避免和優(yōu)化分類(lèi)討論的幾種技巧

●華騰飛 (黃灣中學(xué) 安徽靈璧 234213)

分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種重要的解題策略.可是由于分類(lèi)討論過(guò)程一般較為冗長(zhǎng)，敘述繁瑣，并且還容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.因而在歷年的各地高考試題中，它不僅經(jīng)常出現(xiàn)在基礎(chǔ)性很強(qiáng)的選擇題、填空題中，而且更多的是滲透在綜合性的解答題中，是高考中難度比較大的一類(lèi)考題.下面結(jié)合實(shí)例談?wù)劚苊夂蛢?yōu)化分類(lèi)討論的幾種技巧，這不僅可以使解題過(guò)程大為簡(jiǎn)化，而且還可以提高解題速度和解答的正確率.

1 巧用性質(zhì)

例1 設(shè)定義在［-4，4］上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，4］上單調(diào)遞增，若 f(2-a)＜f(a)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.

分析由f(x)的定義域?yàn)椋?4，4］，得a，2-a∈［-4，4］.但 2-a，a 在［-4，0］，［0，4］的哪一個(gè)區(qū)間內(nèi)需要進(jìn)行討論.如果巧用“若f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)=f(|x|)”這一性質(zhì)，那么可避免大規(guī)模的討論，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

解由f(x)是偶函數(shù)，得

由 f(a-2)＜f(a)，得

又當(dāng) x∈［0，4］時(shí)，f(x)遞增，因此

例2 已知方程x2+x+k=0的2個(gè)根為α，β，且|α -β|=3，求實(shí)數(shù) k.

分析實(shí)系數(shù)一元二次方程的2個(gè)根可能均為實(shí)根，也可能為一對(duì)共軛虛根，無(wú)論哪種情形，總有|α -β|2=|(α -β)2|.利用這一性質(zhì)可以避開(kāi)討論，從而使運(yùn)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化.

解據(jù)題意，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知

由已知|α -β|=3，得

分析若分a＞0，a＜0，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸與給定的區(qū)間3種位置關(guān)系，則要分6種情形進(jìn)行討論，非常繁瑣.如果注意到“二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線頂點(diǎn)處取得”，那么可以使討論過(guò)程大大優(yōu)化.

2 活用法則

例4 設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，求證：

若用a1及公比q表示Sn，則必須分q=1和q≠1進(jìn)行討論.若緊緊抓住等比數(shù)列前n項(xiàng)和的隱含定義Sn+1=a1+qSn，則可避免討論，優(yōu)化解題過(guò)程.

簡(jiǎn)證 因?yàn)?/p>

故原命題得證.

例5 設(shè) 0＜x＜1，a＞0且 a≠1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.

分析比較大小的常用方法是作差比較或作商比較.本題若直接采用作差比較，則需要考慮底數(shù)a＞1，0＜a＜1這2種情況進(jìn)行，很繁瑣;若用作商比較再結(jié)合換底公式，則可避開(kāi)討論.下面的解法則更令人拍手叫絕.

又由 a＞0，a≠1，得 loga(1-x)與 loga(1-x2)同號(hào).因?yàn)?/p>

3 整體換元

據(jù)條件(1)知，t為實(shí)數(shù)，且1 ＜t≤6，則

綜上所述，z=1 ±3i，或 z=3 ±i.

4 整體變形

這不僅要對(duì)m=0和m≠0進(jìn)行分類(lèi)討論，而且還要求出tanα的2個(gè)值，十分復(fù)雜.若將待證式進(jìn)行整體變形，則大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

5 巧設(shè)方程

例8 直線l過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)，并且與拋物線相交于點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：4x1x2=p2.

分析若直接設(shè)直線l的點(diǎn)斜式方程，則必須單獨(dú)討論直線l與x軸垂直的情況.若巧設(shè)直線l的方程為x=my+n，則可避免討論，直達(dá)彼岸.

分析由題設(shè)條件不能確定焦點(diǎn)在哪條軸上，因此可避免討論，設(shè)橢圓方程為Ax2+By2=1(A＞0，B ＞0).

設(shè)點(diǎn) P，Q 的坐標(biāo)分別為 P(x1，x1+1)，Q(x2，x2+1)，則

將式(1)，式(2)代入式(3)，得

將式(1)，式(2)代入式(5)，得

5A2+5B2+26AB-16A-16B=0. (6)將式(4)代入式(6)，解得

評(píng)注橢圓方程Ax2+By2=1同時(shí)表示了焦點(diǎn)在x軸、y軸上的2種形式，用待定系數(shù)法求方程時(shí)較為簡(jiǎn)便.另外，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)所在的軸不易確定時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程也可用Ax2+By2=1來(lái)表示.若設(shè)直線方程，則不應(yīng)設(shè)為y=k(x+x0)，而應(yīng)設(shè)為ky=x+x0，因?yàn)檫@樣可以避免討論k存在和不存在這2種情況.

例10 求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，一條漸近線是3x+2y=0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(8，6)的雙曲線方程.

分析由于題設(shè)未明確給出焦點(diǎn)的位置，若設(shè)2個(gè)雙曲線方程(實(shí)軸在x軸或y軸上)，利用待定系數(shù)求解過(guò)繁;若先由點(diǎn)P及漸近線的位置確定焦點(diǎn)位置，則可簡(jiǎn)化解題過(guò)程，但不如直接利用共軛雙曲線系方程求解更優(yōu).

故所求的橢圓方程為

6 分離參數(shù)

例11 已知不等式cos2θ+2msinθ-2m-2＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)θ恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

則由|sinθ|≤1知，應(yīng)對(duì)m分3種情況進(jìn)行討論，相當(dāng)繁瑣.若采用分離參數(shù)的方法，把已知不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，則可簡(jiǎn)單、快速地獲解.

解原不等式等價(jià)于

7 消去參數(shù)

例12 設(shè) 0＜x＜1，a＞0且 a≠1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.

分析若按常規(guī)方法考慮去絕對(duì)值符號(hào)，則應(yīng)分a＞1與0＜a＜1這2種情況進(jìn)行討論，很繁瑣;若注意到2個(gè)對(duì)數(shù)同底，用作商比較法，則可用換底公式消去參數(shù)a，避開(kāi)討論.

8 數(shù)形結(jié)合

例13 設(shè) a，b是2個(gè)實(shí)數(shù)，A={(x，y)|x=n，y=na+b，n 是整數(shù)}，B={(x，y)|x=m，y=3m2+15，m 是整數(shù)}，C={(x，y)|x2+y2≤144}，是直角平面xOy內(nèi)的點(diǎn)集合，是否存在 a和 b使得：(1)A∩B≠φ;(2)(a，b)∈C 同時(shí)成立?

分析由條件(1)可取na+b=3n2+15，即

把該式看成關(guān)于未知數(shù)a，b的二元一次方程，它在直角坐標(biāo)平面aOb內(nèi)表示一條直線，于是由

構(gòu)成的關(guān)系式組是否有實(shí)數(shù)解，取決于直線xa+b-(3x2+15)=0與圓x2+y2=144的位置關(guān)系.

解如圖1所示，動(dòng)點(diǎn)(a，b)在直線l上，直線l：nx+y-(3x2+15)=0與圓 x2+y2=144應(yīng)有公共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線l的距離

且因?yàn)閚是整數(shù)，上式等號(hào)不成立.故同時(shí)滿足條件(1)，(2)的 a，b不存在.

圖1

9 正難則反

例14 已知f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，其中至少有一個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析根據(jù)題意，直接用分類(lèi)討論求解，有3種可能的情形，而原問(wèn)題的反面只有1種情形“2個(gè)交點(diǎn)都不在x軸的負(fù)半軸上”，若抓住反面求解，則會(huì)非常簡(jiǎn)捷.

解設(shè)2個(gè)交點(diǎn) A(x1，0)，B(x2，0)都不在 x軸的負(fù)半軸上，則

10 反客為主

例15 設(shè)k為實(shí)數(shù)，試求出關(guān)于x的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0的實(shí)根范圍.

解把原方程整理為k的二次方程k2+2(1-x2)k+(x4-3)=0且k為實(shí)數(shù)，得

評(píng)注若把x看作主元，令x2=t進(jìn)行換元，再對(duì)k進(jìn)行分類(lèi)討論，則很難獲解.

11 補(bǔ)集分析

例16 如果二次函數(shù)y=mx2+(m-3)x+1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求m的取值范圍.

解先考慮二次函數(shù)圖像與x軸的2個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)的情況，即一元二次方程mx2+(m-3)x+1=0有2個(gè)負(fù)根，可得

故當(dāng)m≥9時(shí)，2個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè).

上述解集的補(bǔ)集為m＜9，但Δ≥0與m≠0是必須同時(shí)滿足的條件，故二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)的條件為：m≤1且m≠0.

評(píng)注上述方法是從反面進(jìn)行思考，而前提條件是Δ≥0及m≠0，在采用這種方法時(shí)極易被忽視，希望能夠引起大家足夠的重視.

12 巧用對(duì)稱(chēng)

故f(x)為偶函數(shù).

當(dāng) x＞0時(shí)，2x＞1，即1-2x＜0，故有f(x) ＜0;據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x＜0時(shí)，亦有f(x)＜0;故當(dāng) x≠0時(shí)，恒有 f(x)＜0，即

評(píng)注利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和奇函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性，常能使所求解的問(wèn)題避免復(fù)雜的討論.

總之，對(duì)于一個(gè)具體的問(wèn)題，是否需要討論，以什么作為標(biāo)準(zhǔn)去討論，要根據(jù)題目所給條件及要求去確定.若能采用等價(jià)轉(zhuǎn)換、整體構(gòu)造、換元等有效措施，結(jié)合定義、性質(zhì)和直觀圖形，優(yōu)化和避免分類(lèi)討論，則將會(huì)使人們的思維進(jìn)入一個(gè)嶄新的境界.