基于小波變換的CT/PET圖像融合最佳參數(shù)研究

劉凌湘陳武凡周凌宏徐子海陳超敏*

1(南方醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣州 510515)2(解放軍303醫(yī)院放射治療中心，南寧 530021)

基于小波變換的CT/PET圖像融合最佳參數(shù)研究

劉凌湘1陳武凡1周凌宏1徐子海2陳超敏1*

1(南方醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣州 510515)2(解放軍303醫(yī)院放射治療中心，南寧 530021)

為了提高基于小波變換圖像融合的性能，在圖像融合規(guī)則相對固定的情況下，提出一種確定最佳小波基函數(shù)和分解層數(shù)的方法。從圖像的信息熵出發(fā)，通過比較低頻子帶圖像熵差與原始圖像熵差的接近程度，選擇每一種小波基所對應(yīng)的最佳分解層數(shù);在小波分解層數(shù)確定的情況下，結(jié)合圖像融合評價(jià)方法，選擇最佳的小波基函數(shù)。與引入融合效果的評價(jià)構(gòu)成一個閉環(huán)系統(tǒng)來確定小波參數(shù)相比，該方法極大地簡化了判別過程;將該方法應(yīng)用于CT/PET圖像融合，獲得了較好的融合效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法簡單可行，對基于小波變換圖像融合的小波參數(shù)選取有一定的指導(dǎo)意義。

CT/PET;小波變換;圖像融合;小波基;分解層數(shù)

Abstract:In order to improve the performance of image fusion based on wavelet transform，a new approach to determine the best wavelet base and decomposition level was proposed in the case of image fusion rule was ralatively fixed.First，according to the image information entropy，the best decomposition level of each wavelet base was selected by comparing the difference of both low-frequency sub-band image entropy and the original image entropy.After the best decomposition level was determined，the best wavelet base was chosen by image fusion evaluation methods.Compared with the method in which the parameters of wavelet decomposition were determined by introducing image fusion evaluation methods to form a closed-loop system，the proposed method greatly simplified the distinction process.The results of CT/PET image fusion were satisfying as well.The method is simple and feasible in selecting the wavelet parameters for wavelet transform based image fusion.

Key words:CT/PET;wavelet transform;image fusion;wavelet base;decomposition level

引言

隨著醫(yī)學(xué)影像技術(shù)的發(fā)展，多種成像模式的影像技術(shù)已廣泛應(yīng)用于臨床診斷和治療中。醫(yī)學(xué)成像模式可分為解剖成像和功能成像兩大類:前者如CT(計(jì)算機(jī)斷層成像)，主要以較高的分辨率提供人體的解剖形態(tài)信息，為病灶定位提供很好的參照，但無法反映臟器的功能代謝信息;后者如PET(正電子發(fā)射成像)，反映了臟器的代謝水平和血流狀況，對腫瘤病變呈現(xiàn)“熱點(diǎn)”，能及早地發(fā)現(xiàn)病灶，但無法提供病灶的解剖細(xì)節(jié)。倘若將這些解剖圖像和功能圖像的互補(bǔ)信息有機(jī)地融合成一幅新的圖像，就可得到同一解剖結(jié)構(gòu)更豐富的信息，進(jìn)而使醫(yī)師更清楚地了解病變臟器的綜合情況，做出更精確的治療計(jì)劃，而醫(yī)學(xué)圖像融合恰好就解決了這一問題。醫(yī)學(xué)圖像融合技術(shù)是信息融合技術(shù)在醫(yī)學(xué)影像學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，它是對來自于不同成像技術(shù)的圖像經(jīng)過必要地變換以達(dá)到空間坐標(biāo)的匹配，然后利用圖像間的冗余及互補(bǔ)信息，將它們有機(jī)地結(jié)合在一起，得到一幅包含更多信息的新圖像，為臨床診斷提供更大的幫助。

目前，利用小波變換進(jìn)行醫(yī)學(xué)圖像融合的研究相當(dāng)多，但主要體現(xiàn)在對融合規(guī)則的研究上，而對如何選取最佳小波基函數(shù)和最佳分解層數(shù)的研究很少。多數(shù)文獻(xiàn)通過引入圖像融合效果評價(jià)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)來選擇小波參數(shù)，需要不停地改變小波基和分解層數(shù)［1］。也有單獨(dú)考慮小波參數(shù)選取的，如文獻(xiàn)［2］提出了最優(yōu)小波包基選擇的熵準(zhǔn)則，通過構(gòu)造代價(jià)函數(shù)來選擇最優(yōu)小波基，但僅限于考慮單一信號或單一圖像。文獻(xiàn)［3］提出可通過比較低頻子圖像的熵差來選擇最佳小波分解層數(shù)，采用圖像經(jīng)過歸一化處理后的像素值來計(jì)算圖像的熵。筆者則在借鑒上述參數(shù)選取方法的基礎(chǔ)上，提出以下判別準(zhǔn)則:首先，通過比較低頻子圖像熵差與原始圖像熵差的接近程度來選擇每一種小波基所對應(yīng)的最佳分解層數(shù)，采用像素灰度概率值來計(jì)算圖像的熵;然后，根據(jù)所確定的分解層數(shù)，對采用不同種小波基所得到的融合圖像效果進(jìn)行評價(jià)，其中融合效果最好的小波基為最佳小波基。在實(shí)驗(yàn)時，結(jié)合CT/PET圖像得出了最佳參數(shù)，其所對應(yīng)的融合圖像在主客觀上均取得了較好的融合效果。

1 基于小波變換的圖像融合

小波變換是20世紀(jì)80年代后期發(fā)展起來的新的數(shù)學(xué)分支，是一種時頻局部化分析方法，可以“聚焦”到對象的任意細(xì)節(jié)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。基于小波變換的圖像融合的本質(zhì)是:采用不同的濾波器，將源圖像分解到一系列的頻率通道中;然后針對系數(shù)特性，采用不同的融合規(guī)則和融合策略，對變換系數(shù)進(jìn)行操作;最后利用小波逆變換重構(gòu)融合圖像。算法可以用一個公式化模型［4］表示為

式中，Ii(x，y)(i=1，2，3，…，N)表示待融合的圖像，F(xiàn)(x，y)表示融合結(jié)果，ω表示小波正變換，ω-1表示小波逆變換，φ表示融合算子。

根據(jù)Mallat的塔式小波分解理論［5］，經(jīng)二維小波變換，圖像被分解成低頻子帶和高頻子帶兩部分。其中，低頻子帶反映的是圖像的近似分量，代表原圖像的基本信息;高頻子帶反映的是圖像在水平、垂直、對角三個方向的細(xì)節(jié)分量，對應(yīng)圖像的邊緣、線、區(qū)域、邊界等處的信息。從式(1)可以看出，采用合理的融合規(guī)則是獲得高品質(zhì)融合的關(guān)鍵。本研究側(cè)重于研究最佳小波參數(shù)，采用了簡單的基于像素的融合規(guī)則，對低頻部分采用加權(quán)求和、高頻部分采用絕對值最大值法的融合規(guī)則［5-6］。

2 最佳小波參數(shù)選取

2.1 小波基函數(shù)

基于小波變換的圖像融合是以圖像小波變換后各尺度的小波系數(shù)為基礎(chǔ)的，不同類型的圖像經(jīng)小波變換后，其系數(shù)的分布特性是不同的。就算是同一類型、同一幅圖像，采用不同的小波基函數(shù)進(jìn)行變換，所得變換系數(shù)的分布特性亦不同，這是由小波基的正交性、緊支性、消失矩、正則性及對稱性等多種屬性的差異造成的［7］。因此，為了獲得最佳的融合性能，選擇合適的小波基是非常關(guān)鍵的。實(shí)際應(yīng)用中，有很多小波基可供選擇，這里選取了文獻(xiàn)中常用到的 Haar小波基，Daubechies、Symlets、Coiflets及 Biorthogonal小波基系列［2］。實(shí)驗(yàn)時為了便于比較，對這些小波基進(jìn)行編號，如表1所示。

表1 小波基函數(shù)的編號Tab.1 The number of wavelet base

2.2 小波分解層數(shù)

以一幅圖像的小波分解為例，小波分解過程如圖1所示。原圖像采用一層小波分解后，得到低頻子帶近似分量(LL)，以及高頻子帶水平(LH)、垂直(HL)、對角(HH)三個細(xì)節(jié)分量;二層小波分解是對近似分量(LL)再進(jìn)行分解，得到 LL2、LH2、HL2及HH2;三層及多于三層的分解可依次類推。N層小波分解后可得到(3N+1)個頻帶［5，8］。

圖1 圖像的小波分解過程Fig.1 The wavelet decomposition process of an image

由圖1可知，圖像的小波分解是利用上一級頻帶分解后得到的低頻子帶近似分量作為下一級頻帶分解的輸入，隨著分解層數(shù)的增加，級間的濾波器增多，信號的移位增大。同時，低頻子帶的空間分辨率降低，低頻子圖像越來越模糊，邊界延拓造成的塊狀效應(yīng)越來越明顯，引起的邊界失真也越來越大。雖然，通過小波逆變換可以得到原圖像，但不能恢復(fù)已損失的信息量。因此，在采用小波變換做圖像融合時，需限制圖像的分解層數(shù)。

在文獻(xiàn)［2］中提出，可以采用wmaxlev函數(shù)來計(jì)算小波分解的最大層數(shù)(尺度)，但一般情況下，小波變換的分解層數(shù)都小于這個理論計(jì)算的最大值。其次，由于小波變換綜合考慮了圖像的各個頻帶信息，對細(xì)節(jié)信息的提取很有效，可應(yīng)用于各種圖像融合，如醫(yī)學(xué)圖像、紅外圖像、可見光圖像、雷達(dá)圖像、多光譜圖像等。不同類型的圖像進(jìn)行融合，其側(cè)重點(diǎn)是不同的，但最終目的是獲取對目標(biāo)更為清晰的表達(dá)，便于人眼識別。因此，可依據(jù)理論計(jì)算的最大分解層數(shù)，以此作為分解的上限，對圖像進(jìn)行不同層數(shù)的分解，依據(jù)人眼的主觀觀察及一些客觀評價(jià)指標(biāo)，選擇效果最好的融合圖像，進(jìn)而限制圖像的分解層數(shù)。筆者提出基于信息熵的低頻子帶圖像熵差來確定分解層數(shù)。

2.3 選擇準(zhǔn)則

在文獻(xiàn)［1］中，通過引入圖像融合效果評價(jià)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)來選擇小波參數(shù)，即對圖像進(jìn)行融合后，對融合圖像的融合效果進(jìn)行評價(jià)，然后改變小波分解層數(shù)和小波基的種類，最后采用融合效果最好的小波參數(shù)進(jìn)行后續(xù)圖像的融合處理。文獻(xiàn)［3］中，通過比較低頻子圖像的熵差來選擇最佳小波分解層數(shù)，熵的計(jì)算公式為

式中，mn為圖像的像素?cái)?shù)，xi(1≤i≤mn)為原始圖像經(jīng)過歸一化處理后的一個像素值。

借鑒上述參數(shù)選擇方法，提出以下判別準(zhǔn)則。

第一步，確定每一種小波基函數(shù)所對應(yīng)的最佳分解層數(shù)。由于小波分解后的低頻子帶反映的是圖像的近似分量，可以間接地表示原圖像的信息，隨著分解層數(shù)的增加，低頻子帶的信息量增大，與原始圖像的差異也越來越小。因此，可以通過比較低頻子圖像與原圖像的差異來選擇小波分解層數(shù)。熵作為一種圖像融合評價(jià)手段，反映了圖像的平均信息量［9］，計(jì)算公式有別于式(2)，為式中，pi為灰度值等于i的像素?cái)?shù)與圖像總像素?cái)?shù)之比，即某一灰度值i在圖像中出現(xiàn)的概率，n為灰度級總數(shù)。

因此，可以用熵來表示低頻子圖像與原圖像的差異。對兩幅圖像而言，可以考慮二者之間的熵差。比較圖像分解后低頻子圖像的熵差和原始圖像熵差，使二者最接近的分解層數(shù)即為最佳分解層數(shù)。

這里以 CT、PET圖像為例，兩幅原圖像的熵差為

設(shè) enct、enpet分別代表兩圖像分解后的低頻子圖像的熵，則其熵差為

式中，n為兩幅圖像進(jìn)行小波變換的分解層數(shù)，一般取1～7。

當(dāng)|Δe-Δen|取最小時，對應(yīng)的 n就是最佳分解層數(shù)。由于每一種小波基分解后的低頻子圖像是不同的，因而每一種小波基所對應(yīng)的最佳分解層數(shù)也是不同的。

第二步，根據(jù)所確定的分解層數(shù)，對采用不同種小波基所得到的融合圖像效果進(jìn)行評價(jià)，使融合效果最好的小波基為最佳小波基。采取的基本步驟為［10］:

步驟1，選取每一種小波基(表1所列舉的小波基)所對應(yīng)的最佳分解層數(shù);

步驟2，在分解層數(shù)確定的情況下，采用多種小波基進(jìn)行小波分解;

步驟3，對各分解層分別進(jìn)行融合處理，低頻加權(quán)求和，高頻用絕對值最大值法，得到融合圖像的小波系數(shù);

步驟4，對所得到融合圖像小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換(即進(jìn)行圖像重構(gòu))，所得到的重構(gòu)圖像即為融合圖像;

步驟5，對融合圖像進(jìn)行綜合評價(jià)，融合效果最好的圖像所對應(yīng)的小波基為最佳小波基函數(shù)。

對于步驟5，圖像融合質(zhì)量的評價(jià)主要有主觀評價(jià)和客觀評價(jià)兩種。主觀評價(jià)屬于定性評價(jià)，是一種主觀性較強(qiáng)的目測方法，具有直觀、簡單、方便、快捷等優(yōu)點(diǎn);客觀評價(jià)屬于定量評價(jià)，能克服主觀性?？陀^類評價(jià)方法有很多，這里主要取信息熵、互信息、交叉熵、相關(guān)系數(shù)等融合評價(jià)指標(biāo)，相應(yīng)的計(jì)算公式可參考文獻(xiàn)［5，11］。其中，互信息取融合圖像與CT圖像及融合圖像與PET圖像的平均值，交叉熵及相關(guān)系數(shù)也按此方法計(jì)算。

圖像的熵是衡量圖像信息豐富程度的一個重要指標(biāo)，融合圖像的熵越大，說明圖像中包含的信息越多，融合效果越好。互信息是信息論中的一個重要基本概念，可作為兩個變量之間相關(guān)性的量度，或一個變量包含另一個變量的信息量的度量，因此融合圖像與原始圖像的互信息越大越好。交叉熵直接反映了兩幅圖像的差異，交叉熵越小，則融合圖像和原圖像的差別越小。相關(guān)系數(shù)反映的是兩圖像之間的相關(guān)性，值越大效果越好。

可用圖2表示該小波基函數(shù)判別的融合步驟:設(shè)A、B為已配準(zhǔn)好的兩幅原圖像，F(xiàn)為融合圖像。

圖2 小波圖像融合方法Fig.2 Wavelet image fusion method

3 實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果

對一張512像素×512像素的CT圖像和一張128像素×128像素的PET圖像進(jìn)行算法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，兩種圖像分別來自解放軍303醫(yī)院影像中心的CT室和PET中心，均為標(biāo)準(zhǔn)的DICOM格式。CT為GE產(chǎn)品，型號 prospeed‖，物理孔徑為65 cm，F(xiàn)OV為43 cm;PET也是 GE產(chǎn)品，型號 DISCOVERY16，物理孔徑為90 cm、FOV為70 cm。算法用 Matlab 7.0.1編寫，運(yùn)行的硬件環(huán)境為Intel(R)Celeron(R)CPU 2.40 GHz、1.25 GB的內(nèi)存。在實(shí)驗(yàn)前，先對CT和 PET圖像進(jìn)行格式轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成 BMP格式;然后對PET圖像進(jìn)行雙線性插值，以統(tǒng)一圖像的大小;接著，采用最大互信息方法對圖像進(jìn)行配準(zhǔn)，以保證融合圖像質(zhì)量。圖3為兩幅已配準(zhǔn)好的CT圖像和PET圖像，大小為512像素×512像素。

圖3 原始圖像。(a)CT圖像;(b)PET圖像Fig.3 The original image.(a)CT image;(b)PET image

利用不同的評價(jià)方法，對這38種小波基在各自分解層數(shù)確定下的融合效果進(jìn)行比較，見圖4。橫坐標(biāo)表示的是小波基函數(shù)的種類，縱坐標(biāo)表示的是用最大值歸一化后的熵值、互信息、交叉熵、相關(guān)系數(shù)。

由于每一系列的小波基函數(shù)有其各自的相同點(diǎn)，僅是小波濾波器的長度不同，因此在討論融合效果時，分各個不同的系列進(jìn)行討論。同時，結(jié)合主觀評價(jià)方法，以彌補(bǔ)客觀評價(jià)所帶來的不足。對于熵值、互信息、交叉熵、相關(guān)系數(shù)這4個標(biāo)準(zhǔn)，在判斷圖像融合效果時，首先分析融合圖像的熵值，排除熵值較低的融合圖像，然后利用互信息、交叉墑及相關(guān)系數(shù)來考慮融合圖像與原始圖像之間的繼承關(guān)系，并綜合各種評價(jià)值，選取融合效果最好的圖像。

從圖4可以看出:當(dāng)采用 Haar小波基時，融合圖像信息熵偏低，與其他小波基相比較，融合效果較差。當(dāng)采用Daubechies小波基系列時，db5所對應(yīng)的融合圖像熵最大，交叉熵最小，但相關(guān)系數(shù)卻最小;db8次之，同時，db8所對應(yīng)的融合圖像互信息也最小;而db3的各項(xiàng)指標(biāo)均適中，融合效果好。當(dāng)采用Symlets小波基系列時，sym4對應(yīng)的融合圖像熵值及互信息最大，但融合圖像出現(xiàn)模糊陰影;sym5對應(yīng)的融合圖像，熵值及相關(guān)系數(shù)略低于sym7，但互信息僅次于sym4，且交叉墑較低，融合效果較好。當(dāng)采用Coiflets小波基系列時，coif2的融合效果最好。當(dāng)采用 Biorthogonal小波基系列時，bior2.2的各項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)較優(yōu)，融合效果相對好些。

對所得到的每一系列最好的融合圖像作比較，在客觀評價(jià)上，sym5對應(yīng)的融合圖像效果最好，而從視覺上來說，差異不是很大，均可以這些參數(shù)進(jìn)行圖像融合。圖5所示的是按照所確定的參數(shù)進(jìn)行圖像融合后所得的融合圖像。

圖4 融合圖像的客觀評價(jià)。(a)信息熵;(b)互信息;(c)交叉墑;(d)相關(guān)系數(shù)Fig.4 The objective assessment of fused images.(a)entropy;(b)mutual information;(c)crossentropy;(d)correlation coefficient

4 結(jié)論

采用小波變換進(jìn)行醫(yī)學(xué)圖像融合時，小波基函數(shù)的選取及小波分解層數(shù)的選擇將影響融合圖像的性能。筆者依據(jù)圖像熵差確定小波分解層數(shù)，依據(jù)融合評價(jià)指標(biāo)確定小波基函數(shù)，該方法簡單可行。在實(shí)驗(yàn)過程中，確定小波分解層數(shù)這一環(huán)節(jié)，由于不需要引入融合規(guī)則，節(jié)約了判別的時間。通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，在采用不同小波基函數(shù)進(jìn)行圖像融合時，所對應(yīng)的最佳分解層數(shù)是不同的，但一般不超過5層。同時，同一系列的小波基函數(shù)，隨著小波濾波器長度的增長，小波分解系數(shù)增加，計(jì)算量增加，程序運(yùn)行的時間也增加，所以，如果強(qiáng)調(diào)實(shí)時性，可采用濾波器長度較短的小波基函數(shù)。

圖5 CT與PET的融合圖像。(a)db3小波基+2層;(b)sym5小波基 +2層;(c)coif2小波基 +4層;(d)bior2.2小波基+1層Fig.5 Fusion image of CT and PET.(a)db3+2 levels;(b)sym5+2 levels;(c)coif2+4 levels;(d)bior2.2+1 level

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Research of Optimal Parameters of CT/PET Image Fusion Based on Wavelet Transform

LIU Ling-Xiang1CHEN Wu-Fan1ZHOU Ling-Hong1XU Zi-Hai2CHEN Chao-Min1
*1(Institute of Biomedical Engineering，Southern Medical University，Guangzhou 510515，China)2(Radiotherapy Center of PLA 303 Hospital，Nanning 530021，China)

R814

A

0258-8021(2010)04-0498-06

10.3969/j.issn.0258-8021.2010.04.004

2010-01-27，

2010-04-23

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展(973)計(jì)劃(2010CB732500);廣東省科技計(jì)劃項(xiàng)目 (2007B01040056)

*通訊作者。 E-mail:gzccm@fimmu.com.