數(shù)學(xué)高考中歸納與類比思想方法掃描

●丁國先 (杭州高級中學(xué) 浙江杭州 310003)

在合情推理中，歸納與類比思想方法是培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的基礎(chǔ)，高考對這一思想方法的考查情有獨(dú)鐘，反映了命題者深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對學(xué)生數(shù)學(xué)能力要求的理解.同時這類考題既能考查學(xué)生課本知識的掌握程度，也在一定程度上反映學(xué)生思維創(chuàng)新能力的強(qiáng)弱.學(xué)生學(xué)習(xí)了歸納與類比并有所認(rèn)識后，在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時，就會將等比數(shù)列與等差數(shù)列從學(xué)習(xí)的目的性、研究的方法、類型、知識體系等方面進(jìn)行歸納與類比，產(chǎn)生遷移，正確地分辨出等差、等比數(shù)列的異同點(diǎn)，從而真正地理解等比數(shù)列.

1 平衡型歸納與類比

平衡型歸納與類比是指已知對象A1，A2，A3，A4，歸納得出A5或A6，或已知2個對象 A，B所處的地位平等，由A所具有的性質(zhì)類比得出B所具有的性質(zhì)，這類題在高考中屬于容易題，得分情況較好.從題型上表現(xiàn)為從有限到有限的歸納與類比或?qū)ε际綒w納與類比等.

1.1 從有限到有限的歸納與類比

例1 觀察下列等式：1+2=3，1+2+33=62，13+23+33+43=102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第5個等式為_______.33233

(2010年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析1 根據(jù)已知的3個有關(guān)正整數(shù)的等式的外部結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，第5個等式的左邊是

而右邊是一個完全平方數(shù)，因此可以計算左邊

所以第5個等式為分析2 仔細(xì)觀察已知的3個有關(guān)正整數(shù)的等式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知根據(jù)上述規(guī)律和第4，5個等式分別為

因此第5個等式為

例2 5位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第1位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第2位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前2位同學(xué)所報出的數(shù)之和;②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手1次.已知甲同學(xué)第1個報數(shù)，當(dāng)5位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為_______.

(2009年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析設(shè)報到第n個數(shù)為an.首先歸納出甲開始依次循環(huán)報數(shù) 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…中3的倍數(shù)是周期出現(xiàn)的，a4m為3的倍數(shù)(m∈N*)，而甲同學(xué)報的數(shù)為a5t+1(t∈N)，所以當(dāng)5位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時甲同學(xué)報的數(shù)中是 3 的倍數(shù)的有 a16，a36，a56，a76，a96，故甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為5.

例3 給出下列等式，觀察領(lǐng)會其特點(diǎn)，并填空：

(2009年福建廈門適應(yīng)性考試試題改編)

分析首先理解領(lǐng)會4個等式的含義，仔細(xì)觀察、推敲、歸納，等式的一個共同特征是把一個正整數(shù)n分解為連續(xù)的若干個正整數(shù)的和，類比這4個等式，可以寫出70的3種分解方法為：

1.2 對偶式歸納與類比

在高中數(shù)學(xué)中對偶表現(xiàn)形式較多，譬如指數(shù)與對數(shù)、導(dǎo)數(shù)與積分、等差與等比數(shù)列、不等式與方程等，因此對偶式的歸納與類比在高考及各類考試中也經(jīng)常出現(xiàn).

例4 觀察表1已知的部分內(nèi)容，填空：

表1 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)

例5 在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19，n∈N+)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若 b9=1，則有等式________成立.

(2010年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

答案：b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n ＜2k-1，n∈N*).

1.3 從圖像到圖像的歸納與類比

例6 如圖1，對于函數(shù)f(x)=x2(x＞0)上任意2 個點(diǎn) A(a，a2)，B(b，b2)，連結(jié)線段 AB，則 AB必在的上方.設(shè)點(diǎn)C分的比為 λ(λ ＞0)，則由點(diǎn) C在點(diǎn) C'上方可得不等式請分析函數(shù)y=lnx(x＞0)的圖像，類比上述不等式可以得到的不等式是 .

圖1 圖2

2 遞進(jìn)型歸納與類比

遞進(jìn)型歸納與類比是指已知對象A1，A2，A3，A4，歸納得出An，或已知2個對象A，B所處的地位不平等，由A所具有的性質(zhì)類比得出B所具有的性質(zhì).與平衡型歸納與類比相比較，遞進(jìn)型歸納與類比的結(jié)果具有一般的屬性或從低級別的情形類比發(fā)展到高級別的情形.從辨證的角度講，平衡型歸納與類比是量的變化，而遞進(jìn)型歸納與類比已是質(zhì)的飛越.因此在高考中遞進(jìn)型歸納與類比考查更普遍，這類題在高考中屬于中檔題，得分情況一般.

2.1 特殊到一般的歸納

例7 設(shè) n≥2，n∈N，且

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查了合情推理，利用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理，屬容易題.考生只需要對已知T2，T3，T4，T5的表達(dá)式進(jìn)行結(jié)構(gòu)上的歸納與類比，不難得到當(dāng)n≥2時，與此題相仿的是2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題.

多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算，以能力立意的數(shù)學(xué)高考試題不斷推出一些思路開闊、情境新穎脫俗的創(chuàng)新題型，將數(shù)學(xué)知識、方法和原理融于一體，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價值.浙江省連續(xù)2年考查此類題型，既說明對課程新增內(nèi)容考查力度不減，又體現(xiàn)命題者對合情推理——發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的青睞.

2.2 從平面到空間的類比

例8 在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)△ABC的2條邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的3個側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則_______”.

(2003年全國數(shù)學(xué)高考文科試題)

例9 在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·cos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3個側(cè)面面積與其中2個側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.

(2004年上海市春季招生數(shù)學(xué)高考試題)分析 根據(jù)類比猜想可得

其中θ為側(cè)面ABB1A1與BCC1B1所成的二面角的平面角.作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF，則∠DFE為面ABB1A1與面BCC1B1所成的角在△DEF中，由余弦定理

類比是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉，因此在平時的教學(xué)與復(fù)習(xí)中更要注意類比思想方法的學(xué)習(xí).求解類比推理問題的關(guān)鍵在于確定類比物，建立類比項(xiàng)，同時要求對數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)算、推理過程等進(jìn)行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等高度尋求內(nèi)在的類比關(guān)聯(lián)性.

2.3 方法與策略的歸納與類比

例10 請先閱讀：在等式cos2x=2cosx-1(x∈R)的2邊求導(dǎo)，得

由求導(dǎo)法則得

(2)對于正整數(shù)n≥3，求證：

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題改編)

分析數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教“知識”，更重要的是教“思考”，強(qiáng)調(diào)類比思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用有其實(shí)際意義，將變大量的記憶為聯(lián)想型思維，變機(jī)械枯燥的數(shù)學(xué)為演繹快樂的數(shù)學(xué)，對幫助學(xué)生減輕負(fù)擔(dān)、提高效率、培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)與人文精神十分有益.本題體現(xiàn)了類比解題思想方法與策略，容易激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情，獲得成功感.

(1)類比已知的解題方法，在等式

兩邊對x求導(dǎo)，得

移項(xiàng)可知

(2)①在第(1)小題所得等式中令x=-1，則

②類比第(1)小題中的思想方法，對等式

2邊再求導(dǎo)，得

3 綜合型歸納與類比

在高考中常有一種新題型，它以高中教材知識為背景，定義一個新的概念、規(guī)定一種新的運(yùn)算、引申一個新的命題，讓考生利用已有知識為基礎(chǔ)，經(jīng)過對學(xué)過知識的歸納總結(jié)，通過類比，分析并解決新概念、新運(yùn)算、新命題所形成的問題.這類考題難度大，思維品質(zhì)要求高，得分較困難.

例11 定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為_______，這個數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計算公式為_______.

(2004年北京市數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題以“等和數(shù)列”為載體，解決本題的關(guān)鍵是課本中所學(xué)的等差數(shù)列的有關(guān)知識及其獲得這些知識的數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ).考生通過對等差數(shù)列概念類比，研究等差數(shù)列性質(zhì)的方法歸納與類比，對題中等和數(shù)列概念與性質(zhì)也就容易理解與掌握了.由等和數(shù)列的定義得

2式相減得(方法類比)：

又 a1=2，公和為5，則 a2=3，因此

(2002年上海市數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題“新的規(guī)定(x∈R，m 是正整數(shù))”是組合數(shù)(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣，目的是考查考生對相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的類比運(yùn)用以及創(chuàng)新思維能力.

(1)根據(jù)新規(guī)定直接進(jìn)行演算即可：

(3)需要就x與m的大小作出邏輯劃分并進(jìn)行嚴(yán)密地論證.

當(dāng)x≥m時，x，m都是正整數(shù)，Cmn就是組合數(shù)，結(jié)論顯然成立;

數(shù)學(xué)中的合情推理多種多樣，其中歸納推理和類比推理是2種用途最廣的合情推理.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要有意識地培養(yǎng)和發(fā)展合情推理，經(jīng)常開展操作、實(shí)驗(yàn)、觀察等數(shù)學(xué)活動，讓合情推理能力的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.將歸納與類比引入數(shù)學(xué)新概念的教學(xué)，可使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延;將歸納與類比法用于定理、法則的教學(xué)，可加深對定理法則的理解和記憶，使所學(xué)知識系統(tǒng)化;將歸納與類比用于尋找解題思路是一條提高學(xué)生思維能力的有效途徑，在課堂上要有意識地引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用類比方法去探索、獲取新知識，從而達(dá)到提高學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力的目的.