基于極值響應(yīng)面法的柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)

張春宜,白廣忱,向敬忠

(1.北京航空航天大學(xué) 推進(jìn)系,北京 100191;2.哈爾濱理工大學(xué) 機(jī)械動(dòng)力工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中,設(shè)計(jì)變量和參數(shù)具有隨機(jī)性,或約束中含有概率約束的優(yōu)化設(shè)計(jì),稱為概率優(yōu)化設(shè)計(jì)或可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)[1].目前,結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已經(jīng)比較成熟[2-4],機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究相對(duì)較少.因?yàn)闄C(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生不斷變化的慣性力,所以進(jìn)行可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),在每一時(shí)刻,把機(jī)構(gòu)看成瞬時(shí)結(jié)構(gòu),在此基礎(chǔ)上進(jìn)行可靠性分析和優(yōu)化設(shè)計(jì).顯然,這比結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)雜得多[5-11].

柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為二階微分代數(shù)混合方程組,具有嚴(yán)重非線性、強(qiáng)耦合以及時(shí)變等特點(diǎn),無(wú)法得到解析解,其可靠性分析極限狀態(tài)方程也無(wú)法表示為具體的解析形式[1],這使得以可靠性為約束或者以可靠性為目標(biāo)的柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)無(wú)法進(jìn)行.要解決這個(gè)問(wèn)題,必須首先解決柔性機(jī)構(gòu)可靠性分析分方法問(wèn)題.然現(xiàn)有的研究[12-14]只是停留在柔性機(jī)構(gòu)可靠性分析方法和柔性機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)上,柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究很少見(jiàn)到,只有于霖沖進(jìn)行了探索性研究[1].

本文在傳統(tǒng)方法進(jìn)行柔性機(jī)構(gòu)截面尺寸初步設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上,建立柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的通用均值模型(meanmodel).并對(duì)其進(jìn)行了實(shí)例仿真.

1 柔性機(jī)械可靠性分解

1.1 柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本方程

由柔性多體動(dòng)力學(xué)[15]可知,柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為式中：q(t)為廣義坐標(biāo),M為質(zhì)量矩陣,K為剛度矩陣,Qk(t)為驅(qū)動(dòng)力矩的廣義力,Ug為系統(tǒng)的重力勢(shì)能.

1.2 柔性機(jī)構(gòu)可靠性分析極值響應(yīng)面法的基本原理

在式(1)所示的柔性機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程中,將構(gòu)件材料的強(qiáng)度、彈性模量、密度、截面尺寸作為輸入隨機(jī)變量,并設(shè)其符合正態(tài)分布,用 MCM對(duì)輸入隨機(jī)變量抽樣,然后針對(duì)每組抽樣求解動(dòng)力學(xué)微分方程,得到與輸入樣本對(duì)應(yīng)的柔性機(jī)構(gòu)構(gòu)件在[0,T]時(shí)域內(nèi)的位移、速度、加速度響應(yīng),在此基礎(chǔ)上求出其在[0,T]時(shí)域內(nèi)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)撓度(或動(dòng)態(tài)應(yīng)力)響應(yīng).

設(shè)某構(gòu)件第 j組抽樣輸入樣本為 X(j)=[x(j)1x(j)2…… x(j)n]T,在[0,T]時(shí)域內(nèi)的輸出響應(yīng)為y(j)(t,X(j)),該響應(yīng)在[0,T]時(shí)域內(nèi)的最大值為y(j)max(X(j)).將不同輸入樣本在各自運(yùn)動(dòng)時(shí)域響應(yīng)的最大值 y(j)max(X(j))構(gòu)成的集合作為新的輸出響應(yīng),則各組輸入樣本 X(j)與由輸出響應(yīng)的最大值y(j)max(X(j))的集合構(gòu)成的新的響應(yīng)函數(shù)：

之間可以建立起函數(shù)關(guān)系：

這種函數(shù)關(guān)系叫做極值響應(yīng)面函數(shù).由極值響應(yīng)面函數(shù)確定的反應(yīng)輸入輸出關(guān)系的曲線稱之為極值響應(yīng)曲線.其中,Z+為正整數(shù).

1.3 柔性機(jī)構(gòu)可靠性分析極值響應(yīng)面法的數(shù)學(xué)模型

設(shè) X(j)為第 i構(gòu)件第 j個(gè)樣本點(diǎn)輸入隨機(jī)向量,為對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng),Bi為一次項(xiàng)系數(shù)向量,Ci為二次項(xiàng)系數(shù)矩陣,Ai為常數(shù)項(xiàng),構(gòu)造極值響應(yīng)面函數(shù)如下：

其中

式中：j=1,2……M;i=1,2…… n.M為樣本點(diǎn)數(shù);n為系統(tǒng)構(gòu)件數(shù);k為輸入隨機(jī)變量數(shù).

在求解極值響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)時(shí),先由 MCM小批量抽樣,對(duì)每組樣本在[0,T]時(shí)域內(nèi)用數(shù)值法求解動(dòng)力學(xué)微分方程,從中得到各組輸入樣本在[0,T]時(shí)域內(nèi)輸出響應(yīng)的極值點(diǎn),選取足夠樣本點(diǎn)數(shù)確定極值響應(yīng)面函數(shù)的系數(shù) Ai、Bi、Ci,得到極值響應(yīng)面函數(shù)的確切表達(dá)式.

2 柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)基本理論

2.1 設(shè)計(jì)基本思想

柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的難點(diǎn)在于其可靠性分析的極限狀態(tài)方程不能表示為具體的顯式形式.為了解決這個(gè)問(wèn)題,首先用傳統(tǒng)方法進(jìn)行柔性機(jī)構(gòu)截面尺寸的初步設(shè)計(jì).其次將模態(tài)綜合法與柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)相結(jié)合,建立柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)微分方程.然后用蒙特卡羅法抽取輸入?yún)?shù)隨機(jī)樣本,對(duì)每個(gè)抽樣求解動(dòng)力學(xué)微分方程,得到對(duì)應(yīng)的位移、速度、加速度在分析時(shí)域內(nèi)的動(dòng)態(tài)響應(yīng).在此基礎(chǔ)上求出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)撓度(或應(yīng)力)響應(yīng).將不同輸入樣本對(duì)應(yīng)的變形(或應(yīng)力)輸出響應(yīng)在分析時(shí)域內(nèi)的最大值的全體作為新的輸出(極值)響應(yīng),構(gòu)造極值響應(yīng)面函數(shù),并確定極值響應(yīng)面函數(shù)的系數(shù).對(duì)極值響應(yīng)面函數(shù)用一次二階矩法,將可靠性指標(biāo)表示為設(shè)計(jì)變量的函數(shù).以材料密度、彈性模量、許用剛度、構(gòu)件截面尺寸等為隨機(jī)變量,以可靠性指標(biāo)為約束函數(shù),以機(jī)構(gòu)質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù),以構(gòu)件截面尺寸均值為設(shè)計(jì)變量,建立柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的通用均值模型(mean model)并進(jìn)行優(yōu)化求解.由于柔性機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)相互耦合,一個(gè)構(gòu)件的尺寸變化會(huì)對(duì)其它構(gòu)件產(chǎn)生影響.所以優(yōu)化一般不可能一次達(dá)到目的,要循環(huán)幾次進(jìn)行優(yōu)化.在一次優(yōu)化完成后,進(jìn)行可靠性計(jì)算檢驗(yàn),如果可靠性不滿足要求(通常表現(xiàn)比設(shè)計(jì)要求的可靠性高)則要再次構(gòu)造極值響應(yīng)面函數(shù),進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),這一過(guò)程通常要進(jìn)行幾次,直到優(yōu)化設(shè)計(jì)后機(jī)構(gòu)的可靠性與設(shè)計(jì)值之差達(dá)到給定值為止.

2.2 柔性機(jī)構(gòu)構(gòu)件剛度可靠性分析數(shù)學(xué)模型

設(shè)第 i構(gòu)件截面尺寸為 xi1、xi2,長(zhǎng)度為 xi3,材料密度為 ρi,材料的彈性模量 Ei為隨機(jī)變量,且服從正態(tài)分布;由于相對(duì)各個(gè)構(gòu)件長(zhǎng)度均值而言,構(gòu)件長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)差非常小,因此可將長(zhǎng)度視為確定量.另外,在實(shí)際工程中,檢測(cè)變形是否滿足要求時(shí),檢測(cè)工具的制造存在誤差,測(cè)量過(guò)程中也存在誤差,所以每次測(cè)量值也是隨機(jī)變量.設(shè)第 i構(gòu)件許用撓度 RYi,且服從正態(tài)分布,在分析周期內(nèi)不考慮材料強(qiáng)度、密度、彈性模量等性能參數(shù)隨時(shí)間變化.由極值響應(yīng)函數(shù)(3)確定的構(gòu)件中點(diǎn)變形極值響應(yīng)為 yi,令 Zi=RYi-yi,做變換：

則第 i構(gòu)件的剛度可靠度為

2.3 柔性機(jī)構(gòu)剛度可靠性分析數(shù)學(xué)模型

由于機(jī)構(gòu)系統(tǒng)是串聯(lián)系統(tǒng),所以整個(gè)系統(tǒng)的剛度可靠度[16]為

式中：n為系統(tǒng)的構(gòu)件數(shù).

2.4 柔性機(jī)構(gòu)構(gòu)件剛度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

設(shè)第 i個(gè)構(gòu)件的剛度可靠性指標(biāo)為 βi.若按各構(gòu)件等可靠度原則,n個(gè)構(gòu)件中任一構(gòu)件的可靠度和可靠性指標(biāo)分別為

以可靠性指標(biāo)為約束函數(shù),以機(jī)構(gòu)質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù),以構(gòu)件截面尺寸為設(shè)計(jì)變量的柔性機(jī)構(gòu)構(gòu)件剛度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)均值模型[4]為

式中：gi[X(t)]=0為設(shè)計(jì)變量應(yīng)該滿足的其他等式約束;a、b為設(shè)計(jì)變量的上、下邊界.將相關(guān)各量用設(shè)計(jì)變量表示,得到以設(shè)計(jì)變量表示構(gòu)件中點(diǎn)最大變形表達(dá)式,對(duì)該式用一次二階矩法,求得用設(shè)計(jì)變量均值 μxj1、μxj2和方差 σxj1、σxj2,(σxj1=vxμxj1、σxj2=vxμxj2,vx為設(shè)計(jì)變量變異系數(shù))表示的構(gòu)件中點(diǎn)變形的均值 μyi和方差 σyi,將該均值和方差代入式(13),得到以設(shè)計(jì)變量均值表示的柔性機(jī)構(gòu)剛度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)均值模型,設(shè)計(jì)變量變異系數(shù) vx可根據(jù)構(gòu)件的加工精度公差要求和可靠性要求確定.

2.5 柔性機(jī)構(gòu)整體剛度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

以剛度可靠性指標(biāo)為約束函數(shù),以機(jī)構(gòu)質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù),以構(gòu)件截面尺寸均值為設(shè)計(jì)變量的柔性機(jī)構(gòu)剛度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)均值模型[4]為

用設(shè)計(jì)變量表示的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)均值模型的求解非常困難,無(wú)法得到解析式,須用數(shù)值法求解,以此最優(yōu)解作為該構(gòu)件的截面尺寸,則該構(gòu)件的質(zhì)量最小.對(duì)機(jī)構(gòu)中每個(gè)構(gòu)件進(jìn)行優(yōu)化,則機(jī)構(gòu)在滿足可靠性要求的條件下質(zhì)量最小.

3 算例分析

柔性機(jī)械臂的簡(jiǎn)化模型如圖1所示.設(shè)柔性機(jī)械臂的兩構(gòu)件為均質(zhì)歐拉梁,假定關(guān)節(jié)及臂端負(fù)載為集中質(zhì)量,不考慮電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和電機(jī)的阻尼.構(gòu)件 1在動(dòng)坐標(biāo)系 y1-x1中的縱坐標(biāo)為y1(t,x1)、橫坐標(biāo)為 x1;構(gòu)件 2在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 y2-x2中的縱坐標(biāo)為 y2(t,x2),橫坐標(biāo)為 x2,t為運(yùn)動(dòng)時(shí)間;動(dòng)坐標(biāo)系的橫坐標(biāo)在沿著各構(gòu)件兩端點(diǎn)的連線上,縱坐標(biāo)即為構(gòu)件的彈性變形.兩動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)由各自的方位角 θ1(t)、θ2(t)來(lái)描述.

圖1 雙連桿柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)圖Fig.1 Two-link flexible robotmanipulator

本例的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)結(jié)果如下[15]：兩構(gòu)件長(zhǎng)度為l1=0.75m,l2=0.75m;構(gòu)件 1、2端部分集中質(zhì)量m1=5.5 kg、m2=2.75 kg,,構(gòu)件 1、2驅(qū)動(dòng)力矩為 τ1(t)=215sin3(2πt)-62 N? m、τ2(t)=75sin3(2πt)+15N?m.優(yōu)化設(shè)計(jì)前,材料參數(shù)信息如表1,各構(gòu)件截面尺寸信息如表2.

將柔性機(jī)械臂的材料強(qiáng)度、彈性模量、密度、截面尺寸作為隨機(jī)變量,并設(shè)其符合正態(tài)分布,而且相互獨(dú)立.由于相對(duì)于長(zhǎng)度均值而言,長(zhǎng)度方差很小,所以本例將長(zhǎng)度視為確定量.現(xiàn)在要求在各構(gòu)件許用撓度均值為 0.018m,均差為 0.000 36 m時(shí)的可靠度為 0.954的情況下使得機(jī)構(gòu)的質(zhì)量最小,設(shè)計(jì)該柔性機(jī)械臂的截面尺寸.

表1 構(gòu)件 1和構(gòu)件 2的材料參數(shù)Table 1 Materia l parameters o f No.1and 2

表2 構(gòu)件 1和構(gòu)件 2的截面尺寸Table 2 Section sizes of No.1 and 2 m

設(shè)兩臂初始時(shí)刻均處于水平位置,且變形和速度為零,即 t=0時(shí),q(0)=0,?q(0)=0.求解本例構(gòu)件中點(diǎn)變形極值響應(yīng)面法函數(shù)時(shí),n=2,M=9,k=4,則

式中：E(j)i第 i構(gòu)件材料彈性模量的第 j次抽樣,ρ(j)i為第 i構(gòu)件材料密度的第 j次抽樣,h(j)i為第 i構(gòu)件截面高的第 j次抽樣,b(j)i為第 i構(gòu)件截面寬的第 j次抽樣.

以傳統(tǒng)設(shè)計(jì)尺寸為設(shè)計(jì)初值,根據(jù)構(gòu)件樣本點(diǎn)輸入隨機(jī)變量及變形輸出響應(yīng)的各組數(shù)據(jù)求得的構(gòu)件中點(diǎn)變形極值響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)如表3和表4,將求得的構(gòu)件中點(diǎn)變形極值響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)分別代入式(12),分別得到各構(gòu)件中點(diǎn)變形極值響應(yīng)面函數(shù)的具體表達(dá)式.對(duì)該表達(dá)式用一次二階矩法,將兩構(gòu)件中點(diǎn)變形極值響應(yīng)的均值和方差 μyi,σyi表示為設(shè)計(jì)變量 xi1、xi2(i=1,2)的函數(shù),鎖定截面積的長(zhǎng)寬比為 4∶1,代入式(13)(表達(dá)式冗長(zhǎng)不便寫(xiě)出)用數(shù)值法進(jìn)行優(yōu)化求解結(jié)果如表5.

表3 構(gòu)件 1的變形極值響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)Table 3 Coefficients in ERSF about deformation of No.1

表4 構(gòu)件 2的變形極值響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)Table 4 Coefficients in ERSF about deformation of No.2

表5 設(shè)計(jì)變量值比較Table 5 Design variables comparison cm

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在柔性機(jī)構(gòu)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與輸入隨機(jī)變量之間建立了比以往任何方法都簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系——極值響應(yīng)面函數(shù),并應(yīng)用于柔性機(jī)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì),本文實(shí)例中,機(jī)構(gòu)質(zhì)量比優(yōu)化前減少 8.23%.為了研究方便作了一些假設(shè).例如,假設(shè)各輸入隨機(jī)變量服從正態(tài)分布等.這會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)誤差,但是不影響方法的有效性.另外,本文只進(jìn)行了柔性機(jī)構(gòu)及其構(gòu)件尺寸的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì),沒(méi)有涉及可靠性分配優(yōu)化問(wèn)題.由于柔性機(jī)構(gòu)的失效主要是變形超過(guò)范圍失效,所以只進(jìn)行了柔性機(jī)構(gòu)剛度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)例計(jì)算,但是該思想和方法同樣適用于柔性機(jī)構(gòu)強(qiáng)度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì),也可以進(jìn)行柔性機(jī)構(gòu)強(qiáng)度可靠性與剛度可靠性綜合優(yōu)化設(shè)計(jì).

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