基于熱傳導(dǎo)模型的像素級(jí)遙感圖像融合

許君一,盧秀山,卿熙宏,姚繼鋒

1.山東科技大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266510;2.山東省3S工程技術(shù)研究中心,山東青島266510;3.海島(礁)測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)試驗(yàn)室,山東青島266510;4.山東科技大學(xué)資產(chǎn)處,山東青島266510

基于熱傳導(dǎo)模型的像素級(jí)遙感圖像融合

許君一1,2,3,盧秀山1,3,卿熙宏1,4,姚繼鋒1

1.山東科技大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266510;2.山東省3S工程技術(shù)研究中心,山東青島266510;3.海島(礁)測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪局重點(diǎn)試驗(yàn)室,山東青島266510;4.山東科技大學(xué)資產(chǎn)處,山東青島266510

通過(guò)熱傳導(dǎo)方程給出一種像素級(jí)遙感圖像融合模型和方法:①給出空間域內(nèi)高分辨率圖像與低分辨率圖像之間的擴(kuò)散關(guān)系,作為特例得到Brovey變換(brovey transform,BT);②給出圖像融合與增強(qiáng)的統(tǒng)一表達(dá)式并得到基于亮度平衡的融合方法;③低分辨率多光譜圖像的方差較小情形,指出基于方差的標(biāo)準(zhǔn)圖像融合方法將會(huì)丟失高空間分辨率全色圖像信息。試驗(yàn)表明,除了圖像量化誤差以外,所提議的方法不會(huì)丟失已知圖像的空間分辨率和波譜信息。

圖像融合;遙感;HSI;多光譜圖像;熱傳導(dǎo)方程

1 引 言

遙感圖像處理中,高空間分辨率全色圖像與低空間分辨率多光譜圖像的融合技術(shù)一直是其研究重點(diǎn)之一。像素級(jí)融合方法大體上可分為顏色模型法(HSI、HSB、HSV等)、變換域法(離散小波變換DWT、主分量法 PCA等)、參數(shù)估計(jì)法[1]。顏色模型法中,HSI變換因其亮度空間與彩色空間的正交性而受到重視。參數(shù)估計(jì)法中, Bayes法也有比較滿意的結(jié)果[2]。文獻(xiàn)[2]通過(guò)引入多個(gè)觀測(cè)模型,增強(qiáng)了待估計(jì)圖像各個(gè)主成分的空間分辨率,并獲得了線性最小均方誤差意義上的高分辨率多光譜圖像Bayes估計(jì)。變換域融合方法中最常見的DWT法以適當(dāng)損失空間分辨率為代價(jià)較好地保留了波譜信息[3-4]。也有作者通過(guò)DCT變換進(jìn)行圖像融合[5]。有一些作者從波譜保持性角度研究多光譜遙感圖像融合問題[6]。從應(yīng)用角度分析,各種圖像融合方法各具特點(diǎn)[7]。方法研究方面,人們不斷探索新的圖像融合方法使其更具有普遍性和更好的效果。如,偏微分方程理論正逐漸受到重視[8-9]。

現(xiàn)代圖像處理中,非線性擴(kuò)散方程在圖像的復(fù)原、邊緣檢測(cè)、分割及去噪等問題中有著重要的應(yīng)用[7-9]。自從1987年Malik和 Perona把非線性傳播(擴(kuò)散)方程引入到圖像處理后,人們大量研究了具有對(duì)比度不變性、仿射不變性的非線性擴(kuò)散方程[7-8]。D.A.Socolinsky在他的博士論文中通過(guò)偏微分方程研究了圖像融合問題[10]。D.A.Socolinsky的研究為圖像融合問題提供了新的思路和方法[11-12]。

熱傳導(dǎo)方程在研究許多擴(kuò)散問題時(shí)起到借鑒作用。用熱傳導(dǎo)方程來(lái)描述圖像的多尺度空間分辨率和圖像的復(fù)原問題已經(jīng)有豐富的成果[6-7]。筆者通過(guò)擴(kuò)散原理和偏微分方程理論研究了低空間分辨率多光譜波段圖像與高空間分辨率全色波段圖像的融合問題。試驗(yàn)表明,新方法的理論結(jié)果是穩(wěn)定和正確的。

2 基于擴(kuò)散模型的多光譜和全色波段圖像融合

熱擴(kuò)散過(guò)程與圖像的多尺度分辨率之間有許多相似或相同之處。下面通過(guò)熱擴(kuò)散原理建立多光譜和全色波段圖像融合的熱傳導(dǎo)模型及算法。

2.1 熱傳導(dǎo)擴(kuò)散模型

設(shè)高空間分辨率多光譜圖像在0≤t≤T內(nèi)發(fā)生擴(kuò)散且滿足熱傳導(dǎo)方程。多光譜圖像的多尺度熱傳導(dǎo)方程與一般熱傳導(dǎo)方程約束條件有所不同的是,模型中增加了終止條件。為了融合后的圖像亮度與多光譜圖像亮度保持一致,給出了均值約束條件。作為可選項(xiàng),給出了表示圖像細(xì)節(jié)反差的方差約束作為候選條件。根據(jù)以上假設(shè),多尺度圖像熱傳導(dǎo)方程模型為

其中,k=1,2,3,4分別代表R、G、B三個(gè)波段及圖像亮度;φ(x)表示高空間分辨率全色圖像。作為擴(kuò)散條件,初始圖像φk(x)表示高分辨率圖像(若無(wú)特別聲明以下分辨率均指空間分辨率);終止圖像ψk(x)表示低分辨率圖像;uk(x,t)為 t尺度圖像;E(＊)表示圖像平均值;D(＊)表示圖像方差。假定ψk(x)是φk(x)經(jīng)過(guò) T時(shí)間尺度擴(kuò)散的結(jié)果。所以,φk(x)的分辨率高于ψk(x)。對(duì)于多光譜k=1,2,3情況,式(1)構(gòu)成求解初始條件φk(x)和熱源函數(shù) fk(x,t)的反問題。理論上,式(1)的求解是困難的。

圖像亮度一般是各個(gè)波段灰度的平均值

所以,多光譜圖像亮度 u4(x,t)在也滿足式(1)的形式。式(1)的Fourier變換為(ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)T)

求解式(3)得(k=1,2,3,4)

式(3)中要求滿足條件^uk(ξ,T)=^ψk(ξ),即

令χ(τ)為特征函數(shù)

則

做關(guān)于t的Fourier變換得

即做逆Fourier變換并求函數(shù)^fk(ξ,t)得

其中,δ(t)為Dirac函數(shù),t∈[0,T]。把上式代入下式

得

整理和考慮t=0情況,得

2.2 多光譜與全色波段圖像融合

根據(jù)式(4),有

即

復(fù)數(shù)模|＊|代表了圖像的能量。如果把像素值作為該點(diǎn)的能量,復(fù)數(shù)模|＊|代表了構(gòu)成該像素的更小尺度圖像的能量。如圖1所示,數(shù)字圖像的獲得可看成如下過(guò)程:大圖像是由子圖像拼接得到的。

圖1 大圖像由子圖像拼接得到Fig.1 Sub-image to be large mosaic image

把子圖像縮減成一個(gè)光柵點(diǎn)構(gòu)成新的數(shù)字圖像

根據(jù)式(6),式(5)表示低分辨率多光譜子圖像、高分辨率全色子圖像及高分辨率多光譜子圖像之間的能量關(guān)系。這種能量關(guān)系,對(duì)大的圖像來(lái)說(shuō)就是像素值之間的關(guān)系。通過(guò)式(5)、式(6),從子圖像頻率域轉(zhuǎn)換到大圖像空間域

根據(jù)式(7),可通過(guò)全色圖像φ4和低分辨率多光譜圖像獲得高分辨率的多光譜圖像(φ1,φ2,φ3)。理想情況下,高分辨率多光譜圖像的亮度φ4和高分辨率全色圖像φ完全一致。但從信息獲取角度看,φ和φ4的區(qū)別是φ為已知量,φ4為未知量。用已知的φ代替未知的φ4得到

若假定 ak=a(k=1,2,3),t∈[0,T],根據(jù)式(2),自然有 a4=a。此時(shí)直接得到 Brovey變換(Brovey transform,BT)[13]。在熱擴(kuò)散過(guò)程中其總能量守恒。所以,擴(kuò)散過(guò)程中可以認(rèn)定多光譜圖像的各個(gè)波段平均亮度不變,E{ψk}=E{φk}(k =1,2,3)。但是,遙感圖像中常見情況是低分辨率的多光譜圖像的亮度與全色圖像的亮度不一致。因此,對(duì)式(8)進(jìn)行如下調(diào)整

其中,k=1,2,3。式(11)將使得到的高分辨率多光譜圖像與低分辨率多光譜圖像的亮度保持一致。當(dāng)ak=a(k=1,2,3),t∈[0,T]時(shí),由式(9)進(jìn)一步得

經(jīng)過(guò)式(10)給出的高分辨率多光譜圖像的亮度方差為(用D(＊)表示方差)

同理,通過(guò)式(8)也能得到常用的標(biāo)準(zhǔn)圖像融合算法

值得注意的是,式(12)的方差 D(IStd)=D(ψ4)而不是D(IStd)=D(φ)。所以,式(12)的分辨率不能很好地代表高分辨率圖像的分辨率。另外,當(dāng)D(ψ4)≈0時(shí)出現(xiàn) D(IStd)≈0,即得到亮度為E{ψ4(x)}的無(wú)圖像細(xì)節(jié)的同一色圖像。這與事實(shí)是不符合的。實(shí)際上,多光譜圖像方差為0未必全色圖像沒有細(xì)節(jié)。在數(shù)字圖像中均值為0的圖像方差一定為0,但反過(guò)來(lái)未必成立。從這個(gè)角度,式(7)～式(9)和式(9)～式(10)更具有普遍意義。從實(shí)際應(yīng)用角度,式(12)也不是完全不可用。當(dāng)?shù)头直媛使庾V圖像亮度方差D(ψ4)比較大時(shí),式(12)的效果不僅很好而且表現(xiàn)出對(duì)波譜信息的高分辨率特性。所以,更為實(shí)際的方案是要依據(jù)所獲得的圖像和應(yīng)用要求決定采用哪一個(gè)。

3 試驗(yàn)與分析

以下試驗(yàn)原始影像均為256×256的低分辨率多光譜圖像和高分辨率全色圖像。試驗(yàn)中,除了特別指出參數(shù)

以外,都默認(rèn)為λk=1(k=1,2,3)。稱參數(shù)λk為反擴(kuò)散系數(shù)。

試驗(yàn)1 圖2為原始影像。圖3(a)、(b)通過(guò)式(8)、式(9)得到。目視效果上,圖3(a)亮度與圖2(b)一致,圖3(b)亮度與圖2(a)一致。這一點(diǎn)同理論分析一致。圖4通過(guò)式(12)得到。細(xì)節(jié)反差上,圖4不如圖3(b)。圖4整體亮度相對(duì)較低,在高亮度區(qū)可分辨部分細(xì)節(jié)。

圖2 低分辨率多光譜圖像(a)和高分辨率全色圖像(b)Fig.2 The low-resolution multispectral images(a)and the high-resolution panchromatic image(b)

圖3 (a)、(b)分別為通過(guò)式(8)和式(9)得的結(jié)果Fig.3 (a)and(b)are obtained by method(8)and (9),respectively

圖4 根據(jù)式(12)得的結(jié)果Fig.4 The result obtained by method(12)

圖5 原圖像Fig.5 The original image

試驗(yàn)2 圖5、圖6為原始影像。圖5為高分辨率多光譜圖像。圖7(a)直接通過(guò)式(9)得到,圖7(b)通過(guò)亮度與彩色空間正交的HSI變換后,對(duì)亮度分量用式(12)處理,然后進(jìn)行HSI反變換得到。表1為均方誤差

其中,(si,j)為原始高分辨率多光譜圖像,(f usioni,j)為融合后的圖像。圖8(a)、(b)通過(guò)式(9)得到。其中反擴(kuò)散系數(shù)λk=0.2,1.8(k=1,2,3)。

圖6 低分辨率多光譜圖像和高分辨率全色圖像Fig.6 The low-resolution multispectral images(a)and the high-resolution panchromatic image(b)

圖7 (a)、(b)分別為通過(guò)式(9)和式(12)得的結(jié)果Fig.7 (a)and(b)are obtained by method(9)and (12),respectively

圖8 (a)、(b)經(jīng)式(9)得到,λk=0.2,1.8(k=1,2,3)Fig.8 (a)and(b)are obtained by method(9)using parametersλk=0.2,1.8(k=1,2,3),respectively

試驗(yàn)3 原始影像如圖9所示。圖10(a), (b)通過(guò)式(10),式(12)得到。圖10(b)沒有能夠體現(xiàn)出高分辨率全色圖像的信息。這與理論分析一致。

圖9 低分辨率多光譜圖像和高分辨率全色圖像Fig.9 The low-resolution multispectral images(a)and the high-resolution panchromatic image(b)

圖10 (a)、(b)分別為通過(guò)式(9)和式(12)得到的結(jié)果Fig.10 (a)and(b)are obtained by method(9)and (12),respectively

表1 試驗(yàn)2的RGB波段均方誤差Tab.1 Themeansquared errorofRGB bandin second experiment

試驗(yàn)4 采用試驗(yàn)1的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行基于4層小波分解的兩種融合算法試驗(yàn)。

融合方法1 ①對(duì)圖2(a)進(jìn)行HSI變換,獲得亮度分量I;②對(duì)I和圖2(b)進(jìn)行4層小波分解,小波采用db4(daubechies 4);③在第4層,低頻取I的低頻分量,高頻取I和圖2(b)相互對(duì)應(yīng)的高頻分量中系數(shù)絕對(duì)值大的作為新的高頻分量,并把這些高低頻分量作為圖2(b)的第4層小波分解分量;④對(duì)圖2(b)進(jìn)行逐層小波重構(gòu),其結(jié)果作為新多光譜圖像的HSI亮度分量I;⑤進(jìn)行HSI反變換,得到圖11(a)。

融合方法2 ①進(jìn)行融合方法1中的過(guò)程①和②;②在第4層,通過(guò)I和圖2(b)的第4層低通分量進(jìn)行主成分分析(PCA)得到權(quán)值;③對(duì)I和圖2(b)的第4層分量進(jìn)行加權(quán)求和,并把它作為圖2(b)的第4層分量;④對(duì)圖2(b)進(jìn)行逐層小波重構(gòu)和HSI反變換,得到圖11(b)。試驗(yàn)中,對(duì)應(yīng)全色和多光譜圖像的權(quán)值分別為0.376 72和0.623 28。

圖11 圖像(a)是試驗(yàn)4融合方法1的結(jié)果,而圖像(b)是融合方法2的結(jié)果Fig.11 (a)and(b)are the results of fusion method 1 and 2 in experiment 4,respectively

分析 試驗(yàn)1中,整體上亮度約束效果比方差好。在高亮度區(qū)域,由于低分辨率多光譜圖像高亮度區(qū)的過(guò)高亮度和融合圖像的量化截?cái)?導(dǎo)致圖3(b)在高亮度區(qū)域難于分辨空間細(xì)節(jié)。基于方差的融合圖像圖4在高亮度區(qū)體現(xiàn)了一定的細(xì)節(jié)。試驗(yàn)2給出了融合圖像和原始圖像的差別程度。目視效果圖7(a)比圖7(b)好一些,但差別不明顯。表1數(shù)據(jù)表明,各波段的平均離散程度都很小。由式(9)和式(10)得到圖像的均方誤差完全一樣。這也從另一個(gè)方面說(shuō)明了亮度空間與彩色空間正交的 HSI變換的合理性。圖8(a)、(b)表明,融合中擴(kuò)散條件的不同而表現(xiàn)出圖像的逐漸增強(qiáng)。不同的參數(shù)代表了不同的擴(kuò)散程度,所以當(dāng)加大逆擴(kuò)散程度時(shí)表現(xiàn)出了使圖像增強(qiáng)的特點(diǎn)。試驗(yàn)1～試驗(yàn)3表明了理論與試驗(yàn)的一致性,同時(shí)指出了用亮度作為約束條件比用方差作為約束條件更有效和合理。試驗(yàn)3直接指出了方差約束在極端情形下的不合理性。試驗(yàn)4給出了兩種典型的小波融合試驗(yàn)。目視效果上,圖11(a)的波譜信息與圖2(a)比較接近。在細(xì)節(jié)上和清晰程度上,圖3(b)的空間分辨率明顯好于圖11(a)。雖然圖11(b)在細(xì)節(jié)保持性上有一定的改進(jìn),但較多地丟失了波譜信息。所以,無(wú)論是波譜信息保持性上還是空間分辨率上,圖11(b)都不如圖3(b)。目前,小波融合算法的多數(shù)融合策略是取多光譜的低頻和全色波段的高頻作為融合策略,其目的是保持多光譜的波譜信息和全色波段的高空間分辨率信息。研究表明,小波融合算法中的分解層數(shù)不是越多或越少就越好。因此,許多小波圖像融合算法對(duì)空間分辨率和波譜信息損失是不可避免的。如何使空間分辨率和波譜信息的損失減少到最少是小波圖像融合技術(shù)中的一個(gè)核心問題。試驗(yàn)4的結(jié)果也說(shuō)明了這個(gè)問題。在空間分辨率和波譜信息損失中,不僅有目視效果上可感覺得到的損失,也有感覺不到的損失。這些損失是小波分解下的圖像融合策略導(dǎo)致的。這一點(diǎn)上,新方法具有空間分辨率和波譜信息保持性上的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié) 論

筆者根據(jù)熱傳導(dǎo)方程得到了圖像融合算法。根據(jù)熱傳導(dǎo)方程,理論上得到了BT算法和融合與增強(qiáng)統(tǒng)一描述的更一般的算法。試驗(yàn)表明,該算法在波譜保持性和細(xì)節(jié)保持性上表現(xiàn)出比較好的特性。分析和試驗(yàn)表明,標(biāo)準(zhǔn)圖像融合算法在方差比較小時(shí)丟失高分辨率全色圖像信息。從多光譜波譜信息上,除了調(diào)整波譜亮度以外,新方法在不同波譜之間的相對(duì)比值關(guān)系沒有發(fā)生變化。所以,從波譜之間的比值角度來(lái)說(shuō),融合結(jié)果沒有發(fā)生波譜畸變。新方法適合應(yīng)用于遙感圖像目視解譯與分析。新方法不需要做 HSI變換,這將有效減少計(jì)算量。相對(duì)于Bayes法,新方法無(wú)需進(jìn)行迭代計(jì)算,也沒有像Bayes法中出現(xiàn)的光譜信息和空間細(xì)節(jié)信息等方面的預(yù)測(cè)或估計(jì)問題。新方法是基于熱擴(kuò)散理論的方法,理論上是嚴(yán)格而精確的算法,無(wú)須進(jìn)行最優(yōu)性估計(jì)。融合原理試驗(yàn)結(jié)果表明,新方法在細(xì)節(jié)保持性上優(yōu)于多層小波分解方法。

新算法精度在于,不同分辨率的遙感圖像融合是否符合擴(kuò)散原理。作為新方法特例的BT方法文獻(xiàn)和本文試驗(yàn)表明,多尺度意義上的擴(kuò)散模型滿足熱傳導(dǎo)方程在內(nèi)的擴(kuò)散方程。所以,新方法不僅具有一定的普適性,更具有進(jìn)一步進(jìn)行理論發(fā)掘的潛力。多光譜融合圖像的波譜真?zhèn)闻c低分辨率的多光譜圖像的擴(kuò)散程度有直接關(guān)系。如果擴(kuò)散程度過(guò)大,其光譜不能代表高分辨率空間位置的波譜信息。因此,在適當(dāng)?shù)牟ㄗV空間分辨率下的融合才有實(shí)際意義。

根據(jù)以上分析和結(jié)論,所提議的方法具有較強(qiáng)的理論意義和較好的實(shí)際意義。根據(jù)本文研究結(jié)果和思路,將進(jìn)一步研究多焦距圖像融合的擴(kuò)散模型和非線性融合模型。

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(責(zé)任編輯:叢樹平)

Pixel-level Remote Sensing Images Fusion Based on Heat Conduction Model

XU J unyi1,2,3,LU Xiushan1,3,QING Xihong3,YAO Jifeng1
1.College of Geomatics,Shandong University of Science and Technology,Qingdao 266510,China;2.“3S”Research Center of Engineering and Technology,Qingdao 266510,China;3.KeyLaboratory of Surveying and Mapping Technology on Island and Reef, State Bureau of Surveying and Mapping,Qingdao 266510,China;4.Assets Division,Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266510,China

A novel pixel-level remote sensing image fusion based on heat conduction equation is proposed.The main contributions are as follows:①the diffusion relationship between the high-resolution image and the low-resolution image are obtained in the space domain,where Brovey transform(BT)is one of its special cases;②a unified expression of pixel-level image fusion and image enhancement is obtained,and a brightness balanced-based image fusion is obtained by using the expression;③the disadvantage that the standard variance-based image fusion method will result in the loss of high spatial resolution panchromatic image information,for smaller variance of lowresolution multispectral images is pointed out.Experimental results show that this approach does not lose the image spatial resolution and spectral information and outperforms the existing method.

image fusion;remote sensing;HSI;multispectral image;heat conduction equation

XU J unyi(1960—),male,PhD,professor,majors in the image processing,pattern recognition,digital watermarking,digital photogrametry and marine charting.

E-mail:xjyxxl@yahoo.com.cn

1001-1595(2010)06-0566-06

P237

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國(guó)家自然科學(xué)基金(30700107)

2009-08-01

2009-09-28

許君一(1960—),男,博士,教授,主要研究方向?yàn)閳D像處理、模式識(shí)別、數(shù)字水印、數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量和海洋測(cè)繪。