數(shù)學(xué)競賽解題中的局部調(diào)整策略

●吳國建 (東陽中學(xué) 浙江東陽 322100)

所謂局部調(diào)整，又稱逐步調(diào)整，是指對某些涉及多個可變對象的數(shù)學(xué)問題，可以先固定其中一個或幾個對象，然后對其余的對象作調(diào)整，得出初步結(jié)果;并根據(jù)需要再作若干次局部調(diào)整，不斷縮小范圍，促進問題逐步明朗直至最終解決.

運用局部調(diào)整策略可以解決多元函數(shù)最值問題;證明某些多元不等式;解決與運動變換有關(guān)的幾何問題;解決與操作有關(guān)的組合問題等.

本文擬通過具體例子闡述局部調(diào)整策略在解數(shù)學(xué)競賽題中的應(yīng)用.

1 運用局部調(diào)整策略求最值問題

根據(jù)最大(小)值的定義，可以對已知條件中的最值進行如下的逐步調(diào)整：

當(dāng)然，還有其他一些調(diào)整步驟.它們往往可以借助特殊數(shù)據(jù)的試驗獲得.

例1 已知若干個正整數(shù)的和為1 976，求其乘積的最大值.

分析通過特殊數(shù)據(jù)的例子，發(fā)現(xiàn)使乘積不減的調(diào)整辦法是本題求解的關(guān)鍵.例如：2+2+2=3+3，而2×2×2＜3×3;7=2+5，而7＜2×5;以及1×a＜(a+1).

解首先和為1 976的正整數(shù)組只有有限個，于是必有一個正整數(shù)組使其積達到最大.不妨設(shè)這個正整數(shù)組為(x1，x2，…，xn)，則

此時，它們的積為P=x1x2…xn.可以運用如下幾個調(diào)整步驟，使P取得最大值：

(1)調(diào)整1：當(dāng)某個xi≥4時，可將xi換作2個數(shù)2和 xi-2.調(diào)整后得到的新數(shù)組：(x1，x2，…，xi-1，xi-2，2，xi+1，…，xn)的 P 值不減(因為2(xi-2)=2xi-4≥0).

(2)調(diào)整2：當(dāng)某個xi=1時，任取數(shù)組中的一個xj，將1和xj合并為一個新數(shù)(1+xj)以取代xj，調(diào)整后得到的新數(shù)組的P值也增加(因為1×xj＜1+xj).

(3)調(diào)整3：數(shù)組中等于2的xi的個數(shù)應(yīng)不多于2個.若有xi=xj=xk=2，則可將3個數(shù)2換成2個數(shù)3，調(diào)整后得到的新數(shù)組的P值也會增加(因為2×2×2＜3×3).

綜上所述，當(dāng)諸數(shù)的積取得最大值時，xi全為2或3，且2的個數(shù)應(yīng)不多于2個，注意到1 976=658×3+2，所以P≤3658×2.

其實，本題中的1 976可改為任意自然數(shù)n，結(jié)論為：當(dāng)n=3k時，最大值為3k;當(dāng)n=3k+1時，最大值為4×3k-1;當(dāng)n=3k+2時，最大值為2×3k.

分析通過上述調(diào)整步驟，將所求的問題轉(zhuǎn)化為可以利用一般結(jié)論的問題.

評注局部調(diào)整是解決多元最值問題的通法.其基本思想是：首先凍結(jié)若干個變量，對其余變量進行調(diào)整——放縮變換;然后再凍結(jié)、再調(diào)整、直到求出最值;并檢驗最值是可以取到的.

2 運用局部調(diào)整策略證明不等式

證明一個比較復(fù)雜的不等式，可以先考察此不等式在何時能取得等號，并據(jù)此對多元變量進行調(diào)整，以逐步靠攏取等號值時的狀態(tài).

證明由 a，b，c，d＞0，知原不等式等價于

多次運用這種調(diào)整，得

這里假定要調(diào)整的2個數(shù)滿足如上預(yù)設(shè)的條件.

例4 設(shè)a，b，c是三角形的3條邊長，且a+b+c=1.若 n≥2，證明：

證明因為 a，b，c是三角形的3條邊長，且a+b+c=1，所以

由不等式的對稱性，不妨設(shè)a≥b≥c＞0，則

下證在三角形的三邊a≥b≥c＞0的條件下，有

事實上，對于 x≥y＞0，n≥2，n∈N*，有

這是由于

綜上所述

評注從本質(zhì)來說，局部調(diào)整策略是縮小原理的一種運用形式.本例中的調(diào)整法是證明不等式在中間點和邊界點取到等號的常用辦法，但它均區(qū)別于磨光變換.事實上，磨光變換是一個無限次調(diào)整的極限過程.

3 運用局部調(diào)整策略解幾何問題

只要能找到合適的調(diào)整步驟，某些幾何問題就可運用局部調(diào)整策略來求解.

例5 (等周問題)在周長一定的三角形中，怎樣的三角形面積最大?

分析三邊之和為定值，而三角形面積可用一邊與高的關(guān)系或用兩邊夾角的形式來表達，因此將其中一邊固定也許是解決問題的有效辦法.

解考查△ABC，設(shè)AB+BC+CA=l(定值).先暫時固定點B，C，即固定邊BC的長.這時AB+AC=l-BC也是定值，此時S△ABC可看作點A的函數(shù).考查等高線，相應(yīng)的等高線是與邊BC平行的直線，而點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，如圖1.使S△ABC為最大的點A應(yīng)是與橢圓相切的等高線的切點，即是該橢圓短軸的一個端點，從而AB=AC.根據(jù)對稱性，同樣調(diào)整可得，要使 S△ABC為最大，必須AB=BC=CA，即△ABC應(yīng)是等邊三角形.

評注從本例的解答過程中還可得到：

(1)一邊及其對角一定的三角形，以已知邊為底邊的等腰三角形面積最大;

(2)一邊確定，另兩邊之和為定值的三角形，以已知邊為底邊的等腰三角形面積最大.

類似地，可證明如下一系列命題：(1)在圓內(nèi)接三角形中，面積最大的是等邊三角形;(2)周長為定值，面積最大的n邊形必是等邊凸(正)n邊形;(3)在圓內(nèi)接n邊形中，面積最大的是正n邊形;(4)周長為定值，面積最大的四邊形是正方形.以上問題就是幾何中著名的等周問題.

圖1

圖2

例6 已知△ABC的3個內(nèi)角∠A＞∠B＞∠C，在△ABC內(nèi)(包括邊界)找一點P，使到3條邊距離之和為：(1)最大;(2)最小.

解如圖2，作△ABC內(nèi)任意一點P，到3條邊的距離分別為 PD，PE，PF.先將 PD固定，即點 P只在線段B'C'上變動(B'C'∥BC).當(dāng)點P在B'C'上變動時，PE+PF的最大值與最小值分別在B'C'的端點 C'和 B'處達到.作 B'M⊥AC，C'N⊥AB，則

由題設(shè)得 AB'＜AC'，于是

這說明當(dāng)點P在B'C'上變動時，使PD+PE+PF達到最小值的點是B'，達到最大值的點是C'.因此當(dāng)點P在△ABC內(nèi)部變動時，最小值點只需在AB上找，最大值點只需在AC上找.而當(dāng)點P在AB上變動時，由于∠A＞∠B，因此點A便是最小值點;當(dāng)P點在AC上變動時，由于∠A＞∠C，因此點C便是最大值點.

評注此例可根據(jù)海倫公式并利用重要不等式通過解析法求解，但運用局部調(diào)整策略卻有意想不到的簡明效果.

4 運用局部調(diào)整策略解組合問題

要運用局部調(diào)整策略解題，關(guān)鍵是要有調(diào)整的方向與步驟.某個組合題能否用局部調(diào)整策略來解，當(dāng)然也是這樣的標(biāo)準(zhǔn).

例7 m，n∈N*，在m×n的方格表中填進mn個不完全為0的實數(shù)，把具有公共邊的兩格稱為相鄰的格.我們把其中某相鄰兩格的數(shù)同時加上一個相等的實數(shù)，稱為一次變動.試問：具有何種性質(zhì)的初始數(shù)值的方格表，使經(jīng)過有限次變動后，能將表中的數(shù)全部變?yōu)?，證明你的結(jié)論.

分析在每一次變動的過程中，相鄰兩格的數(shù)同時增加一個相等的實數(shù)，即兩者的差保持不變.這就提醒我們，可將方格劃分為奇偶格，并在變換中尋找其中的不變量.讀者可利用2×3的方格表先做試驗!

解把方格表中的小方格黑白相間地染色，則每次變動總在一個黑格與一個白格內(nèi)進行.設(shè)黑格內(nèi)的數(shù)的總和為M，白格內(nèi)的數(shù)的總和為N，令S=M-N.顯然，每經(jīng)過一次變動，M與N均同時加上一個實數(shù)，因此S是保持不變的一個常量.若能經(jīng)過有限次變動使各數(shù)都變?yōu)?，則這個常量應(yīng)為S=0，故能全變?yōu)?的必要條件是S=0.

下面證明，這個條件也是充分的，即若S=0，則總可以經(jīng)過有限次變動，使得表格中的各數(shù)全變?yōu)?.

事實上，只要依一種選定的方式變動就可以了.譬如：設(shè)這個表從上往下數(shù)，依次稱為第1行，第2行，…，第m行.把第1行與第2行同列的格配對，組成相鄰的兩格，則總可以把第1行的數(shù)全變?yōu)?;然后由第2、第3行，又可以把第2行的數(shù)全變?yōu)?;重復(fù)m-1次，就可以把前面的m-1行全變?yōu)?.故只要考慮最后一行，即1×n數(shù)表就可以了.由S在變動過程中的不變性，可知這時仍有S=0.

設(shè)從左往右數(shù)，依次稱為第1格，第2格，…，第n格，把1，2兩格配對，總可以將第1格的數(shù)變?yōu)?;然后將第2，3格配對，又可以把第2格變?yōu)?，重復(fù)n-1次，就可以將前面的n-1格變?yōu)?，設(shè)余下的第n格的數(shù)為x，則由S=0的不變性知x=0，即這時全部的數(shù)都變?yōu)?.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)初始數(shù)表具有S=MN=0的性質(zhì)，才能經(jīng)過有限次變動，使表格中數(shù)全變?yōu)?.

例8 證明：平面上任意n(n≥2)個點，總可以被某些不相交的圓蓋住，這些圓的直徑之和大于n-a+1，且每2個圓之間的距離大于a，這里0＜a＜1.

分析存在性問題的證明可以先構(gòu)造.本題可以先作一些圓蓋住所有點，然后對這些圓進行調(diào)整，使這些圓相互間不相交.

作第1次調(diào)整：使蓋住n個點的各圓不相交，且直徑之和不增加，方法是：對每2個相交的半徑為r1，r2的圓，用一個半徑不大于r1+r2且能包含這2個圓的新圓來代替.在有2個圓相交的情況下，將一直這樣做下去，直到各個圓都不相交為止.使得此時共有k(1≤k≤n)個互不相交的圓蓋住n個點.不管是原來的單個圓，還是因相交合并起來的圓，所有原給定點距離這個圓的邊界都不小于r.

評注先摒棄一些條件作一個接近的結(jié)果，再在此基礎(chǔ)上“得寸進尺”，以滿足全部條件，是局部調(diào)整策略的精華所在.