一種變形蔡氏混沌吸引子的研究與電路實現(xiàn)

周武杰,楊春亭

(浙江科技學(xué)院信息與電子工程學(xué)院,浙江杭州310023)

0 引 言

近年來,混沌在數(shù)學(xué)、信息科學(xué)以及其它工程領(lǐng)域獲得了國內(nèi)外廣泛的重視,成為了非線性學(xué)科的一個熱點課題[1-6]。眾所周知,蔡氏電路已成為了理論和實驗研究混沌的一個范例[1,2]。在此基礎(chǔ)上,人們還研究了蔡氏電路的其它形式,如多渦卷蔡氏電路、MCK電路、變形蔡氏電路、網(wǎng)格多渦卷蔡氏電路、高階蔡氏多渦卷等電路[3-6]。特別是文獻6報道了用階躍函數(shù)序列構(gòu)造了網(wǎng)格狀蔡氏混沌吸引子,為研究蔡氏網(wǎng)格混沌吸引子打下了基礎(chǔ)。在文獻6的基礎(chǔ)上,提出了一種變形的蔡氏網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)。本文利用蔡氏電路的對偶性,交換狀態(tài)方程右邊等式的x和z,用z來構(gòu)造非線性函數(shù),再利用階躍函數(shù)對y方向上的擴展指標(biāo)2鞍焦點,在這個方向上可產(chǎn)生奇數(shù)或偶數(shù)個混沌吸引子,那么從z-y平面上看到的吸引子成網(wǎng)格狀。對該系統(tǒng)進行計算機仿真,分析了系統(tǒng)的動力學(xué)問題,并對系統(tǒng)進行電路實驗。從計算機模擬、理論分析和硬件實驗,驗證了系統(tǒng)的混沌特性。

1 一種變形的蔡氏網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)動力學(xué)特性

1.1 變形蔡式多渦卷混沌系統(tǒng)的提出和計算機仿真

在文獻6研究蔡氏電路的基礎(chǔ)上,本文提出了一個新的變形蔡式網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng),其狀態(tài)方程可表示為：

式中,a=-10,b=-4～-6;f(z)為三角波函數(shù)序列,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中,A＞0和ai∈(0,A](i=±1,±2,…,±I)稱為三角波參數(shù),ai又稱三角波的相對轉(zhuǎn)折點值,I為

為使式1在 y方向上產(chǎn)生具有奇數(shù)個渦卷的多渦卷混沌吸引子,構(gòu)造階躍函數(shù)序列 g(y)=g2(y),其一般數(shù)學(xué)形式為：正整數(shù)。利用式2,可產(chǎn)生一維2I+1渦卷混沌吸引子。

為使式1在y方向上產(chǎn)生具有偶數(shù)個渦卷的多渦卷混沌吸引子,構(gòu)造階躍函數(shù)序列g(shù)(y)=g1(y),其一般數(shù)學(xué)形式為：

式1-4中e,A1,A2,B,I,ai為方程參數(shù),進行計算機仿真,得n×m渦卷混沌吸引子的z-y的相圖,如圖1所示。

圖1 渦卷混沌吸引子

1.2 新系統(tǒng)動力學(xué)行為的分析

令式 1﹒x=﹒y=﹒z=0,得到系統(tǒng)的平衡點的方程為 ：

對式5方程的平衡點進行分析,得系統(tǒng)的平衡點為P±i,j=(jB-iA,jB,iA),其中,i=0,±1,±2,…,±I,

平衡點Pij對應(yīng)的Jacobin矩陣為：

相應(yīng)的特征方程為-λ3-λ2+(a+b)λ+abK=0,取參數(shù)A=1,a=0.125得K+=7,K-=-1。利用上式求得特征值為：

上述分析表明,在式1表示的混沌系統(tǒng)中,存在兩種不同類型的鞍點,其中平衡點P+為指標(biāo)1的鞍點,而平衡點P-則為指標(biāo)2的鞍點,通過以上分析,滿足Shilnikov定理,可在式1系統(tǒng)中形成混沌吸引子。

2 網(wǎng)格多渦卷變形蔡氏電路的分析及設(shè)計

根據(jù)式1-4,可設(shè)計網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的電路如圖24所示。以下對電路的設(shè)計的基本模塊進行說明。

圖2 三角波函數(shù)序列的電路圖

圖3 階躍函數(shù)序列的電路圖

圖4 產(chǎn)生網(wǎng)格多渦卷混沌吸引子的電路圖

根據(jù)式2中的有關(guān)參數(shù)A和三角波平衡點之間的關(guān)系,選取A=1作為一個典型的參數(shù)來設(shè)計電路,如圖2所示。

根據(jù)式3、4的有關(guān)參數(shù),設(shè)計了階躍函數(shù)序列的電路圖如圖3所示。它由3部分構(gòu)成：反向比較器、壓縮器、反向器。

對式1的狀態(tài)方程進行電路整體的設(shè)計,整個電路由反相加法器、積分器和反相器3大模塊構(gòu)成,電路結(jié)構(gòu)對稱。

3 電路實驗結(jié)果

根據(jù)圖2～4所示電路進行硬件電路實驗,開關(guān)狀態(tài)、比較電壓的值和平衡點的電壓值如表1所示。硬件實驗結(jié)果如圖5所示,其中圖5(a)為3×3渦卷混沌吸引子,圖5(b)為3×4渦卷混沌吸引子,圖5(c)為5×4渦卷混沌吸引子,圖5(d)為5×4渦卷混沌吸引子。

表1 開關(guān)狀態(tài)、比較電壓、平衡點的電壓與渦卷數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系

4 結(jié)束語

在蔡式電路的基礎(chǔ)上,提出了一種用三角波函數(shù)序列和階梯波函數(shù)序列產(chǎn)生網(wǎng)格多渦卷變形蔡式混沌吸引子的一種電路設(shè)計與實現(xiàn)新方法。計算機數(shù)值模擬和電路實驗結(jié)果,證實了這一方案的可行性。為研究變形蔡氏電路提供的一種新的思想方法,同時也為混沌現(xiàn)象的研究和混沌保密通信提供了基礎(chǔ)。

圖5 渦卷混沌吸引子

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