Mellor-Yamada模型在波浪邊界層中的運(yùn)用

陳杰，蔣昌波，劉虎英，鄧斌

（1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué)水利工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004；2. 湖南省水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410004;3. 湖南省交通規(guī)劃勘查設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410008）

Mellor-Yamada模型在波浪邊界層中的運(yùn)用

陳杰1,2，蔣昌波1,2，劉虎英1,3，鄧斌1

（1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué)水利工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004；2. 湖南省水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410004;3. 湖南省交通規(guī)劃勘查設(shè)計(jì)院，湖南 長(zhǎng)沙 410008）

利用Mellor-Yamada 2.5階封閉格式建立一維垂線波浪邊界層數(shù)學(xué)模型，利用有限元方法求解，模擬線性波作用下的層流邊界層和喬治沙洲南側(cè)海岸一側(cè)點(diǎn)的波浪邊界層流速分布，并同理論或其他的計(jì)算方法進(jìn)行比較，結(jié)果顯示該模型具有較高的精度，能廣泛運(yùn)用于波浪邊界層的研究中。

Mellor-Yamada模型；邊界層；數(shù)值模擬

波浪邊界層存在于海底床面附近，雖然厚度只有2～10 cm，但其水流運(yùn)動(dòng)特性與波浪的傳播和變形、泥沙起動(dòng)以及床面形態(tài)的變化密切相關(guān)，流體內(nèi)部紊動(dòng)結(jié)構(gòu)、波浪底部摩阻力、波浪的質(zhì)量輸移速度、波能衰減、波浪要素變化、波浪作用下的底沙起動(dòng)輸移、懸沙分布及其輸送的合理確定等，都直接或間接的與波浪作用下的底部邊界層有關(guān)。自Jonsson[1]和Sleath[2]的工作以來(lái)，人們已經(jīng)進(jìn)行了很多關(guān)于波浪邊界層的理論、數(shù)值和實(shí)驗(yàn)方面的研究工作。如趙子丹[3]等將大渦模擬法簡(jiǎn)化為二維形式，利用SGS格子渦模型封閉二維Navier-Storkes方程水流運(yùn)動(dòng)方程組,得到平底振蕩流邊界層立面二維水流數(shù)值模型，討論了振蕩流邊界的紊動(dòng)特性沿垂線分布和隨相位變化的情況。蔣昌波[4]等建立了立面二維曲線坐標(biāo)下的數(shù)值模型，模擬波浪作用下底層分離渦隨時(shí)間、空間變化的動(dòng)力特性，對(duì)底層流動(dòng)的紊動(dòng)特性、床面剪切應(yīng)力的隨時(shí)間、空間的變化以及渦動(dòng)結(jié)構(gòu)的尺度分別進(jìn)行了討論。孫亞斌[5]等利用格子Boltzmann方法中不可壓縮的模型模擬了線性波和橢圓余弦波作用下的層流邊界層流速變化情況，程永舟[6,7]等研究了橢圓余弦波作用下的非對(duì)稱沙紋上的流動(dòng)特性。然而，由于波浪邊界層的復(fù)雜性，波浪邊界層的問(wèn)題仍然需要深入研究。

Mellor和Yamada[8,9]提出一種層次化的封閉模型，即Mellor-Yamada模型（以下簡(jiǎn)稱MY模型）。Mellor-Yamada模型用紊動(dòng)能量(Turbulent energy)和紊動(dòng)特征長(zhǎng)度(Turbulent length scale)參數(shù)表示，共分成了5個(gè)等級(jí)。MY模型的優(yōu)點(diǎn)是使用很少的封閉所需常數(shù)。MY模型已經(jīng)廣泛的運(yùn)用與大氣[10,11]和海洋[12-14]的計(jì)算。許多學(xué)者對(duì)MY模型進(jìn)行改進(jìn)、推廣和運(yùn)用。萬(wàn)振文[15]等將MY閉合模型推廣應(yīng)用到生態(tài)動(dòng)力學(xué)模型方程的二階湍封閉過(guò)程中。李華軍[16]等探討Mellor-Yamada模型考慮泥沙的影響，進(jìn)而再將其用于河口地區(qū)泥沙輸移的探索和研究。本文將MY模型運(yùn)用于波浪邊界層問(wèn)題的研究，建立利用Mellor-Yamada 2.5階封閉模型的一維垂線邊界層數(shù)學(xué)模型，并用于波浪邊界層問(wèn)題的研究。

1 模型基本理論

1.1 基本方程

一維垂線邊界層數(shù)學(xué)模型的基本方程為符合傳統(tǒng)靜力學(xué)假設(shè)的淺水方程。動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程中的雷諾湍動(dòng)和通量項(xiàng)都用參數(shù)化的渦擴(kuò)散率表示，動(dòng)量方程中考慮科氏力的作用，水平變量和垂直面水平對(duì)流忽略不計(jì)。

連續(xù)方程為：

動(dòng)量方程為：

能量守恒方程為：

則能量守恒方程可以寫成：

1.2 邊界條件

在自由邊界，使用風(fēng)壓力wτ和熱流通量˙H都源于水平動(dòng)量和能量，分別為：

在底部邊界，假設(shè)剪應(yīng)力τb為常數(shù)，摩阻流速u*與剪應(yīng)力的關(guān)系為：

則對(duì)數(shù)流速分布為：

底部滑移條件時(shí)，定點(diǎn)速度用剪應(yīng)力粗糙高度表示：

由 (8)(9)(10) 式得到阻力系數(shù)：

因此得到：

在自由水面，紊動(dòng)能量與紊動(dòng)特征長(zhǎng)度有：

1.3 Mellor-Yamada 2.5階封閉模型

Mellor-Yamada 2.5階封閉模型將紊動(dòng)動(dòng)能(turbulent kinetic energy)和紊動(dòng)特征長(zhǎng)度(turbulent master length scale)引入守恒方程。盡管計(jì)算引入?yún)?shù)，但是考慮到這些參數(shù)的瞬時(shí)性和空間演變性，因此其具有很多優(yōu)點(diǎn)。Mellor和Yamada[9]將守恒方程寫成紊動(dòng)動(dòng)能和紊動(dòng)特征長(zhǎng)度的形式：

紊動(dòng)粘性系數(shù)mκ，紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)hκ，紊動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)qκ的確定如下式：

式中，E1，E2分別取1.8，1.33；A1，B1，A2，B2，C1，Sq，S1是與主控的紊動(dòng)特征長(zhǎng)度和紊動(dòng)結(jié)構(gòu)特征有關(guān)的實(shí)驗(yàn)常數(shù)，分別取0.92，16.6，0.74，10.1，0.08，0.2，0.2。

1.4 數(shù)值方法

模型采用有限元方法進(jìn)行求解，利用均勻網(wǎng)格進(jìn)行離散。

2 模型運(yùn)用及結(jié)果討論

2.1 線性波作用下的層流邊界層

層流邊界層內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：u為邊界層內(nèi)任一點(diǎn)的流速，p為邊界層內(nèi)任一點(diǎn)的壓力， 為邊界層內(nèi)任一點(diǎn)的剪切應(yīng)力。

由微幅波理論，近底質(zhì)點(diǎn)水平速度為：

式中，Um是近底波浪水質(zhì)點(diǎn)水平速度的最大值，k是波數(shù)，ω是波浪角頻率

于是線性波作用下邊界層內(nèi)任一點(diǎn)流速為：

圖1給出的線性波（波高0.10 m，周期1.6 s，水深0.40 m）作用下一個(gè)周期內(nèi)床面附近的水平流速分布的數(shù)值模擬結(jié)果和理論值，橫軸坐標(biāo)為u/ Um，縱軸坐標(biāo)為z/δ，兩個(gè)都是無(wú)量綱的量，δ為朗吉特-希金斯定義的邊界層厚度其中，實(shí)線為理論值，圓點(diǎn)為數(shù)值模擬值?？梢钥闯鰯?shù)值模擬結(jié)果十分逼近理論結(jié)果。特別是在t0， ，2π附近，也就是邊界層流速達(dá)到最大值時(shí)，兩個(gè)結(jié)果吻合良好。在tπ/2和3π/2附近，在靠近海床的地方數(shù)值模擬值略小于理論值，兩者最大誤差在5%以內(nèi)。運(yùn)用朗吉特-希金斯定義的邊界層厚度求得理論邊界層厚度δ為0.713 6 mm，將數(shù)值模擬結(jié)果運(yùn)用Jonsson[1]提出的方法求得邊界層厚度d為0.709 5 mm，誤差為0.6%。因此，該模型能很好的運(yùn)用于線性波作用下層流邊界層流場(chǎng)問(wèn)題的研究，且具有較高的精度。

圖1 線性波作用下層流邊界層流速分布Fig. 1 Velocity distributions in laminar flow under linear wave

2.2 喬治沙洲海岸波浪邊界層

圖2給出喬治沙洲南側(cè)海岸一側(cè)點(diǎn)的波浪邊界層流速分布，海岸受到M2潮汐和0.095 5 Pa風(fēng)的作用，風(fēng)向?yàn)槠?18.5°[17]。設(shè)u方向?yàn)檎狈较?，橫軸為流速，縱軸為水深，實(shí)線為Mellor-Yamada方法計(jì)算值，圓點(diǎn)為Davies和Furnes[18]提出二次渦粘性封閉格式(Quadratic Eddy Viscosity Closure)的計(jì)算值?？梢钥闯鰞烧哂?jì)算結(jié)果比較接近，因此，該模型能很好的運(yùn)用于波浪作用下邊界層流場(chǎng)問(wèn)題的研究，且具有較高的精度。

圖2 喬治沙洲海岸波浪邊界層流速分布Fig. 2 Velocity distributions on the southern flank of Georges Bank

3 結(jié) 論

本文引進(jìn)Mellor-Yamada 2.5階封閉格式建立一維垂線波浪邊界層數(shù)學(xué)模型，利用有限元法進(jìn)行求解，模擬線性波作用下的層流邊界層，并同理論值進(jìn)行比較，模擬喬治沙洲南側(cè)海岸一側(cè)點(diǎn)的波浪邊界層流速分布，并且同其他學(xué)者提出的計(jì)算方法進(jìn)行比較，結(jié)果顯示該一維垂線數(shù)學(xué)模型具有較高的精度。

同時(shí)，由于實(shí)際海洋環(huán)境中波浪作用是隨機(jī)的，因此利用該數(shù)學(xué)模型模擬隨機(jī)波浪作用下的邊界層流動(dòng)結(jié)構(gòu)更加具有實(shí)際意義，將成為我們下一步工作的重點(diǎn)。本文認(rèn)為Mellor-Yamada封閉格式具有使用很少的封閉常數(shù)，計(jì)算快捷、準(zhǔn)確等優(yōu)點(diǎn)，在波浪邊界層及海岸泥沙運(yùn)動(dòng)機(jī)理等問(wèn)題的研究中將得到廣泛的運(yùn)用。

[1] Jounsson I G. Wave boundary layer and friction factor [J]. Proc 10th Conf Coastal Eng ASCE Tokyo, 1966: 127-148.

[2] Sleath J F A. Velocities above rough bed in oscillatory flow [J].Water, Port Coastal Ocean Eng, 1974, 100(WW4): 287-304.

[3] 趙子丹, 蔣昌波, 白玉川. 振蕩流底部邊界層運(yùn)動(dòng)的數(shù)值研究[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 34(5): 568-572.

[4] 蔣昌波, 白玉川, 趙子丹, 等. 波浪作用下沙紋床面底層流動(dòng)特性研究 [J]. 水科學(xué)進(jìn)展, 2003, 14(3): 332-340.

[5] 孫亞斌, 張慶河, 張金鳳. 振蕩層流邊界層運(yùn)動(dòng)的格子Boltzmann模擬 [J]. 水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展, 2006 (5): 347-353.

[6] Cheng Yongzhou, Wang Yongxue, Jiang Changbo. An experimental investigation of the velocity under cnoidal waves over the asymmetric rippled bed [J]. Acta Oceanologica Sinica, 2007, 26 (1):130-139.

[7] 程永舟, 王永學(xué), 蔣昌波, 等. 淺水非線性波作用下沙紋床面底層流動(dòng)特性試驗(yàn)研究 [J]. 水科學(xué)進(jìn)展, 2007, 18(6): 801-806.

[8] Mellor G, Yamada Y. A hierarchy of turbulence closure models for planetary boundary layers [J]. Journal of the Atmospheric Sciences,1974, 31(10): 1 791-1 806.

[9] Mellor G, Yamada Y. Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems [J]. Reviews of Geophysics and Space Physics, 1982, 20(4): 851-875.

[10] Yamada T. Anumerical experiment on pollutant dispersion in a horizontally-homogeneous atmospheric boundary layer Atmos [J].Environ, 1977, 11: 1 015-1 024.

[11] Yamada T, Bunker S. Anumerical model study of nocturnal drainage flows with strong wind and temperature gradients [J]. Appl Meteorol, 1989, 20: 545-554.

[12] Kantha L H, Clayson C A. An improved mixed layer model for geophysical applications [J]. J Geophys Res, 1994, 99: 25 235-25 266.

[13] Mellor G L. One-dimensional, ocean surface layer modeling: a problem and a solution [J]. J Phys Oceanogr, 2001, 31: 790-809.

[14] 魏皓, 武建平, 張平. 海洋湍流模式應(yīng)用研究 [J]. 青島海洋大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 31(1): 7-13.

[15] 萬(wàn)振文, 袁業(yè)立. 海洋浮游生態(tài)系統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)模型湍封閉研究 [J]. 水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展, 2001, 15(2): 229-239.

[16] 李華軍, 梁丙臣, 李東永, 等. 懸對(duì)沙Mellor-Yamada海洋邊界層模型計(jì)算結(jié)果的影響 [J]. Marine Sciences, 2004, 28(1): 27-32.

[17] Naimie C E, Loder J W, Lynch D R. Seasonal variation of the three-dimensional residual circulation on Georges Bank [J].Geophys Res, 1994, 99(C8): 15 967-15 989.

[18] Davies A M, Furnes G K. Observed and computed M2 tidal currents in the North Sea [J]. Phys Oceanogr, 1980, 10: 237-257.

Study of wave boundary layer based on Mellor-Yamada model

CHEN Jie1,2, JIANG Chang-bo1,2, LIU Hu-ying1,3, Deng Bin1
(1. School of Water Conservancy, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China;2. Hunan Province Key Laboratory of Water, Sediment Sciences & Flood Hazard Prevention, Changsha 410114, China;3. Hunan Provincial Communications Planning, Survey & Design Institute, Changsha 410008, China)

The one dimension time-stepping point numerical model which uses linear finite elements to determine the vertical structure of the horizontal components of velocity under wave forcing is given. And the velocity distributions in laminar flow under linear wave and on the southern flank of Georges Bank are presented. Compared with theoretic and other numerical models, the numerical result shows result is good and that the numerical model is able to investigate the wave boundary layer problem.

Mellor-Yamada model; wave boundary layer; numerical simulation

P731.22; TV139.2

A

1001-6932(2010)03-0253-04

2008-12-08；收訂日期：2009-10-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.50979008,50909009），水沙科學(xué)與水災(zāi)害防治湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助

陳杰（1982－），男，助教，博士生，主要從事河流、海岸動(dòng)力過(guò)程及其模擬技術(shù)的研究。電子郵箱：chenjie166@yahoo.com.cn