關(guān)于非線性Petrovsky方程初邊值問題的注記

張有珍, 王書彬

(1.鄭州輕工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部 河南鄭州450002;2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系 河南鄭州450001)

關(guān)于非線性Petrovsky方程初邊值問題的注記

張有珍1, 王書彬2

(1.鄭州輕工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部 河南鄭州450002;2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系 河南鄭州450001)

考慮一類具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的Petrovsky方程的初邊值問題,通過對(duì)穩(wěn)定集和非穩(wěn)定集的精確刻畫,證明了當(dāng)初值屬于穩(wěn)定集及其邊界時(shí)問題整體弱解的存在惟一性.

Petrovsky方程;初邊值問題;穩(wěn)定集;整體弱解

0 引言

非線性Petrovsky方程是描述梁振動(dòng)問題的一類重要的四階波動(dòng)方程,并且出現(xiàn)在許多物理問題中[1-2].本文考慮具有非線性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的Petrovsky方程的初邊值問題,

其中,m≥2,p≥2,Ω是Rn中的一個(gè)具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,v是?Ω的單位外法向量.

Messaoudi[3]對(duì)問題(1)進(jìn)行了研究,證明了當(dāng)m≥p時(shí),初邊值問題的弱解是整體存在的,當(dāng)m

在本文中使用如下記號(hào):Hk(Ω)=Wk,2(Ω)表示Sobolev空間,(Ω)={w∈H2(Ω):0},其中和是在跡的意義下取值.分別表示Lp(Ω)和H2(Ω)的模,特別地

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出初邊值問題(1)的局部存在性定理.

定理1[3]假定當(dāng)n≤4時(shí),2≤m<∞,2

(Ω),u1∈L2(Ω),則對(duì)某個(gè)足夠小的T>0,初邊值問題(1)存在惟一弱解

且對(duì)t∈[0,T],有

定理1使(1)在Ω×[0,T)上存在解的所有T的上確界稱為問題(1)解的生命界,用T＊表示.如果T＊=∞,稱解是整體的;如果T＊<∞,稱解是非整體的,此時(shí)也稱解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破,利用標(biāo)準(zhǔn)的延拓方法可以證明.

定理2在定理1的條件下,若

為了刻畫穩(wěn)定集和不穩(wěn)定集,引入泛函

引理1設(shè)2)J(λu)對(duì)λ∈[0,+∞)有惟一的極值點(diǎn),且在λ0處取到最大值

引理2設(shè),u≠0,記

引理31)若I(u)<0,則;2)若;則I(u)>0;3)若I(u)>0,則0<;4)若,則I(u)<0.

引理4若J(u)≤d,則1)I(u)>0的充要條件是2)I(u)<0的充要條件是

定理3記(Ω):‖Δu‖

證明1)只需證明?W.當(dāng)時(shí),,從而J(u),當(dāng)u≠0時(shí),0≤,故知u∈W,即?W;2)若,則I(u)=0,J(u)≤d,且u≠0,因此u∈N,且J(u)≤d,故得u∈E＊,反之,若u∈E＊,則J(u)=d,I(u)=0,因此.

引理5在定理1的假設(shè)下,若E(0)

2 整體解的存在性

引理6在定理1的假設(shè)下,若E(0)

定理4在定理1的假設(shè)下,若E(0)≤d,m

證明首先,從定理1可知問題(1)存在惟一的局部解u(x,t),記解u(x,t)的生命界為T＊,只需證明T＊=∞.

引理1設(shè)(Ω),u≠0,則1)=0,=-∞;2)J(λu)對(duì)λ∈[0,+∞)有惟一的極值點(diǎn)λ0=,且在λ0處取到最大值.

引理2設(shè)u,記

取序列{λk}使得0<λk<1,k=1,2,…,且當(dāng)k→∞時(shí)λk→1,令u0k=λku0,u1k=λku1,考慮初邊值問題

如果u1=0且u0=0,則Ek(0)=0

且

利用引理6有估計(jì)式

于是由引理3和引理4可知

從式(5)和(6)可知,存在惟一函數(shù)~u∈W~和{uk}的子序列(仍記為{uk})使得對(duì)任意的T>0,當(dāng)k→∞時(shí)uk在L∞(0,T;)中弱＊收斂于,ukt在L∞(0,T;L2)中弱＊收斂于,ukt在Lm((0,T)×Ω)中弱＊收斂于在L∞(0,∞);中弱＊收斂于

在等式(4)中,令m=k→∞可得

顯然有~u(x,0)=u0(x),~ut(x,0)=u1.

因此~u是初邊值問題(1)的整體弱解,從問題(1)解的惟一性可知在且對(duì)任意的故得T＊=∞.定理證畢.

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Remark on the Initial Boundary Value Problem for Nonlinear Petrovsky Equation

ZHANG You-zhen1, WANG Shu-bin2
(1.Department of Foundation,Zhengzhou Vocational Colloge of L ight Industry,Zhengzhou 450002,China;2.Department of M athem atics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

The initial boundary value p roblem is studied for Petrovsky equation w ith nonlinear damping and source term s.By construsting the stable set and the unstable set,the existence and the uniqueness of global weak solution are p roved w hen the initial value belongs to the stable set and it's boundary.

Petrovsky equation;initial boundary p roblem;stable set;global weak solution

O175.13

A

1671-6841(2010)03-0031-03

2010-03-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)10971199;河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)計(jì)劃項(xiàng)目,編號(hào)08230041060.

張有珍(1964-),女,講師,主要從事非線性微分方程研究,E-mail:zhangyouzhen0816@126.com.