3種熱平衡積分法結(jié)果的比較

陳葉,令鋒

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010051；2.肇慶學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東肇慶526061）

3種熱平衡積分法結(jié)果的比較

陳葉1,2,令鋒2

（1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010051；2.肇慶學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東肇慶526061）

運(yùn)用傳統(tǒng)的、改進(jìn)的和替換的熱平衡積分法求解了一維單相融化問題，在不依賴精確解的情況下比較了3種積分方法近似解的精度.結(jié)果表明：在固定溫度邊界條件下選取二次函數(shù)近似時(shí)，傳統(tǒng)的熱平衡積分法較改進(jìn)的和替換的熱平衡積分法更準(zhǔn)確,隨著Stefan數(shù)的減小，3種積分法結(jié)果的誤差都在減小.

Stefan問題；傳統(tǒng)的熱平衡積分法；改進(jìn)的熱平衡積分法；替換的熱平衡積分法

0 引言

熱平衡積分法（heat balance integral method;HBIM）是Goodman[1]提出的解決熱傳導(dǎo)問題的一種解析方法.即通過對(duì)導(dǎo)熱微分方程在t時(shí)刻的攝動(dòng)深度s(t)關(guān)于空間變量積分得到一個(gè)積分方程，選取滿足邊界條件的函數(shù)代入積分方程，求得整個(gè)區(qū)域的溫度分布.用簡(jiǎn)單函數(shù)來近似描述溫度場(chǎng)，計(jì)算難度低于分析解法，計(jì)算速度快于數(shù)值解法，且計(jì)算精度較高，這使其在導(dǎo)熱問題的求解中被廣泛應(yīng)用.Wood[2]提出了二次函數(shù)下HBIM的6種組合，通過與精確解作比較對(duì)HBIM的實(shí)施提供了指導(dǎo).事實(shí)上，Goodman在文獻(xiàn)[1]中提到2種組合方式，而Wood在文獻(xiàn)[2]中只提到其中1種，Mitchell和Myers[3]把Goodman的第2種組合作為第7種，并稱其在Stefan數(shù)的小范圍內(nèi)比其他6種準(zhǔn)確.Mosally等人[4]以單相融化問題為模型，采用與數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比的方法，給出了當(dāng)Stefan數(shù)等于1時(shí)單相融化問題HBIM細(xì)化解的收斂速度.徐湘田和令鋒[5－6]通過理論分析而不依賴于數(shù)值實(shí)驗(yàn)，分別給出了單相融化問題和Neumann問題熱平衡積分細(xì)化解收斂性的證明.

改進(jìn)的熱平衡積分法（refined integral method;RIM）是Sadoun等人[7]提出的一種半解析方法.即通過對(duì)導(dǎo)熱微分方程關(guān)于空間變量積分2次并結(jié)合傳統(tǒng)的熱平衡積分方程得到一個(gè)新的積分方程，選取滿足邊界條件的函數(shù)代入這個(gè)積分方程，求得整個(gè)區(qū)域的溫度分布.該方法建立在文獻(xiàn)[8]中提到的改進(jìn)積分基礎(chǔ)上，避免了?u/?x在x＝0處產(chǎn)生的誤差,在一定Stefan數(shù)范圍內(nèi)該方法比其他解析方法顯示出更高的準(zhǔn)確性.Mitchell和Myers在文獻(xiàn)[3]中介紹了RIM，并在此基礎(chǔ)上提出了替換的熱平衡積分法（alternative refined integral method;ARIM）.即通過對(duì)導(dǎo)熱微分方程關(guān)于空間變量積分2次得到一個(gè)積分方程，選取滿足邊界條件的函數(shù)帶入這個(gè)積分方程，求得整個(gè)區(qū)域的溫度分布.文中利用已知的數(shù)值解及精確解比較了HBIM、RIM和ARIM在2種溫度邊界條件下得到的近似解，指出當(dāng)?u/?x在x＝0處已知的情況下，比如Robin或者熱流邊界條件下ARIM更準(zhǔn)確.

至此，多數(shù)學(xué)者都是借助已知的數(shù)值解或精確解比較近似解的精度.Langford[9]提出一個(gè)函數(shù)在精確解和數(shù)值解未知的情況下估計(jì)近似解的準(zhǔn)確性.Myers[10－11]利用Langford提出的函數(shù)求得了非整數(shù)形式的HBIM和RIM最優(yōu)多項(xiàng)式次數(shù)，并將之應(yīng)用到標(biāo)準(zhǔn)熱問題及Stefan問題中.本文中，筆者在前人工作的基礎(chǔ)上，在不依賴精確解和數(shù)值解的情況下,考慮固定溫度邊界條件下選擇二次函數(shù)近似時(shí),比較3種熱平衡積分的結(jié)果.

1 模型方程

單相冰融化問題的無量綱模型的數(shù)學(xué)描述如下[4]：

2 計(jì)算過程

假設(shè)溫度近似函數(shù)為[2]

2.1 傳統(tǒng)的熱平衡積分法(HBIM)

將(1)關(guān)于空間變量x積分，有

整理得

將(6)代入(8)，有

將(2)代入(9)，有

另由(6)與Stefan條件(2),得到

由(10)和(11)得到

2.2 改進(jìn)的熱平衡積分法(RIM)

將(1)關(guān)于空間變量積分2次，有

整理得替換的熱平衡積分方程

將(8)代入(15)，有

將(2),(6)代入(16)，有

由(11)與(17)得到(13)和下式：

2.3 替換的熱平衡積分法(ARIM)

將(6)代入(15)，有

由(11)和(19)得到(13)和下式：

3 結(jié)果比較

Langford[9]提出的用于估計(jì)近似解準(zhǔn)確性的函數(shù)為

將(6),(13)代入(21)，有

式(22)給出了e2的定義,即t＝1時(shí)近似解的誤差,易知e2只是β的函數(shù).依次將(12),(18),(20)代入(22)，并利用數(shù)學(xué)軟件Matlab，取β＝1：0.2：10計(jì)算誤差并作圖.

圖1 β取不同值時(shí)3種熱平衡積分e2的比較

圖1給出了3種積分方法近似解誤差隨β值變化的曲線.從圖1中可以看出，隨著β值的增大，即隨著Stefan數(shù)的減小，3種熱平衡積分所得近似解析解的誤差都在減小.也就是說，相變的速度越快，積分結(jié)果越準(zhǔn)確.對(duì)于固定溫度邊界條件下一維單相熱傳導(dǎo)問題，采用熱平衡積分法的誤差最小.

本文在簡(jiǎn)單情形下（即固定溫度邊界條件下）對(duì)3種熱平衡積分進(jìn)行了比較.在以后的工作中，可以用這種方法對(duì)復(fù)雜情形（例如隨時(shí)間變化溫度的邊界條件下）這3種熱平衡積分進(jìn)行比較.此外，本文還為比較熱傳導(dǎo)方程其他形式的近似解析解提供了思路.

[1]GOODMAN T R.The heat balance integral and its application to problems involving a change of phase[J].Trans ASME Journal of Heat Transfer,1958,80：335-342.

[2]WOOD A S.A new look at the heat balance integral method[J].Applied Mathematical Modeling,2001,25(10)：815-824.

[3]MITCHELL S L,MYERS T G.Application of standard and refined heat balance integral methods to one-dimensional Stefan problem[J].SIAM Review,2010,52(1)：57-86.

[4]MOSALLY F,WOOD A S,AL-FHAID A.On the convergence of the heat balance integral method[J].Applied Mathematical Modeling,2005,29(10)：903-912.

[5]徐湘田,令鋒.單相融化問題熱平衡積分細(xì)化解的收斂性[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,40(2)：128-131.

[6]徐湘田,令鋒.Neumann問題熱平衡積分法細(xì)化解的收斂性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010,27(2)：115-124.

[7]SADOUN N,SI-AHMED E,COLINET P.On the refined integral method for the one-phase Stefan problem with time-dependent boundary condition[J].Applied Mathematical Modeling,2006,30：531-544.

[8]SADOUN N,SI-AHMED E.A new analytical expression of the freezing constant in the Stefan problem with initial superheat[J]. Numer Meth Therm Probl,1995,9：843-854.

[9]LANGFORD D.The heat balance integral method[J].Int J Heat Mass Transfer,1973,16(12)：2 424-2 428.

[10]MYERS T G.Optimizing the exponent in the heat balance and refined integral methods[J].International Communications in Heat and Mass Transfer,2009,36：143-147.

[11]MYERS T G.Optimal exponent heat balance and refined integral methods applied to Stefan problems[J].International Journal of Heat and Mass Transfer,2010,53：1 119-1 127.

A Comparison of Three Integral Methods CHEN Ye1,2,LINGFeng2

(1.School of Science,InnerMongoliaUniversity of Technology,Hohhot,InnerMongolia 010051,China; 2.School of ComputerScience,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

The one-phase melting problem is solved by using conventional,refined and alternative refined heat balance integral method.The accuracy of the approximate solutions is compared requiring no knowledge of the exact solution.It is found that the conventional integral method is more accurate underthe constant temperature boundary condition than the refined and alternative refined integral method when using the quadratic function,andas the Stefannumberbecomes smaller,the errors of the integral methods become smaller.

Stefan problem;heat balance integral method;refined integral method;alternative refined integral method

O175.29

A

1009－8445（2010）05－0001－04

(責(zé)任編輯：陳靜)

2010－06－08

陳葉（1986－），女，河南許昌人，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)與肇慶學(xué)院聯(lián)合培養(yǎng)碩士研究生.