隨機圓覆蓋面積的統(tǒng)計分布

汪文俊，陳 傳鐘

（1.海南師范大學(xué) 數(shù) 學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南 海 口 5 71158；2.北京師范大學(xué) 香 港浸會大學(xué)聯(lián)合國際學(xué)院理工科技學(xué)部，廣東 珠 海519085）

隨機圓覆蓋面積的統(tǒng)計分布

汪文俊1，2，陳 傳鐘1

（1.海南師范大學(xué) 數(shù) 學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南 海 口 5 71158；2.北京師范大學(xué) 香 港浸會大學(xué)聯(lián)合國際學(xué)院理工科技學(xué)部，廣東 珠 海519085）

用數(shù)論方法解決單位正方形的覆蓋問題.用單位正方形的均勻布點方法估計覆蓋面積的均值，方差及其分布函數(shù).

數(shù)論方法；均勻設(shè)計；Beta分布

王元和方開泰［1］首次將數(shù)論方法用于研究毀傷面積的統(tǒng)計分布，令 K ={（x；y）∶x2+y2≤ 1 }，圓心為O=（0，0）′，設(shè)有m個隨機圓將K毀傷（或覆蓋），它們的半徑分別為 r1，…，rm，（0 ＜ ri＜ 1；i=1，…，m），其圓心 O1，…，Om，相互獨立且服從二維正態(tài)分布

來估計.文[1]討論了在K上如何布N個點的問題，提出了四種方法，并指出四種方法的優(yōu)劣.最近，王元和方開泰［2］從數(shù)論中的“圓問題”的出發(fā)，進一步比較了四種方法，指出方法Ⅲ和方法Ⅳ有相同階的精度.周永道和方開泰［3］詳細比較了m=2時理論的結(jié)果和隨機模擬的表現(xiàn)，給出了更為細致的分析.

在實際問題中，被覆蓋的不一定是單位圓K，可能是單位正方形H=[0，1]2，H被m個隨機圓覆蓋的面積S的統(tǒng)計分布在實用中十分重要，這就是本文的研究目的.設(shè)Sm表示單位正方形H被m個隨機圓覆蓋的區(qū)域

圖2給出m=2的覆蓋情形.圖中斜線部分表示覆蓋區(qū)域Sm，記面積為S，S是一隨機變量.本文主要研究S的均值，方差及分布.

采用統(tǒng)計模擬來求S的均值，方差及分布，其方法如下：設(shè)在單位正方形H上均勻分布N個點{（xi，yi），1≤i≤N}，用這些點代表H.然后用Monte Carlo法產(chǎn)生 m 個中心，從而獲得m個隨機圓H1…Hm.用M表示單位正方形H上N個點被這m個隨機圓覆蓋的點數(shù)，則S的估計為

1 覆蓋面積分布的研究

數(shù)論方法的實質(zhì)是在s維的單位區(qū)域Cs能夠找到均勻分散的點集合，在幾何概率的隨機模擬中，NT網(wǎng)起了關(guān)鍵性作用.構(gòu)造NT網(wǎng)的方法很多，如好格子點方法（good lattice point method），好點法（good point method），Halton方法以及 H ammeisley方法，詳見Fang and Wang［4］.本文的隨機模擬采用了好格子點法，其做法如下：（n；h1，…，hs）是一整數(shù)向量，滿足1≤ h1＜n，且hi和n的最大公約數(shù)為1，則

Pn=xk= （xk1，…，xks），由向量（n；h1，…，hs）生成的好格子點，在更多的文獻中，往往直接利用xk=（xk1/n，…，xks/n）k=1，…，n 生成得到，此文中亦用此方法，用N=10 946個點來組成一個NT網(wǎng).

覆蓋面積S的分布顯然會受到隨機圓的半徑（r1，…，rm）和方差的影響.考慮 0 .5 ＜ ri≤1，0 ≤＜ 1，（i=1， …，m）.為了有效的顯現(xiàn)這些參數(shù)對S的影響，我們采用均勻設(shè)計［1，5］U20（204）和 U20（2010）來安排（r1，r2，，）和（r1，…，r5，，…，σ25）的變化組合，詳見表1和表2.對每種情形（m=2，5），隨機模擬 r =5 000 次，并計算 5 000 個S^的均值和方差，分別列于表1和表2的最后兩列.用 Mn和 Vn作因變量，（r1，…，rm）和（，…，）作自變量，運用二次回歸多項式的建模技術(shù)，得

表1 均勻設(shè)計U20(204)及試驗結(jié)果Tab.1 Uniform Design U20（204） and the results

利用建模回歸技術(shù)，同時考慮變量選擇，研究期望 Mn與 r1，…，rm關(guān)系時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)取對數(shù)得到的模型更佳.兩個模型的確定性系數(shù)分別是，檢驗的F值為F1=312.160，F(xiàn)2=42.538，模型是顯著的.從模型中觀察到S的期望與 ri，（i=1，2）正相關(guān)，與，（i=1，2）負相關(guān)，即隨機圓的半徑越大，其覆蓋面積越多；圓心越靠近單位正方形的中心，其覆蓋部分越大.S的方差與ri與（i=1，2）正相關(guān).

由于S的值在[0，1]中，直觀上可試用Beta分布來擬合，Beta分布的密度函數(shù)由兩個參數(shù)α＞0，β＞0來決定

式中 B（α，β）為數(shù)學(xué)中著名的 Beta函數(shù).若 X～B（α，β），則

有關(guān)Beta分布的詳細討論可參見方開泰，許建倫［6］.圖3 給出了第 4 ，9，11，12，13，20 個六個參數(shù)組合下的Beta分布的q-q圖，明顯看到Beta分布可以很好的擬合S，但從q-q圖發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=2時，即用兩個隨機圓去覆蓋時，兩端擬合的并不是太好，主要可能是半徑r1，r2較小，或是，較大，覆蓋面積小的緣故.同時在進行Beta分布擬合，選擇α，β時，由Beta分布性質(zhì)可知（文[6]），若隨機變量服從參數(shù)為（α，β）的 β 分布，則其均值和方差如（3）式，對每個試驗點的5 000次抽樣，可得參數(shù)α，β的矩估計，k階樣本矩定義為

由（4）解得α，β的矩估計如下：

圖3中的a，b即為矩估計方法估計得到的α，β值.

當(dāng) m =5 時，應(yīng)用表2中均勻設(shè)計 U20（202×5）同樣進行擬合，得到的期望Mn和方差Vn列在表2中最后兩列，與表1中的數(shù)據(jù)進行比較，明顯看到，隨著隨機覆蓋圓數(shù)目的增多，其S的期望變大，方差變小.另一方面，期望 Mn，方差 Vn與參數(shù)（ri，，i=1，…，5）建立模型，其mean依然是與半徑ri正相關(guān)，與負相關(guān)；方差和半徑 ri，正相關(guān).最后對于每種試驗組合的5 000次S的估計值，Beta分布仍表現(xiàn)出很好的擬合效果，如圖4所示的Beta分布的q-q圖，看到圖中兩端也都擬合的相當(dāng)好，即此種情形下各個數(shù)據(jù)都可以很好的用Beta分布擬合.隨機圓的個數(shù)m=3，4時，其結(jié)果類似，故不再詳細說明.

表2 均勻設(shè)計U20（2010）及試驗結(jié)果Tab.2 Uniform Design U20(2010)and the results

3 結(jié)論

以上分析我們可以得到，覆蓋面積S近似服從Beta分布，并且當(dāng)隨機圓的個數(shù)增加時，擬合效果會更好.同時，當(dāng)m固定，隨機圓的半徑ri，（i=1，…，m）增大時，S 的均值增大，方差減小；σi，（i=1，…，m）減小時，覆蓋面積S的均值增大，方差減小.

感謝：本文得到方開泰教授的指導(dǎo)，陳傳鐘教授的支持，得到BNU-HKBU聯(lián)合國際學(xué)院的資助.

［1］Wang Y,Fang K T.Number theoretic Methods in applied statistics[J].Chin Ann Math,1990,11B,41-55.

［2］王元,方開泰.統(tǒng)計模擬中的數(shù)論方法[J].中國科學(xué)A,2009,39(7):1-8.

［3］周永道,方開泰.覆蓋單位圓的序貫方法[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，(2010),將發(fā)表.

［4］Fang K T,Wang Y.Number-theoretic Methods in Statistics[J].Chapman and Hall,1994.

［5］方開泰.均勻設(shè)計-數(shù)論方法在試驗設(shè)計中的應(yīng)用[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,1980,3(4):363-372.

［6］方開泰,許建倫.統(tǒng)計分布[M].科學(xué)出版社,1987.

責(zé)任編輯：畢和平

The Statistical Distribution of Random Round Coverage

WANG Wenjun1，2， CHEN Chuanzhong1
（1.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China；2.Division of Science and Technology，BNU-HKBU United International College，Zhuhai 519085，China）

In this paper,number theoretic method is used to solve a practical problem,i.e.,the cover-age problem of unit square.The uniform design in unit square is used to estimate the mean,variance and distribution of coverage area S.

number theoretic method；uniform design；Beta-distribution

O 212.1

A

1674-4942（2010）03-0237-05

2010-06-17