簡述幾何不等式、幾何最值與幾何變換的問題

●毛幼娥 (柯巖中學(xué) 浙江紹興 312030)

平面圖形中的幾何量包含線段長度、角的大小及圖形的面積.每類幾何量之間除了有相等關(guān)系之外，多數(shù)情況下呈現(xiàn)的是不等關(guān)系.研究這些不等關(guān)系就構(gòu)成了幾何不等式的內(nèi)容.一種圖形中的幾何量若在某約束條件下它的值在一定范圍內(nèi)變化，人們很自然地會提出什么時候這個量最大(或最小)的問題，這類問題與幾何不等式有著密切的聯(lián)系，被稱為幾何最值問題.本文就初中數(shù)學(xué)知識范圍內(nèi)討論上述問題.

1 幾何不等式與幾何變換

幾何不等式主要有線段不等式、角的不等式以及面積不等式.以下是幾個經(jīng)常被用到的定理.

定理1 (三角形不等式)若A，B，C為任意3個點，則AB≤AC+CB.當且僅當點C位于線段AB上時，等號成立.

定理2 在三角形中，大角(邊)對大邊(角).

定理3 在2對邊對應(yīng)相等的2個三角形中，夾角(第3邊)大的第3邊(夾角)大.

定理4 三角形一邊上的中線小于另兩邊和的一半.

定理5 由定直線l外一點P到直線l上的點的連接線段之長，以點P到定直線l的垂線段的距離為最短.

證明幾何不等式，需要添作輔助線，常與幾何變換密切相關(guān).

例1 在△ABC中，∠B=2∠C，求證：AC ＜2AB.

證明如圖1所示，延長CB到點D，使BD=AB.連結(jié)AD，則在△ABC中，∠ADB=∠DAB，因此

圖1

于是∠C=∠D，故AC=AD.在△ABD中，

但AB=BD，于是

說明 通過幾何圖形的變換——可看作是一種旋轉(zhuǎn)變換，把線段BA繞著點B轉(zhuǎn)過∠ABC的補角，把要比較的線段與角相對集中.借助幾何變換證明幾何不等式，是一條重要的解題思路.

推廣題在△ABC中，∠ABC=n∠BCA(n為大于1的自然數(shù))，則AC＜nAB.

變式題如圖2，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)一點，∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC.

例2 在2條對角線長度及夾角一定的所有凸四邊形中，試求周長最小的四邊形.

圖2

分析如圖 3，取 AC，BD的中點E，F(xiàn)，連結(jié)EF.將AC沿EF方向平移到A'C'，連結(jié)A'B，BC'，C'D，DA'，則 A'BC'D 是一個符合條件的平行四邊形.延長AF，CC'交于點 G.由點 E是AC 的中點，且 EF∥CC'，F(xiàn)C'∥EC，可得 F，C'分別為 AG，CG 的中點，因此

圖3

同理可得

相加得

故當四邊形為長度一定的對角線夾角為己知定角的平行四邊形時，周長最小.

說明 輔助線雖多，但站在幾何圖形變換的角度，就很清楚了.

例3 如圖 4，已知∠MON=20°，點 A為 OM 上一點，OA=4 3，D為ON上一點，OD=8，C為射線AM上任意一點，B是線段OD上任意一點.求證：折線 ABCD的長AB+BC+CD≥12.

證明以O(shè)M為軸，作點D關(guān)于OM的對稱點D1，連結(jié) OD1，則∠MOD1=20°.又作點 A 關(guān)于 ON的對稱點 A1，連結(jié) OA1，則∠A1ON=20°，因此∠A1OD1=60°.連結(jié) A1D1，A1B，CD1，則

圖4

所以A1，D1為定點，因此連結(jié)定點A1，D1間的折線以線段A1D1為最短，從而

可以用同一法證明△A1OD1是直角三角形，因此

說明 本題是通過另一種幾何變換——軸對稱變換把折線“化直”，利用兩定點間線段最短來證明的.需要注意的是：通過軸對稱變換后，折線與線段比較時，折線與線段的2個公共端點必須是定點，這樣才能確定這線段之長是個定值.

變式題設(shè)∠MON=20°，A為 OM上一點，OA=4;D為ON上一點，OD=8.試在AM上找一點C，在OD上找一點B，使得AB+BC+CD的長度最小.請確定點B，C的位置，并求出AB+BC+CD的長度的最小值.

雖然問題形式改變了，但實質(zhì)內(nèi)容是一樣的.可見，不等式問題與極值問題有著緊密的聯(lián)系.

例4 求證：任意三角形的3個內(nèi)角平分線的乘積必小于3條邊的乘積.

證明設(shè) a，b，c為△ABC的3 條邊，ta，tb，tc為△ABC 的 3 個內(nèi)角的平分線.如圖5，作△ABC的外接圓與∠A的平分線AD的延長線相交于點E，則

圖5

3式相乘得

說明 本題可看作由圓生成的一些等角得來的相似變換解題.

2 幾何極值問題與幾何不等式

例5 已知A，B兩村在河流MN的同側(cè)，現(xiàn)需在河流MN邊建一抽水站，同時為A，B兩村供應(yīng)自來水，請問抽水站應(yīng)建在什么地方，使得到A，B兩村的水管最短.

分析本例的求解也是借助于軸對稱變換!

如圖6，要使A，B兩村的水管最短，關(guān)鍵是要在MN上找到點P，使得AP+BP有最小值，直接找點 P顯然有困難，因此需要對這個問題進行轉(zhuǎn)換.由“連結(jié)對稱點的線段被對稱軸垂直平分”和“線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點距離相等”可知，點B和它關(guān)于河流MN的對稱點B'到抽水站點P的距離相等，因此討論AP+BP的最小值問題轉(zhuǎn)化為求AP+B'P的最小值問題.顯然，A，B'之間線段最短，于是連結(jié)AB'，與MN相交于點P，點P就是建抽水站點.

圖6

變式題如圖7，正方形的邊長為8，點M在DC上，且DM=2，N是 AC上的一動點，則DN+MN 的最小值為_______(也要借助于軸對稱變換來添線引路).

圖7

圖8

例6 設(shè)A，B兩鎮(zhèn)分別在河R的兩岸，假定河R各處的寬度是相等的，現(xiàn)在想在河上垂直于河岸建一座橋.問橋應(yīng)該修在什么地方，才能使從A鎮(zhèn)經(jīng)過橋到B鎮(zhèn)的總路程最短?

分析本例是借助平移變換來解決問題的.

由于河R的寬度一定，橋又垂直于河岸，因此可設(shè)橋長為定值d.假設(shè)河岸為2條平行直線m，n，設(shè)橋架在CD處，則要使BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短.假想點B和直線m所在的半平面向下平移距離d，這時直線m與n重合，點C與點D重合，點B到了點B1的位置，于是只需B1D+DA最小即可.但兩點之間以線段最短，所以點D應(yīng)是AB1與直線n的交點，于是橋的位置即可作出了.

作法 如圖8，把點B向下平移距離d到點B1，連結(jié)AB1，交直線n于點D.過點D作直線n的垂線交直線m于點C，連結(jié)BC，則CD即為橋的位置，且使得BC+CD+DA最短.

證明設(shè)在另外的地點垂直于河岸架橋C1D1，連結(jié) BC1，B1D1，D1A，則 BB1∥C1D1，因此BB1D1C1為平行四邊形，于是BC1=B1D1.由B1D1+D1A ＞B1A，得

因此橋CD的確為所求(使BC+CD+DA最短)的位置.

說明 一般地，若要求證的不等式以“≤”或“≥”的形式出現(xiàn)，則尋求等號成立的幾何條件就會得到相應(yīng)的幾何極值.

例7 在凸四邊形ABCD中，AB+AC+CD=16(如圖9)，問：當對角線AC，BD為何值時，四邊形ABCD面積最大?最大值是多少?

(第九屆華杯賽總決賽筆試初二組一試試題)

解設(shè) AB=x，AC=y，則

圖9

當且僅當∠BAC=∠ACD=90°及y=8時，兩處都取到等號.故當y=8 時，S四邊形ABCD的最大面積為32.

當 S四邊形ABCD取到最大面積時，凸四邊形 ABCD如圖10所示.由∠BAC= ∠ACD=90°，AC=8，根據(jù)勾股定理得BD=8.

圖10

例8 在△ABC中，最大角小于120°.試在△ABC內(nèi)取一點P，使得點P到3個頂點距離之和PA+PB+PC為最小.

解設(shè)P為△ABC內(nèi)任一點，把△ABP繞點B作逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，點P轉(zhuǎn)到點P'，點A轉(zhuǎn)到點A'(如圖11).因為

所以△BPP'是正三角形，于是

又因為A'，C都是定點，所以A'C是PA+PB+PC的最小值.當且僅當點 C，P，P'，A'共線時，取到等號.而在點 C，P，P'，A'共線時，

因此點P是以BC為弦、含120°角的位于三角形ABC內(nèi)的弓形弧與以AB為弦、含120°角的位于三角形ABC內(nèi)的弓形弧的交點.這個點就是著名的費馬點.

反過來，若點P是費馬點，則

因此點 C，P，P'共線.同理可得

于是點 A，P'，P 共線，因此點 A'，P'，P，C 共線.故點P一定是PA+PB+PC取得最小值的點.

說明 本例借助旋轉(zhuǎn)變換，把匯聚于一點的3條線段PA，PB，PC，轉(zhuǎn)化為1條折線CPP'A'!

圖11 圖12

變式如圖12，已知點O是△ABC內(nèi)一點，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC內(nèi)任一點，求證：PA+PB+PC≥OA+OB+OC.

［1］ 周春荔.數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識培養(yǎng)與智力開發(fā)［M］.北京：首都師范大學(xué)出版社，2000.