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    緊支撐正交多小波的構(gòu)造

    2010-09-12 08:56:38李萬社羅立娑鄭李娥
    關(guān)鍵詞:性質(zhì)定義

    李萬社,羅立娑,鄭李娥

    (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710062)

    緊支撐正交多小波的構(gòu)造

    李萬社,羅立娑,鄭李娥

    (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710062)

    通過選取初等旋轉(zhuǎn)矩陣和初等反射矩陣,利用多分辨分析以及矩陣?yán)碚摚o出了一種由已知緊支撐對稱正交多小波構(gòu)造具有相應(yīng)性質(zhì)多小波的方法.利用該方法還可以構(gòu)造出一類平衡小波.最后,結(jié)合DGHM緊支撐對稱正交多小波給出了具體的算例.

    多小波;多濾波器組;對稱性;正交性

    0 引 言

    小波理論發(fā)展非常迅速,人們可以根據(jù)不同需要構(gòu)造出不同的小波[1].1988年,Daubechies[2]指出:對于2帶小波,除了Haar小波外,不存在任何正交、對稱且緊支撐的小波,并且給出了相應(yīng)的證明.相對單小波而言,多小波能同時具有對稱性、正交性、緊支撐性和高階消失矩等性質(zhì),所以,多小波成為小波研究的新熱點.1996年,Chui和Lian利用對稱性給出了2重多尺度函數(shù)和多小波函數(shù),后來又有更多的人對多小波的理論體系作了研究[3-10],這使多小波在理論應(yīng)用上趨于成熟.Jiang[4]給出了多帶多小波的參數(shù)化形式,楊守志等人[5-8]給出了幾種多小波的構(gòu)造方法,Lebrun等人[3,9-10]分別對多小波預(yù)濾波和平衡處理作了研究.還有更多的文獻對多小波的構(gòu)造和性質(zhì)做了深入的研究.本文根據(jù)已有文獻的研究,在給定一個緊支撐對稱正交多小波的基礎(chǔ)上,通過選取初等旋轉(zhuǎn)矩陣和初等反射矩陣[11],與已知的緊支撐對稱正交多小波作乘積,構(gòu)造出相應(yīng)性質(zhì)的多小波.最后,本文構(gòu)造了相應(yīng)性質(zhì)的正交多小波.

    1 預(yù)備知識

    上式中r×r矩陣序列{Pk}k∈Z稱為兩尺度矩陣序列,Φ(x)稱為2尺度r重尺度函數(shù).對式

    設(shè) Φ = [φ1,…,φr]T, φ1,…,φr∈L2(R)滿足如下方程:

    定義1 定義子空間序列Vj?L2(R)如下:

    稱由式(1)定義的Φ(x)生成一個多分辨分析{Vj}j∈Z,若{Vj}j∈Z滿足:構(gòu)成 Vj的一個 Riesz基.

    定義Wj⊕Vj=Vj+1,j∈Z,其中Wj是Vj在Vj+1中的正交補空間.向量函數(shù)Ψ(x)=[Ψ1,…,Ψr]T,Ψl∈L2(R),l=1,2,…,r的整數(shù)平移構(gòu)成 Wj的一個 Riesz基,即:

    因為 Ψ1,…,Ψr∈W0?V1,所以存在 r× r矩陣序列{Qk}k∈Z滿足:

    定義2[1]若存在正整數(shù)k1,k2(k1<k2)使得當(dāng)k2>k且k1<k時, 有Pk=o,Qk=o,其中 o 是 r× r的零矩陣, 則由式(2)和(4)定義的濾波器組{P(z),Q(z)}稱為有限脈沖(FIR)多濾波器組, 同時也稱{Φ(x),Ψ(x)}是緊支撐的.

    引理1[1]若U是任意的正交矩陣,Φ(x)和Ψ(x)是多尺度函數(shù)和多小波,則仍然是正交的多尺度函數(shù)和多小波.

    2 緊支撐對稱正交多小波的構(gòu)造

    引理2[11]令正交矩陣

    其中c=cos θ,s=sin θ,Ri,j表示除第i列和第j列外其余列都是單位基向量.矩陣中沒有寫出的元素都是零元素.這樣的矩陣稱為 Givens 矩陣, 并記 Ri,j=Ri,j(c,s).

    定理 1 若 Φ =[φ1,…,φr]T, Ψ(x)= [Ψ1,…,Ψr]T是緊支撐對稱正交多小波所對應(yīng)的多尺度函數(shù)和多小波函數(shù), 構(gòu)造Φ1(x)和Ψ1(x)如下:

    其中, U 是 Givens矩陣, 并且有 Φ1=[φ11,…,φ1r]T, Ψ1(x) = [Ψ11,… ,Ψ1r]T, 則 Φ1(x)和Ψ1(x)分別是緊支撐對稱正交多小波的尺度函數(shù)和多小波函數(shù).

    證明 因為Φ(x)和Ψ(x)是緊支撐對稱正交多小波所對應(yīng)的尺度函數(shù)和多小波函數(shù),并且Givens矩陣是正交矩陣,所以由引理1可得,Φ1(x)和Ψ1(x)仍然是緊支撐對稱正交多尺度函數(shù)和多小波函數(shù).

    定理 2 若{P1(z),Q1(z)}是定理 1 中所構(gòu)造的 r重緊支撐對稱正交多小波{Φ1(x),Ψ1(x)}的 FIR 濾波器組, {P(z),Q(z)}是{Φ(x),Ψ(x)}的濾波器組, 則有:

    其中,

    證明 由 Φ(x) =U-1Φ1(x)可得: Φ(2x-k) =U-1Φ1( 2x-k ).由式(1)可得:

    所以, P1(z) =UP(z)U-1.同理可得:Q1(z) =UQ(z)U-1.從而有:

    命題得證.

    定理3 條件同定理1,設(shè)Φ1(x)和Ψ1(x)是定理1中所構(gòu)造的多尺度函數(shù)和多小波函數(shù),則有:

    下面借助初等反射矩陣構(gòu)造多尺度函數(shù)和多小波函數(shù).

    定義3[11]一般地,在Rn中,可以定義關(guān)于 “法線為單位向量u的n-1維子空間”對稱的變換.設(shè)單位向量u∈Rn,稱H=I-2uuT為Householder矩陣(或者初等反射矩陣).由初等反射矩陣確定的變換稱為初等反射變換.

    引理3[11]Householder矩陣是對稱矩陣,即HT=H;是正交矩陣,即HTH=I;是自逆矩陣,即H-1=H;是對合矩陣,即H2=H;行列式為-1,即det H=-1.

    引理4[11]初等旋轉(zhuǎn)矩陣是兩個初等反射矩陣的乘積.

    定理 4 若 Φ =[φ1,…,φr]T,Ψ(x)=[Ψ1,… ,Ψr]T是緊支撐對稱正交多小波所對應(yīng)的多尺度函數(shù)和多小波函數(shù), 構(gòu)造 Φ2(x) ,Φ3(x)和 Ψ2(x),Ψ3(x)如下:

    其中Householder矩陣H1,H2如下:

    令H1中θ為3θ便得H2=I-2vvT,并且有:

    Φ2=[φ21,…,φ2r]T, Ψ2(x) = [Ψ21,…,Ψ2r]T; Φ3=[φ31,…,φ3r]T, Ψ3(x) = [Ψ31,…,Ψ3r]T.則 Φ2(x),Φ3(x)和 Ψ2(x),Ψ3(x)分別是緊支撐對稱正交多小波的尺度函數(shù)和多小波函數(shù).

    定理 5 Φ1(x),Φ2(x),Φ3(x)和 Ψ1(x),Ψ2(x),Ψ3(x)如前面定理所構(gòu)造, 則:

    由上面的構(gòu)造過程可以看出,根據(jù)初等旋轉(zhuǎn)矩陣和初等反射矩陣的性質(zhì)以及引理1,構(gòu)造出了一系列相關(guān)的多尺度函數(shù)和多小波函數(shù).

    定理 6 Φ1(x) ,Φ2(x) ,Φ3(x)和 Ψ1(x) ,Ψ2(x) ,Ψ3(x)如前面定理所構(gòu)造, 則:

    推論 CL2多小波[1]的一階正交平衡器是定理1中Givens矩陣參數(shù)θ=π/4時的結(jié)果.

    注[2]在多小波的平衡理論中,這是一個很特殊的平衡器,它對原小波基作了π/4角度的旋轉(zhuǎn),多數(shù)多小波都可以通過它來達(dá)到一階平衡.

    3 算 例

    已知具有2階消失矩支集長度是4的對稱正交多小波DGHM濾波器系數(shù)如下:

    其中多小波基 Φ =[φ1,φ2]T是緊支撐的, 并且 supp φ1=[0,1], supp φ2=[0,3], 由式(2):

    其中,

    由式(4)可得:

    其中,

    以上所得到的{P1(z),Q1(z) }即為所構(gòu)造的與{P(z),Q(z)}具有相同性質(zhì)的多小波的濾波器組,其中參數(shù)θ可以根據(jù)需要來確定,從而得出不同的結(jié)果.特別地,取θ=ω/4就得到了CL2多小波的一階正交平衡器,使DGHM滿足一階平衡.

    [1]唐遠(yuǎn)炎,王玲.小波分析與文本文字識別[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

    [2]Daubechies I.小波十講[M].李建平,楊萬年,譯.北京:國防工業(yè)出版社,2004.

    [3]Lebrun J, Vetterli M.Balanced multiwavelets theory and design[J].IEEE Trans on Signal Processing,1998, 46(4): 1 119-1 125.

    [4]Jiang Q T.Parameterization of m-channel orthogonal multifilter banks[J].Advances in Computational Mathematics, 2000, 12: 189-211.

    [5]楊守志,唐遠(yuǎn)炎,程正興.a尺度緊支撐正交多小波的構(gòu)造[J].計算數(shù)學(xué),2002,24(4):451-461.

    [6]崔麗鴻,程正興.多小波與平衡多小波的理論和設(shè)計[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2001,18(5):105-116.

    [7]全宏躍,王國秋.一類對稱正交多小波的構(gòu)造[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2008,31(4):682-691.

    [8]Chui C K, Lian J A.A study of orthogonal multi-wavelets[J].Appl Numer Math, 1996, 20(3):273-298.

    [9]Lebrun J,Vetterli M.High order balanced multiwavelets[C]. In Proc IEEE int Conf Acoust Speech Signal Proce(ICASSP), 1998: 12-15.

    [10]Lebrun J,Vetterli M.Balanced multiwavelets[C]. In Proc IEEE int Conf Acoust Speech Signal Proce(ICASSP), 1997, 3: 2 473-2 476.

    [11]胡茂林.矩陣計算與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

    Abstract:In this paper,a method is given to generate a new multi-wavelet with the corresponding properties from a compactly supported symmetric orthonormal multi-wavelet by choosing elementary rotation matrix and elementary reflection matrix. A class of balanced wavelets can also be constructed using this method. At last,the DGHMcompactly supported symmetric orthogonal multi-wavelet is given in the method as an example.

    Key words:multi-wavelet; multi-filter bank; symmetric; orthonormal

    Construction of Compactly Supported Orthonormal Multi-Wavelet

    LI Wan-she, LUO Li-suo, ZHENG Li-e
    (College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, Shaanxi, China)

    O 174.2

    A

    1001-4217(2010)04-0026-07

    2010-06-02

    李萬社(1963-),男,陜西西安人,教授.研究方向:智能信號處理.E-mail:liwsh@snnu.edu.cn

    國家自然科學(xué)基金資助項目(10571113).

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