基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系空間直線度偏差評價

杜紅楓，陳曉航，王治忠，張乃方

（1.西安交通大學(xué) 科學(xué)與教育發(fā)展研究院，陜西 西安 710049；2.西安航天發(fā)動機(jī)有限公司，陜西 西安 710061）

0 引言

空間直線度偏差是指實(shí)際空間直線相對于理想空間直線的偏移變動量。在機(jī)械制造與檢測測量領(lǐng)域中，準(zhǔn)確評價空間直線度偏差具有重要意義。在大尺寸軸、孔類零件的生產(chǎn)和加工過程中，受加工設(shè)備、加工方式的影響使零件產(chǎn)生空間直線度偏差，會直接影響產(chǎn)品的性能、壽命和質(zhì)量。因此，建立一套符合直角坐標(biāo)系下的空間直線度偏差測量與評價方法十分必要。

在前期開展的研究中［1-4］，空間直線度偏差的定義與基本數(shù)學(xué)模型已被建立，為后續(xù)研究空間直線度偏差評價方法提供了良好的基礎(chǔ)。目前，空間直線度偏差評價方法分為幾何誤差建模方法和參數(shù)優(yōu)化方法兩類。

幾何誤差建模方法依靠誤差模型的空間幾何關(guān)系建立偏差評價模型。文獻(xiàn)［5］提出了一種空間直線度坐標(biāo)測量的不確定度計(jì)算方法，以保證空間直線度坐標(biāo)測量結(jié)果的完整性和有效性；文獻(xiàn)［6］和［7］分別基于最小二乘方法提出了改進(jìn)的空間直線度偏差評價模型，進(jìn)而提高測量與評價的正確性。幾何誤差建模方法適用于數(shù)據(jù)量不大的情況，但是由于誤差模型與測量結(jié)果直接相關(guān)，精確建模難度較大。為了降低建模難度，提高計(jì)算精度，文獻(xiàn)［8］提出了一種基于切比雪夫范數(shù)的空間直線擬合模型，以提高軸線的擬合精度；文獻(xiàn)［9］至［11］提出了不同的基于幾何關(guān)系優(yōu)化的空間直線度偏差線性逼近算法，在一定程度上提高了測量精度，但是計(jì)算效率有待提升。

參數(shù)優(yōu)化方法的原理是將測量結(jié)果作為最優(yōu)解進(jìn)行尋優(yōu)，本質(zhì)上屬于非線性優(yōu)化問題，適用于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)計(jì)算難以處理的求解過程。文獻(xiàn)［12］和［13］給出了基于遺傳算法的空間直線度誤差評定方法，遺傳算法可解決幾何優(yōu)化中存在的不足，但變量初始變化范圍及算法參數(shù)選取會在一定程度上影響結(jié)果的穩(wěn)定性。為了提高計(jì)算效率，一些學(xué)者利用智能優(yōu)化算法［14-15］處理測點(diǎn)擬合軸線的方向向量；也有一些學(xué)者研究了其它多目標(biāo)優(yōu)化算法，文獻(xiàn)［16］至［21］建立了空間直線度偏差計(jì)算模型，將非線性優(yōu)化問題線性化處理。由于數(shù)據(jù)處理過程中，優(yōu)化目標(biāo)和核心尋優(yōu)策略存在差異，導(dǎo)致參數(shù)優(yōu)化方法在一些實(shí)際應(yīng)用條件下計(jì)算效率較低。

為解決目前直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評價方法建模難度大的問題，提出了基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系空間直線度偏差評價方法。以直角坐標(biāo)系下空間直線度測量法為研究對象，建立了空間直線度偏差評價數(shù)學(xué)模型。著重研究了空間直線度偏差測量模型、基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差評價模型、基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小區(qū)域評價方法，依托模型點(diǎn)特征關(guān)系，高效、準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)系下的空間直線度偏差評價。最后利用三坐標(biāo)測量機(jī)開展測量實(shí)驗(yàn)，對該方法的可行性與準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 空間直線度測量模型與數(shù)學(xué)模型

1.1 直角坐標(biāo)系下空間直線度的測量模型

空間直線度偏差的測量模型由測量評價空間決定。截面測量法是圓柱體幾何量偏差最有效的測量評價空間模式［22］，本文提出的空間直線度偏差測量模型建立在截面測量法的基礎(chǔ)上。如圖1所示，直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差測量模型由采樣、定心、擬合、評價四個部分組成，最后通過軸線的控制位置獲得空間直線度偏差測量與評價的結(jié)果。

1）采樣：在測量空間中通過測量儀器獲得被測圓柱體具體形貌的過程被稱為采樣，通過采樣獲得被測圓柱體位置參數(shù)，使被測圓柱體以數(shù)字形式復(fù)現(xiàn)。

2）定心：截面測量法可獲得多個截面輪廓的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，將截面輪廓坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入數(shù)學(xué)模型，可計(jì)算得出截面中心位置。計(jì)算獲得多個截面輪廓中心，從而真實(shí)客觀地獲取多截面的共有軸線。

3）擬合：對多個測量截面中心進(jìn)行線性擬合，得到空間直線度偏差測量與評價基準(zhǔn)—圓柱體中心軸線。中心軸線是實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)，也是圓柱體位置校正的基準(zhǔn)線。

4）評價：在確定中心基準(zhǔn)軸線后，需要對圓柱體中心軸線空間位置進(jìn)行變換與投影。利用最小二乘法和最小區(qū)域法獲得包容軸線的圓柱半徑以對空間直線度偏差進(jìn)行評價。

1.2 直角坐標(biāo)系下空間直線度的數(shù)學(xué)模型

直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差的測量數(shù)據(jù)以笛卡爾坐標(biāo)數(shù)據(jù)為主，這類數(shù)據(jù)由符合笛卡爾坐標(biāo)系的測量儀器（如三坐標(biāo)測量機(jī)、坐標(biāo)投影儀等）獲得。根據(jù)直角坐標(biāo)系下的空間直線度偏差測量模型，將被測圓柱體放置于直角坐標(biāo)系內(nèi)。在圓柱體上沿軸向方向均勻選取測量截面S1，S2，…Si（所有測量截面S均與儀器測量坐標(biāo)系基準(zhǔn)測量平面平行），測量截面數(shù)N≥ 5，i= 1，2，3，…N。每個測量截面的測量點(diǎn)數(shù)M≥ 5，各個測量點(diǎn)的坐標(biāo)為Pij（xij，yij，zij），j= 1，2，3，…M。如果被測圓柱體零件軸向方向與Z軸平行，單一測量截面輪廓F（x，y）可表示為

F(x,y)=C1x2+C2y2+C3xy+x+C4y+C5（1）式中：C1，C2，C3，C4，C5為空間單一測量截面的輪廓系數(shù)。

為了降低計(jì)算誤差，將式（1）中x的系數(shù)設(shè)置為1。設(shè)置對稱矩陣A和B，根據(jù)單一測量截面的輪廓數(shù)據(jù)，利用最小二乘法計(jì)算截面輪廓系數(shù)。A和B的表達(dá)式為

則截面輪廓系數(shù)矩陣C為

其具體表達(dá)式為

當(dāng)獲得第i個截面輪廓系數(shù)C1i，C2i，C3i，C4i，C5i后，可得第i個測量截面中心坐標(biāo)Poi（xoi，yoi，zoi），其中

直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評價模型的基礎(chǔ)是確定中心軸線位置。在截面測量法中，需要對多個測量截面中心進(jìn)行空間擬合處理，從而獲得被測圓柱體的中心軸線。設(shè)圓柱體零件軸線的空間向量n=（m，n，1），x0和y0是空間軸線與XOY坐標(biāo)平面的交點(diǎn)P0（x0，y0，0）的坐標(biāo)，利用最小二乘法獲得被測圓柱體軸線的空間表達(dá)式為

將被測圓柱體的多個測量截面中心用軸線相關(guān)聯(lián)，可獲得測量空間中被測圓柱體的軸線，如圖2所示。

圖2 圓柱體空間軸線模型Fig.2 Model of spatial axis of cylinder

通過最小二乘法對多個測量截面中心進(jìn)行擬合，可獲得被測圓柱體軸線表達(dá)式為

1.3 直角坐標(biāo)系下測量空間中的統(tǒng)一

獲得了被測圓柱體的空間軸線后，需要對軸線及各個測量截面中心進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化。坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是將測量坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系統(tǒng)一，從而降低計(jì)算過程中產(chǎn)生的誤差，并提高模型計(jì)算效率。在直角坐標(biāo)系下，坐標(biāo)轉(zhuǎn)化包括坐標(biāo)的移動和轉(zhuǎn)動。為了滿足測量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的要求，以圖2中XOY坐標(biāo)平面作為基準(zhǔn)坐標(biāo)平面，由此獲得的旋轉(zhuǎn)與平移組合轉(zhuǎn)化矩陣TXOY為

式中：α，β分別為軸線繞直角坐標(biāo)系X軸，Y軸的旋轉(zhuǎn)角度，分別為坐標(biāo)沿X軸，Y軸的平移量。

測量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換完成后，需要根據(jù)基準(zhǔn)坐標(biāo)平面對測量坐標(biāo)值進(jìn)行平面投影。以XOY坐標(biāo)平面作為基準(zhǔn)坐標(biāo)平面，對應(yīng)的投影轉(zhuǎn)化矩陣為

2 空間直線度偏差評價模型

利用多個測量截面中心的空間測量坐標(biāo)在基準(zhǔn)坐標(biāo)平面的投影數(shù)據(jù)對空間直線度偏差進(jìn)行評價，即確定截面中心投影數(shù)據(jù)的包絡(luò)區(qū)域。符合最小條件的空間直線度偏差為包絡(luò)被測圓柱體測量截面中心的最小的圓柱直徑，即空間包絡(luò)被測圓柱體軸線的最小圓柱的直徑。

2.1 空間直線度偏差最小二乘評價模型

設(shè)各個測量截面中心點(diǎn)到軸線的距離為Loi，則最小二乘空間直線度偏差SDLS為

最小二乘空間直線度偏差評價模型由距離軸線最遠(yuǎn)的測量截面中心確定，即“1+0”模型，該模型在投影面的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 最小二乘空間直線度偏差評價模型Fig.3 Model of least square evaluation for spatial straightness deviation

“1 + 0”模型是指1個特征點(diǎn)必須在包絡(luò)所有測量截面中心的圓柱面投影輪廓上，即這個特征點(diǎn)距離軸線最遠(yuǎn)。另外，在具有直角坐標(biāo)系的測量儀器中，空間直線度偏差的測量應(yīng)盡量滿足“小偏差、小誤差”條件。假設(shè)測量誤差足夠小，且可以降低被測圓柱工件軸線的位置誤差，為了降低測量誤差對測量結(jié)果的影響，采樣點(diǎn)數(shù)量應(yīng)為偶數(shù)，且采樣點(diǎn)在測量路徑上應(yīng)等間隔分布。

2.2 空間直線度偏差最小區(qū)域評價模型

最小區(qū)域空間直線度偏差是符合最小條件評定要求的。按照最小條件評定空間直線度偏差的本質(zhì)是尋找最優(yōu)的被測圓柱體空間直線位置，進(jìn)而獲取Loi的最優(yōu)解。由于空間直線度偏差模型為單一包容輪廓模型，參考圓柱度偏差的最小區(qū)域評價模型，空間直線度偏差最小區(qū)域評價中包絡(luò)被測圓柱體軸線的輪廓由2個點(diǎn)、3個點(diǎn)或者4個點(diǎn)構(gòu)成，即“2 + 0”，“3 + 0”或者“4 + 0”模型，3種模型在投影面的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 最小區(qū)域空間直線度偏差評價模型Fig.4 Models of minimum zone evaluation for spatial straightness deviation

在圖4中，“2 + 0”，“3 + 0”，“4 + 0”模型分別指2個、3個、4個特征點(diǎn)必須在包絡(luò)所有測量截面中心的圓柱面投影輪廓上，且這2個點(diǎn)、3個點(diǎn)、4個點(diǎn)構(gòu)成的投影截面輪廓圓半徑R最小。三種模型均不存在內(nèi)包絡(luò)圓柱面，因此無內(nèi)包絡(luò)圓柱特征點(diǎn)，這與圓柱度偏差評價模型存在區(qū)別?！? + 0”模型是“3 + 0”模型的退化形式，“4 + 0”模型是“3 + 0”模型的進(jìn)化形式，三種模型中形成的包絡(luò)截面輪廓的最小外接圓直徑即為最小區(qū)域空間直線度偏差SDMZ，其表達(dá)式為

3 基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小區(qū)域評價

基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小區(qū)域評價建立在空間直線度偏差最小二乘評價的基礎(chǔ)上?；邳c(diǎn)特征的最小區(qū)域評價由最小二乘評價模型演化而來。首先將被測圓柱的空間軸線和各個測量截面中心進(jìn)行空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，之后以圓柱體軸線作為投影軸對測量截面中心進(jìn)行投影，然后利用最小二乘方法獲得投影測量數(shù)據(jù)的軸心位置，并完成數(shù)據(jù)的初始處理。

在測量坐標(biāo)系投影面上，通過投影點(diǎn)獲得被測圓柱體最小二乘中心軸線投影點(diǎn)Op后，以O(shè)p點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)對各測量點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行平移，獲得各點(diǎn)坐標(biāo)值P'oi（x'oi，y'oi），然后依據(jù)各測點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建空間直線度偏差最小區(qū)域評價模型。具體步驟為：

1）在投影平面內(nèi)，從P'oi中找出距離Op最遠(yuǎn)的采樣點(diǎn)M1（xM1，yM1），以及距離M1最遠(yuǎn)的點(diǎn)M2（xM2，yM2）。

2）由M1，M2通過弦線截交關(guān)系中心V1（xV1，yV1）。由式（13）計(jì)算P'oi到V1（xV1，yV1）的距離，搜尋距離V1最遠(yuǎn)的點(diǎn)M3（xM3，yM3）。

若|V1M3| ≤ |V1M1|，則M1，M2為“2 + 0”模型的特征點(diǎn)，空間直線度的偏差為2|V1M1|；若|V1M3| >|V1M1|，則M1，M3繼續(xù)通過虛擬中心迭代。

3）當(dāng)M1，M2，M3迭 代 不 發(fā) 生 變 化 時，M1，M2，M3為“3 + 0”模型的特征點(diǎn)。通過3個點(diǎn)計(jì)算特征圓的圓心V2（xV2，yV2）的坐標(biāo)為

4）計(jì)算P'oi到V2的距離，搜尋距離V2最遠(yuǎn)的點(diǎn)M4（xM4，yM4）。若|V2M4| ≤ |V2M1|，M1，M2，M3構(gòu)成“3 + 0”模型，空間直線度偏差為2|V2M1|；若|V2M4| > |V2M1|，M1，M2，M4繼通過3個點(diǎn)計(jì)算特征圓的圓心進(jìn)行迭代。

5）當(dāng)M1，M2，M4迭代不發(fā)生變化時，M1，M2，M3，M4為“4 + 0”模型的特征點(diǎn)。通過四點(diǎn)計(jì)算特征圓的圓心V3，空間直線度偏差為2|V3M1|。由于空間坐標(biāo)的特殊性，“4 + 0”模型實(shí)質(zhì)是“3 + 0”模型的進(jìn)化形式。

4 空間直線度偏差測量與評價的實(shí)驗(yàn)測試與驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評價方法的有效性，結(jié)合實(shí)際測量件對研究內(nèi)容進(jìn)行驗(yàn)證。測量對象為柴油內(nèi)燃機(jī)活塞頭部（缸內(nèi)導(dǎo)引面），需根據(jù)實(shí)測數(shù)據(jù)獲得活塞頭部形狀與輪廓誤差。利用HEXAGON Global Class SR 575型三坐標(biāo)測量機(jī)來測量和評價活塞活頭部5 ~ 25 mm處的直線度偏差，要求空間直線度偏差控制在0.05 mm以內(nèi)，測量截面采樣點(diǎn)數(shù)為400，測量截面數(shù)量為11個。實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.5 Experimental setup

實(shí)驗(yàn)中，三坐標(biāo)測量機(jī)的最大允許誤差（MPEp）為2.3 μm，定位可重復(fù)性為0.5 μm，實(shí)驗(yàn)室溫度條件為20 ℃。三坐標(biāo)測量機(jī)測頭分別對被測活塞頭部圓柱面測量5次，測量結(jié)果如表1所示。由測量結(jié)果中可知：最小二乘空間直線度偏差為0.0276 mm，最小區(qū)域空間直線度偏差為0.0246 mm；被測活塞頭部軸線的X，Y方向向量接近于0，說明Z軸方向向量為1，證明坐標(biāo)軸之間的誤差很??；最大測量相對誤差為1.5 μm，并且空間直線度偏差均小于0.05 mm符合要求，證明了基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系空間直線度偏差評價方法的有效性與準(zhǔn)確性。

表1 活塞頭部空間直線度偏差測量結(jié)果Tab.1 Measurement results of spatial straightness deviation of the piston head mm

5 結(jié)論

在分析現(xiàn)有空間直線度偏差評價方法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了基于點(diǎn)特征的直角坐標(biāo)系下空間直線度偏差評價方法。根據(jù)評價模型的點(diǎn)特征關(guān)系，建立了直角坐標(biāo)系下最小區(qū)域空間直線度偏差評價方法。重點(diǎn)研究了空間直線度偏差測量的數(shù)學(xué)模型，以及基于點(diǎn)特征的空間直線度偏差最小二乘和最小區(qū)域評價模型，有效降低了評價過程中的建模復(fù)雜度，提升了運(yùn)算效率。該方法可廣泛應(yīng)用于直角坐標(biāo)系下圓柱體類零件的空間誤差測量領(lǐng)域，對于控制圓柱體類部件的加工質(zhì)量具有重要意義。