伴隨矩陣淺析

柳州城市職業(yè)學院 姜思佳 韋浩波

伴隨矩陣淺析

柳州城市職業(yè)學院 姜思佳 韋浩波

本文主要通過對高職教學中伴隨矩陣課程的定義做了補充:階數(shù)為時;總結(jié)伴隨矩陣的求法;并針對三角矩陣、正定矩陣、對稱矩陣(包括正交矩陣)、單位陣等特殊矩陣求伴隨矩陣進行了歸納總結(jié)。

伴隨矩陣代數(shù)余子式初等變換

高職數(shù)學的教學中,伴隨矩陣的定義注明只有n≥2階矩陣才有伴隨矩陣,文中討論了n=1時伴隨矩陣的定義。文中對求伴隨矩陣的方法進行了總結(jié),提出一種簡單求法,并對特殊矩陣的伴隨矩陣進行了歸納總結(jié)。

一、伴隨矩陣的定義

一般教科書上伴隨矩陣的定義如下

且注明只有n≥2階矩陣才有伴隨矩陣的概念,那么當n=1時,是否存在伴隨矩陣呢?或者有什么樣的伴隨矩陣呢?我們提出如下伴隨矩陣的概念:

證明 一階方陣A的伴隨矩陣定義為I1。(此處I1為一階單位矩陣)理由如下:

設A=(k) k≠0

此處Aij為行列式|A|的元素aij的代數(shù)余子式(i= 1,2,3,…,n;j=1,2,3,…,n).現(xiàn)在我們來證明假設是否正確,即我們來證明

“n階方陣A可逆的充分必要條件為其伴隨矩陣A3可逆”是否成立?

(必要性)

1.7 菌種保存 從培養(yǎng)基中刮取少量新鮮菌絲轉(zhuǎn)接到MEA斜面上，室溫培養(yǎng)至菌絲覆蓋整個斜面后，放入4℃冰箱保存，所有操作均在無菌環(huán)境中進行。該方法在保存過程中易出現(xiàn)培養(yǎng)基水分喪失、菌體失活，因此每隔半年須重新轉(zhuǎn)接，只適合短期保存。

A可逆]A-1=存在,且|A|≠0由公式

|A3|=||A|·A-1|=|A|n-1≠0 故A3可逆。

(充分性)不妨用反證法。

若A3可逆,而A不可逆,則|A|=0,于是A·A3=|A|·I=0(零矩陣)

則與A3可逆矛盾,故A可逆。

進而對一階方陣A:若A=(k) k≠0則相應的A3=I,而A不可逆。顯然A3可逆,與上述問題二不一致。為解決上述矛盾,本文提出如下結(jié)論:

方陣的伴隨矩陣定義為:A=(aij)n×n,n為正整數(shù)。

至此均得到合理的解釋。 證畢

二、伴隨矩陣求法

對于伴隨矩陣,代數(shù)教材中介紹的普遍的算法是利用代數(shù)余子式(即伴隨矩陣的元素)。對于n×n矩陣A,求其伴隨矩陣A3,實際上歸結(jié)為計算n2各n-1級行列式,隨著矩陣階數(shù)的增大,其計算量會迅速增大,利用矩陣的初等變換,求伴隨矩陣則很容易,計算量相對很小。由矩陣的初等變換理論知,若n階方陣A可逆,則可通過對其進行初等變換求A-1,即(A|I)～初等變換(I|A-1),具有此下面定理。

一些特殊矩陣的伴隨矩陣的求法

1.三角矩陣的伴隨矩陣的求法

設矩陣

2.對稱矩陣求伴隨矩陣

設對稱矩陣為

3.單位矩陣求伴隨矩陣。單位矩陣的性質(zhì)和矩陣的構(gòu)造我們可以容易的看出其伴隨矩陣也為單位矩陣。

三、結(jié)束語

本文主要討論伴隨矩陣,對伴隨矩陣的定義做了補充;總結(jié)了求伴隨矩陣的一種簡單方法;再就是針對一些特殊矩陣:三角矩陣、對稱矩陣、單位陣等,根據(jù)它們的特殊構(gòu)造對求伴隨矩陣進行了歸納總結(jié)。對在高職學生掌握高等數(shù)學矩陣知識,使學生能深刻理解伴隨矩陣的概念,對伴隨矩陣的解法和用途細致了解,對進一步學習矩陣,以及在理論及實際應用上有十分重要意義。

[1]孟道驥.高等代數(shù)與解析幾何第二版[M].北京:科學出版社,2007

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[3]張禾瑞.高等代數(shù)第五版[M].北京:人民教育出版設,2007

[4]北大數(shù)學系代數(shù)與幾何教研室前代數(shù)小組編.高等代數(shù)第三版[M].北京:高等教育出版社,2003

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