數(shù)條件也可以獲得唯一解,文獻(xiàn)[2-3]已證明二者是等價(jià)的,均為初始坐標(biāo)系S0下最小范數(shù)解。

2.2 傳統(tǒng)自由網(wǎng)平差的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換

經(jīng)典自由網(wǎng)平差、秩虧自由網(wǎng)平差、加權(quán)秩虧自由網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差均為強(qiáng)基準(zhǔn)。由于傳統(tǒng)自由網(wǎng)平差是為獲取初始坐標(biāo)下的最小范數(shù)解,其基準(zhǔn)條件為式(5)(以普通秩虧自由網(wǎng)為例)。

對(duì)于誤差方程式(2),設(shè)有兩組不同的基準(zhǔn)

式(8)、(9)中:S1、S2為不同基準(zhǔn)所對(duì)應(yīng)的約束條件矩陣。根據(jù)傳統(tǒng)解法,如式(6),重寫為

式中:ΔX1為S1所對(duì)應(yīng)基準(zhǔn)下的一組解。根據(jù)文獻(xiàn)[3]基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換可得S2對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)下的解ΔX2為

其中,S滿足NS=0或AS=0,且R(S)=d。式(10)便是相同坐標(biāo)系S0下不同基準(zhǔn)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系?？梢钥闯鲎钚》稊?shù)條件只是相同坐標(biāo)系下眾多基準(zhǔn)條件中的一個(gè),在數(shù)學(xué)上均是最優(yōu)的。

3 秩虧自由網(wǎng)平差的通解

大地測(cè)量的主要目的是獲取待定點(diǎn)的坐標(biāo),Xu提出的非線性秩虧自由網(wǎng)平差的出發(fā)點(diǎn)是直接求任意坐標(biāo)系SAR下的參數(shù)(坐標(biāo)),而不再僅僅是初始坐標(biāo)系下的參數(shù)(坐標(biāo))改正數(shù),對(duì)于SAR下的所有點(diǎn)的坐標(biāo)XAR有[4]

XAR=λ0(I?U0)X+e?tt=λ0UN0X+e?tt(11)式中:λ0為縮放系數(shù);U0為3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣;e為全1陣;tt為坐標(biāo)系的平移向量;?為克羅內(nèi)克積; UN0為整體旋轉(zhuǎn)矩陣。實(shí)質(zhì)上這3類參數(shù)代表了坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)。應(yīng)用最小二乘準(zhǔn)則可得法方程

式中:U為ATPl,因此法方程(12)沒(méi)有唯一解;Xa僅是法方程(12)的一個(gè)數(shù)學(xué)解但不是XAR的估值。通過(guò)解法方程,可以求出任意坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值,即通解Xg為式中:zt為坐標(biāo)近似值所在坐標(biāo)系與特解所在坐標(biāo)系之間的平移向量。將式(13)的坐標(biāo)系選為S0,則有這便是傳統(tǒng)秩虧自由網(wǎng)的解。

4 由傳統(tǒng)秩虧自由網(wǎng)平差推導(dǎo)的通解

從傳統(tǒng)自由網(wǎng)平差的基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換可以發(fā)現(xiàn),基準(zhǔn)與廣義逆相對(duì)應(yīng),如最小范數(shù)條件對(duì)應(yīng)最小范數(shù)逆。因此在求解法方程時(shí)采用一般廣義逆便可以概括相同坐標(biāo)系下各種基準(zhǔn)條件對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)解,如式(4)或式(13)中第一部分所示。將式(7)中的(N +SST)-1(即之一)用N-來(lái)代替,便得到S0坐標(biāo)系下所有基準(zhǔn)的解,如式(14)。

對(duì)于任意坐標(biāo)系下的解可以通過(guò)坐標(biāo)相似變換來(lái)獲取,將式(14)帶入(11)得

式(15)是通過(guò)間接方法得到的秩虧自由網(wǎng)的通解,與式(13)通過(guò)直接方法得到的秩虧自由網(wǎng)通解是等價(jià)的。需要強(qiáng)調(diào)的是,由于非線性平差均需要進(jìn)行在選定初值下進(jìn)行線性化,而所選取的初值便隱含了一個(gè)坐標(biāo)系S0,因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí),對(duì)于非線性秩虧自由網(wǎng)平差,近似值的選取不僅與線性化的精度有關(guān),還與其代表的基準(zhǔn)含義密切相關(guān),即物理意義是否正確。

5 算例分析

在大地測(cè)量形變監(jiān)測(cè)中,需要提供一個(gè)基準(zhǔn),當(dāng)為秩虧問(wèn)題時(shí),一般選取擬穩(wěn)基準(zhǔn)較為合理[7]。筆者選取西安GPS地面沉降和地裂縫監(jiān)測(cè)網(wǎng)的兩期監(jiān)測(cè)成果進(jìn)行形變分析,該監(jiān)測(cè)網(wǎng)共布設(shè)了24個(gè)測(cè)量點(diǎn)。2005年12月開(kāi)始第一期監(jiān)測(cè),監(jiān)測(cè)周期為0.5 a,目前已完成6期,數(shù)據(jù)處理中引進(jìn)了3個(gè)連續(xù)跟蹤站(XIAA、XAN Y、BJ FS)作為已知點(diǎn)?；€解算采用GAMIT軟件處理,網(wǎng)平差采用自編軟件HPGPSADJ處理。對(duì)監(jiān)測(cè)網(wǎng)第二、三期觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理,分別采用2種方案進(jìn)行對(duì)比:

(1)選擇3個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(XIAA、XAN Y、BJ FS)作為基準(zhǔn)點(diǎn),第二期初始坐標(biāo)采用框架坐標(biāo),第三期初始坐標(biāo)與第二期相同,不考慮基準(zhǔn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率,利用擬穩(wěn)基準(zhǔn)進(jìn)行附加系統(tǒng)參數(shù)的三維約束平差(方案1)。

(2)選擇3個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(XIAA、XAN Y、BJ FS)作為基準(zhǔn)點(diǎn),第二期初始坐標(biāo)采用框架坐標(biāo),第三期初始坐標(biāo)考慮基準(zhǔn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率,引入速度參數(shù)對(duì)第二期初始坐標(biāo)進(jìn)行改正,利用擬穩(wěn)基準(zhǔn)進(jìn)行附加系統(tǒng)參數(shù)的三維約束平差(方案2)。

將2期獲取的高程計(jì)算其沉降量,2種方案沉降結(jié)果如表1。

首先本算例采用的2種解算方法在各自的基準(zhǔn)下均為最優(yōu)解,表1表明,考慮解算精度范圍(±1 cm),方案1大部分監(jiān)測(cè)點(diǎn)呈抬升狀態(tài),與西安地面沉降實(shí)際不符[7-8]。這說(shuō)明本方案所選擇的基準(zhǔn)不正確。而方案2由于考慮了基準(zhǔn)點(diǎn)的板塊運(yùn)動(dòng),在初始坐標(biāo)中引入了基準(zhǔn)點(diǎn)位移信息,其結(jié)果較為真實(shí)地反映了西安地區(qū)整體沉降特點(diǎn)。這說(shuō)明在GPS沉降監(jiān)測(cè)中,不同初始坐標(biāo)雖然都可以得出各自對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解,但在形變分析結(jié)果上卻存在差異,不同的初始坐標(biāo),形變分析結(jié)果也不盡相同。如何選擇合理的初始坐標(biāo),即符合物理實(shí)際的基準(zhǔn)模型,對(duì)GPS數(shù)據(jù)后處理分析至關(guān)重要。

表1 西安地區(qū)兩種平差方案監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of Subsidence Results at Benchmarks Between Two Schemes in Xi’an

6 結(jié)語(yǔ)

秩虧自由網(wǎng)平差在現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)處理中非常重要,尤其是非線性大地網(wǎng)秩虧平差在區(qū)域形變監(jiān)測(cè)中應(yīng)用很廣。研究了非線性秩虧網(wǎng)平差解的實(shí)質(zhì),即秩虧自由網(wǎng)只能提供通解,其特解均是最優(yōu)解。通常所謂最優(yōu)解只是在先驗(yàn)基準(zhǔn)下的最優(yōu)解,在實(shí)際應(yīng)用中更重要的是要合理確定基準(zhǔn),以便獲取具有物理意義的最優(yōu)解。

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Rank Defect Free Net Adjustment and Its General Solution

ZHAO Chao-ying,HUANG Guan-wen

(School of Geological Engineering and Surveying,Chang'an University,Xi'an710054,Shaanxi,China)

Through transforming the particular solution of initial coordinates to the general solution of arbitrary coordinate,rank defect free net adjustment is analyzed,and the essence of the datum transformation is discussed. The results show that the optimized solution of rank defect free net adjustment is the one solution under the datum which is calculated by the approximation value.In practice,the key problem is to determine the appropriate datum.GPS monitoring network in Xi'an is taken as an example to demonstrate the different optimal solutions under different data,whereas the solutions in plate motion are physically significant.

rank defect;free net adjustment;datum condition;coordinate system;general solution

P228.4

A

1672-6561(2010)02-0215-03

2009-07-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(40672173;40802075)

趙超英(1976-),男,山西平遙人,副教授,工學(xué)博士,從事InSAR理論與數(shù)據(jù)處理的教學(xué)與研究。E-mail:zhaochaoying@163.com