具有脈沖和時(shí)滯合作系統(tǒng)的正周期解存在性

劉燕，王全義

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

具有脈沖和時(shí)滯合作系統(tǒng)的正周期解存在性

劉燕，王全義

（華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

利用重合度理論和一些分析技巧，研究一類具有脈沖和時(shí)滯的合作系統(tǒng)，得到該系統(tǒng)存在正周期解的結(jié)果.結(jié)果表明，具有脈沖和時(shí)滯的合作系統(tǒng)，在滿足一定的充分條件，該系統(tǒng)至少存在一個(gè)正周期解.

時(shí)滯；脈沖；周期解；重合度理論

在種群生態(tài)學(xué)中，生物種群系統(tǒng)的持久性與正周期解的存在性一直受到許多學(xué)者的關(guān)注［1-4］.文［1］研究了種群時(shí)滯合作系統(tǒng)

的正周期解.同時(shí)，利用重合度理論，得到保證系統(tǒng)（1）至少存在一個(gè)周期正解的充分性條件.然而，對(duì)種群生態(tài)學(xué)而言，由于季節(jié)的變化，食物的供給及人為的捕放等原因的擾動(dòng)，生物種群會(huì)出現(xiàn)一些突發(fā)性的變化.此時(shí)，對(duì)生物種群的研究，應(yīng)該考慮由于擾動(dòng)而產(chǎn)生的脈沖效應(yīng).文［5］研究具有脈沖和常數(shù)時(shí)滯的捕食者-食餌系統(tǒng)的正周期解存在性問(wèn)題，但是對(duì)于具有脈沖和非常數(shù)時(shí)滯的生物系統(tǒng)周期解的存在性研究成果還很少.對(duì)于一類具有脈沖和時(shí)滯的合作系統(tǒng)，有

式中：r1（t），r2（t），α1（t），α2（t），K1（t），K2（t）均為正的ω-周期連續(xù)函數(shù)，αi（t）＞Ki（t），σ1（t），σ2（t），τ1（t），τ2（t）均為非負(fù)連續(xù)的周期函數(shù).bik＞-1且bik=bi（k+p），0＜t1＜t2＜…＜tk＜ω為一個(gè)周期內(nèi)的脈沖點(diǎn)，有tk+p=tk+ω；Ni（tk）=Ni（），且Ni（t），i=1，2；k=1，2，…存在.顯然，當(dāng)bik=0時(shí)，系統(tǒng)（2）的方程就化為系統(tǒng)（1）的方程.因此，系統(tǒng)（2）包含了系統(tǒng)（1）.本文利用重合度理論，研究系統(tǒng)（2）的正周期解的存在性問(wèn)題.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

首先，引入重合度理論及延拓定理［6］.假設(shè)X，Z為賦范向量空間，L∶DomL?X→Z為線性映射，N∶X→Z連續(xù)映射.如果dim KerL=co dim ImL＜+∞，且ImL為Z閉子集，則稱L為指標(biāo)為零的Fredholm映射.如果L為指標(biāo)為零的Fredholm映射，且存在連續(xù)投影P∶X→X，Q∶Y→Z，使得ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⊕KerP和Z=ImL⊕ImQ，則LP?L|DomL∩KerP∶DomL∩KerP→ImL可逆.記其逆映射為KP.設(shè)Ω為X中的有界開(kāi)集，若QN∶→Z與KP（I-Q）N∶→X都是緊的，則稱N在上是L-緊的.由于ImQ與KerL同構(gòu)，故存在同構(gòu)映射J∶ImQ→KerL.

引理1［6］設(shè)Ω?X為有界開(kāi)集，L為指標(biāo)為零的Fredholm映射，N在上是L-緊的.假設(shè)（1）對(duì)任意的λ∈（0，1），方程Lx=λNx的解滿足x??Ω；（2）對(duì)任意的x∈?Ω∩KerL，QNx≠0；（3）Brouwer度deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝≠0.那么，方程Lx=Nx在∩KerL內(nèi)至少存在一個(gè)解.

2 正周期解的存在性

定理1 在系統(tǒng)（2）中，若條件

成立，則系統(tǒng)（2）至少存在一個(gè)正的ω-周期解.

證明 作變換N1（t）=exp（u1（t）），N2（t）=exp（u2（t）），則系統(tǒng)（2）可化為

為了方便起見(jiàn)，記

由于

所以有

利用Lebesgue收斂定理，可以證明QNu和KP（I-Q）Nu是連續(xù)的；利用Arzela-Ascoli定理可以證明，對(duì)X中的任意有界開(kāi)子集Ω，QN（）及KP（I-Q）N（）分別是Z及X中的緊子集.

應(yīng)當(dāng)注意的是，由于t=tk（k=1，2，…，p）是QNu和KP（I-Q）Nu的第1類間斷點(diǎn)，故可在子區(qū)間上分別使用Arzela-Ascoli定理.因此，對(duì)于X中的任意有界開(kāi)子集Ω，N在上是L-緊的.

對(duì)應(yīng)于算子方程Lx=λNx，λ∈（0，1），有

設(shè)u=（u1（t），u2（t））T∈X是系統(tǒng)（4）對(duì)應(yīng)于某一λ∈（0，1）的解.將系統(tǒng)（4）的兩端從0到ω積分，可得

于是，有

由于αi（t）＞Ki（t）（i=1，2），由式（5），（6）可得

進(jìn)一步地，由式（4）～（8），可得

于是，由定理1的條件可知

從而有

另一方面，由式（5），（6）可知

因此，由定理1的條件可知

結(jié)合式（9），（10），（15），（16），有

令

顯然，正常數(shù)K與λ（λ∈（0，1））無(wú)關(guān).由上面的討論可知

假設(shè)u=（u1，u2）T∈R2，則從QNu的表達(dá)式得

考慮方程

類似于式（11），（12），（15），（16）的討論，可知方程（20）的任一解u＊=（u＊1，u＊2）T∈R2一定滿足

從而有

令Ω=｛u=（u1，u2）T∈X∶‖u‖＜K｝，則由式（19）可知，引理2中的條件（1）成立.當(dāng)u∈KerL∩?Ω時(shí)，u是R2中的常值向量且‖u‖=K，則由式（21）可知

即引理1中的條件（2）也滿足.取同構(gòu)映射J∶ImQ→KerL為

因此，有

定義同倫映射

上式中：（u1，u2）T∈∩KerL，η∈［0，1］.當(dāng)（u1，u2）T∈?Ω∩R2，η∈［0，1］時(shí)，φ（u1，u2，η）≠0.若不然，即當(dāng)（u1，u2）T∈?Ω∩R2時(shí)，有φ（u1，u2，η）=0.類似式（21）的證明，可得‖ui‖＜K，i=1，2.這與（u1，u2）T∈?Ω∩R2矛盾.因此，當(dāng)（u1，u2）T∈?Ω∩R2，η∈［0，1］時(shí)，φ（u1，u2，η）≠0.由正常數(shù)K的取法可知，φ（u1，u2，0）滿足引理2的條件.由重合度的同倫不變性及引理2，可得

這樣，引理1中的條件（3）也滿足.因此，系統(tǒng)（3）至少有一個(gè)ω-周期解，而系統(tǒng)（2）至少存在一個(gè)正的ω-周期解.

［1］LI Yong-kun.On a periodic mutualism model［J］.Australian＆New Zealand Industrial and Applied Mathematics Journal，2001，42（4）：569-580.

［2］LI Yong-kun.Positive periodic solutions for an integrodifferential model of mutualism［J］.Applied Mathematics Letters，2001，14（5）：525-530.

［3］汪東樹(shù)，王全義.一類具時(shí)滯和比率的擴(kuò)散系統(tǒng)的正周期解［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，27（4）：358-361.

［4］黃愛(ài)梅.一類種群時(shí)滯合作系統(tǒng)的持久性［J］.福州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，35（4）：499-501.

［4］CUI Jin-gan，CHEN Lan-sun.Global asymptoticstability in a nonautonomous cooperative system［J］.Systems Science and Mathematical Science，1993，6（1）：44-51.

［5］SUN Shu-lin，CHEN Lan-sun.Existence of positive periodic solution of an impulsive delay Logistic model［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，184（2）：617-623.

［6］GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin：Springer-Verlag，1977：40-60.

Existence of Positive Periodic Solutions for a Class of Mutualism Systems with Impulses and Delays

LIU Yan，WAN G Quan-yi
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，by means of some analysis techniques and the continuation theorem of coincidence degree theory，we study a class of mutualism systems with impulses and delays.The existence of positive periodic solutions for the systems is proved.The result expresses that，under some sufficient conditions，there exists at least a positive periodic solution for the system.

time delay；impulse；positive periodic solutions；coincidence degree theory

O 175.14

A

1000-5013（2010）06-0697-06

（責(zé)任編輯：陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

2008-10-17

王全義（1955-），男，教授，主要從事常微分方程和泛函微分方程的研究.E-mail：qywang@hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（Z0511026）