基于 MATLAB的車削細長軸過程非線性振動分析

馮靜,趙俊波,陶然

(1.鄭州大學機械工程學院,鄭州 450001;2.鄭州交通職業(yè)學院,鄭州 450062)

0 引言

在車削加工中,經(jīng)常會產(chǎn)生振動,而振動產(chǎn)生的原因非常復雜,振動不僅惡化加工表面的質量,縮短了刀具和機床的壽命,尤其是共振時,使加工根本無法進行.通過建立車削系統(tǒng)的振動模型,研究車削過程中的振動及其穩(wěn)定性,可以為工程中的應用提供一定的參考依據(jù)[1]。

車削過程是一個非常復雜的動態(tài)切削過程。在這個動態(tài)切削過程中,切削力和系統(tǒng)剛度都存在一定的變化規(guī)律。此處我們簡化車削系統(tǒng)模型為單自由度,考慮了剛度的非線性變化,分析了該簡化系統(tǒng)在切削過程的穩(wěn)定性?；谏鲜鰞?nèi)容,本文建立了車削系統(tǒng)單自由度非線性振動模型,并考慮其非線性剛度,應用 Matlab數(shù)值仿真程序分析了該系統(tǒng)的非線性振動穩(wěn)定性問題。

1 建立該系統(tǒng)的力學模型

圖 1所示分別為一個單自由度車削系統(tǒng)及其簡化力學模型。其中 m為無彈性的等效質量,k為無質量等效彈簧剛度,c為等效阻尼。x(t)為系統(tǒng)振動位移,F(t)為切削過程中的激振力。為分析簡便起見,通常將激振力看成服從簡諧規(guī)律的交變力。

圖 1 單自由度車削系統(tǒng)的加工模型和力學模型

不考慮作用在物體上的重力 mg時,該系統(tǒng)的振動方程可以表達為：

式中,mx為慣性力,方向與位移方向一致;(k1+k2x2)x為彈簧的恢復力,方向與位移方向相反;(c1+c2x2)x﹒為粘性阻尼力,其數(shù)值與物體的速度成正比,方向與位移方向相反;F即為背向力Fy,處于極面內(nèi)并與工件軸線垂直,正是由于背向力的存在,才使工件在切削過程中產(chǎn)生了振動,直接影響工件的加工精度和表面粗糙度。實際工程計算中,背向力的計算仍以采用經(jīng)驗公式為主[2]：

式中,ap—背吃刀量,單位 mm;f—進給量,單位 mm;v—切削速度,單位 m/s。

實驗條件為：工件材料為 45鋼,工件質量 m=3.77kg,當 ap=0.3mm,f=0.78mm,v=76m/min時,計算出 Fy=301.6N。

2 數(shù)值仿真及計算結果分析

設 x=x1,x﹒=x2,則非線性振動系統(tǒng)的方程可改寫為狀態(tài)方程的形式：

其中該系統(tǒng)的固有頻率為wn=1310rad/s,為了更好地對激振頻率 ω接近于固有角頻率 ωn,以及在固有頻率附近變動時系統(tǒng)的動力學行為,在 Matlab中采用龍格庫塔法對上式編程進行求解繪圖,可得到系統(tǒng)的分岔圖和頻率譜圖如圖 2所示。

圖 2 系統(tǒng)的分岔圖和頻率譜圖

由以上分叉圖可以看出角速度ω在1300左右出現(xiàn)分岔,說明在此處附近存在混沌或非線性振動,依圖選取ω等于 1550rad/s,1320rad/s,950rad/s,500rad/s,280rad/s可計算得出相應相圖和龐加萊截面如圖3～7。

由圖 3知,當 ω=1550rad/s時,系統(tǒng)處于倍周期運動,但相圖中反映的運動是趨于一個極限環(huán)的,即魯棒穩(wěn)定,其 Poincare截面圖收斂于一環(huán)面,也反映了魯棒穩(wěn)定性。圖 4中轉速進一步減小到ω=1320rad/s,因為此時的激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率,所以系統(tǒng)出現(xiàn)局部混沌,其運動態(tài)是有一定厚度的環(huán)狀區(qū)域,這說明系統(tǒng)的運動雖不穩(wěn)定,但按混沌規(guī)律運行,此時的Poincare截面圖也由一條曲線趨近于一點。圖 5中當轉速減小至 ω=950rad/s時,系統(tǒng)相圖中出現(xiàn)不穩(wěn)定極限環(huán),系統(tǒng)由倍周期運動向準周期運動過渡。圖 6中的相圖所反映的系統(tǒng)混沌態(tài)出現(xiàn)了奇怪吸引子而且每個吸引子的振動幅度都比較大,其 Poincare截面圖也變?yōu)槿龡l曲線,最終收斂于一點。在圖 7中 ω=280rad/s,其相圖表現(xiàn)為無數(shù)個吸引子在運動,但最終每個吸引子都圍繞著一個極限環(huán)運動,仍屬于魯棒穩(wěn)定,其Poincare截面圖收斂于不規(guī)則的點也說明了其相對穩(wěn)定性。

3 結束語

(1)建立了車削系統(tǒng)單自由度非線性振動模型,并應用 Matlab數(shù)值仿真程序得到系統(tǒng)的分岔圖、頻率譜圖、相圖和相應的 Poincare截面圖,從而獲知系統(tǒng)的振動特性。

(2)系統(tǒng)的轉速是影響系統(tǒng)運動狀態(tài)的重要因素。當轉速較高時,系統(tǒng)處于相對穩(wěn)定狀態(tài),但當轉速降低時,會出現(xiàn)奇怪吸引子,使系統(tǒng)偏離原有的運動狀態(tài)。這在車削加工啟動和制動時應該考慮將車刀迅速脫離工件表面,以免影響工件質量。

(3)通過對車削系統(tǒng)非線性振動模型的仿真,可知其仿真結果與現(xiàn)場運行情況是相符合的。

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