數(shù)控曲面切割路徑生成算法研究

劉 恒

LIU Heng

（柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，柳州 545006）

0 引言

在機械加工領(lǐng)域中，對復(fù)雜曲面的自由加工是一個非常常見且重要的工作。目前常見的CAD加工過程，基本都是將復(fù)雜曲面進行細化，用B-spline曲面或NURBS曲面進行近似等價。然而在這種等價過程中，由于現(xiàn)實曲面的復(fù)雜性，難以選取到非常合適的參數(shù)化曲面進行近似等價。尤其是對于一些非常復(fù)雜的加工模型，其本身的曲面構(gòu)造過程就存在一定的間隙或者連通縫隙。如果通過調(diào)整加工刀頭進行加工修正，則又無法保證加工效率和加工產(chǎn)品質(zhì)量的一致性。由于CAD所生成的數(shù)控數(shù)據(jù)則通常會影響產(chǎn)品的質(zhì)量，所以本文選擇曲面切割模型來解決上述問題。

曲面切割的基本原理是通過反復(fù)劃分原始多體面（如三角網(wǎng)格）來生成一個平滑的曲面。曲面切割的優(yōu)點之一是它僅用單個曲面片就能夠表示復(fù)雜的形狀，因此對于復(fù)雜的形狀，曲面切割基本上不需要多曲面片進行構(gòu)造或者進行微調(diào)。除此之外，曲面切割還具有一定的連續(xù)性，如在曲面的任何位置幾乎都存在曲面的連續(xù)性。但是在CAD/CAM中，曲面切割的應(yīng)用卻不這么廣泛，為此，本文針對曲面切割設(shè)計一種有效的數(shù)控路徑生成算法，該算法應(yīng)該具備較高的自動性和快速性。本文曲面切割以Loop曲面為研究對象，它的域是三角網(wǎng)格。切割路徑的基本思想生成分兩個步驟：曲面粗切割階段和曲面精密切割階段。首先生成粗篩網(wǎng)進行粗切割，然后，再生成精密覆蓋網(wǎng)進行精細切割。最后進行干擾檢測和誤差修改加工，以使加工的產(chǎn)品質(zhì)量符合加工要求。

1 復(fù)雜切割曲面分析

1.1 Loop曲面切割

Loop根據(jù)Box-spline與平行四邊形網(wǎng)格的遞推關(guān)系，提出了建立在三向Box-spline的基礎(chǔ)上的曲面切割方案，該方案所劃分的曲面除非規(guī)則點外是C2連續(xù)的，非規(guī)則點是指那些鄰接頂點數(shù)量不是六的頂點，鄰接頂點達到六個稱為正規(guī)頂點。通過下面兩個步驟，Loop方案可以應(yīng)用于任意三角網(wǎng)格：

1）三角形的每個邊劃分成兩個邊；

2）三角形的每個角劃分成四個角。

通過上述兩個步驟，舊點（也稱為偶點）被移到新的位置，而新點則被嵌入三角網(wǎng)的邊中，這些新點稱為奇點，奇點和偶點的位置可通過Loop曲面切割規(guī)則計算獲得。對于網(wǎng)內(nèi)的奇偶點（內(nèi)頂點）和邊界的奇偶點，共有四種規(guī)則。通過無限劃分原始三角網(wǎng)（控制網(wǎng)或者控制多邊形），聚合成平滑曲面（極限曲面）。在此過程中，控制網(wǎng)的頂點接近其在極限曲面上的位置，而其在極限曲面上的位置通過簡單的計算就可以得到，而不需要使用類似劃分規(guī)則的方程式進行計算。除此之外，點極限位置處極限曲面的切向矢量和法向矢量也可以通過計算得到。

1.2 Z-map模型

Z-map模型是離散非參數(shù)曲面的一種特殊表示形式，該模型柵格點的高度存儲在一個二維矩陣中，就如圖1所示。Z-map模型廣泛地應(yīng)用于數(shù)控切割路徑生成應(yīng)用中，柵格點坐標(biāo)的表示方法如下所示：

圖1 Z-map模型中柵格點表示形式

首先將曲面切割轉(zhuǎn)換成Z-map模型，其目的是生成數(shù)控切割路徑。在Z-map模型取樣過程中，將經(jīng)過柵格點且于z軸平行的直線與曲面相交獲得柵格點的z值，然后沿著平行于x（或y）軸的柵格線以便切刀與Z-map曲面接觸，這樣就生成了切割曲線。

2 粗切割路徑的生成

為了消除大量的噪聲，可以用平頭銑刀層層切割工件，這稱作截面切削，這在之前的研究中已有所采用。截面切削沿著粗曲面進行，切割層的厚度由所選工具的參數(shù)決定。粗切割曲面應(yīng)使用一定數(shù)量的縫隙（切割容差）將曲面切割封閉，而且也應(yīng)盡可能簡單以便實現(xiàn)快速計算，一種直接的方法就是使用粗篩網(wǎng)作為粗切割曲面，但粗篩網(wǎng)通常不能滿足非過切條件，因此需要將粗篩網(wǎng)轉(zhuǎn)換成能夠近似滿足非過切條件的網(wǎng)，將其稱為覆蓋網(wǎng)。

2.1 覆蓋網(wǎng)生成

圖2 二維情況下粗篩網(wǎng)生成覆蓋網(wǎng)示意圖

圖2是說明了二維情況下粗篩網(wǎng)生成覆蓋網(wǎng)的基本原理。首先將位于曲面下的頂點移動到曲面之上（如圖2下半部分），其目的是解決過切問題。由于存在切割容差（cutting-allowance），曲面下頂點的新位置偏移了其極限位置。通過這種方法，就可以生成位于曲面之上的覆蓋網(wǎng)。

但在三維情況下，覆蓋網(wǎng)的生成過程就不是如此之簡單，盡管所有的頂點都位于曲面之上，但極限曲面的部分區(qū)域可能還會出現(xiàn)在網(wǎng)格上，曲面的網(wǎng)上部分可以通過確認控制網(wǎng)的凸出部分得以實現(xiàn)。為了解決這個問題，本文使用參數(shù)化方法計算極限曲面上的點，就和普通的參數(shù)化曲面一樣：首先計算圖3中兩個三角面間邊上的點，然后判斷采樣點是否位于兩個鄰接三角形的下面，當(dāng)部分點位于鄰接三角形之上時，找到其中的最高點，并計算到被計算邊的距離頂點的新位置通過方程1得到：

圖3 三維情況下粗篩網(wǎng)生成覆蓋網(wǎng)示意圖

δ是切割容差，N是頂點的方差。由于無法計算邊界曲線上的點，因此插入δ因子。盡管此方法對覆蓋網(wǎng)并不精確，但它依舊是一種可用的實現(xiàn)粗切割的方法。當(dāng)然，也可以在曲面切割和覆蓋網(wǎng)之間使用交點檢查。

2.2 粗切割曲面的Z-map模型及參數(shù)計算

通過Z-map取樣為覆蓋網(wǎng)生成一個Z-map模型，以作為粗切割曲面。在Z-map模型中，將粗切割曲面的柵格周期設(shè)置成切割容差ν的一半，這可以由使用者指定：

式中R是切割工具的半徑。

粗切割的最后一個步驟是計算每個薄片的CL（切割位置）數(shù)據(jù)，用于加工控制器輸出。生成覆蓋網(wǎng)的Z-map模型之后，垂直于z軸進行層層切割。對x（或y）為常數(shù)的柵格線，取樣Z-map模型來定義折線，找到切面和折線之間的相交點，所有這些交點就是CC（切割觸點），然后通過R偏移計算CL點，最后將CL點連接起來，就計算出了數(shù)控切割路徑。對所有的柵格線和所有的切平面重復(fù)上述過程，以生成所有的粗切割數(shù)控切割路徑。

3 精細切割路徑生成及干擾去除

對于精密切割，首先曲面劃分控制網(wǎng)以最大程度地逼近極限曲面。劃分次數(shù)由給定的容差確定，該容差將在后面描述，然后計算精密切割的CL數(shù)據(jù)，偏移CC數(shù)據(jù)，連接CL數(shù)據(jù)，最后生成CL路徑。

3.1 Z-map模型的精密切割的劃分?jǐn)?shù)量及切割方法

為了確定劃分?jǐn)?shù)量，將當(dāng)前曲面劃分網(wǎng)的頂點到極限位置的距離 和期望容差 進行比較，曲面切割直至滿足下述條件：

τ是曲面折線段的方差，ρ是近似曲率半徑。

Z-map柵格周期由切割容差最小值和步長周期中的最小值決定：

γ是精密切割中Z-map模型的柵格周期，ν是精密切割的切割容差，λmin是步長。在本文的具體實現(xiàn)中，將γ設(shè)置為x軸和y軸方向的柵格周期。

3.2 精密切割的CL數(shù)據(jù)計算

在通過Z-map取樣確定CC點之后，與該CC點相應(yīng)的CL點可以通過方程式5.4計算得到：

其中rCL是CL點的位置，rCC是CC點的位置， R是球頭銑刀的半徑，NCC是外向標(biāo)準(zhǔn)矢量/法向矢量，a是工具軸向的單位矢量，也即三軸向加工的（0,0,1）。為了計算NCC的數(shù)值，首先確定三角形三個頂點的標(biāo)準(zhǔn)矢量，然后NCC就可以被三角形三個頂點的標(biāo)準(zhǔn)矢量通過交叉點的重心坐標(biāo)確定。

3.3 切割過程中的干擾檢測和修正

選擇一組合適切割工具的時候，那些不能被所選工具中任何一個切刀加工的區(qū)域必須作為干擾區(qū)域檢測出來,本文在不進行過切割的情況下研究這些干擾區(qū)。干擾區(qū)可能會由于切刀尺寸過大而出現(xiàn)，特別是凹陷區(qū)。

為了檢測到未切割區(qū)域，需要計算每個CC點的曲率,頂點的曲率半徑能夠通過G進行計算。如果CC點位于三角網(wǎng)的角的內(nèi)部，首先計算曲面切割三角頂點的曲率半徑，然后三角內(nèi)CC點曲率半徑可以依據(jù)重心坐標(biāo)確定。首先比較切割觸點處和工具庫中工具的曲率半徑，然后選擇那些工具半徑小于所有切割觸點處曲率半徑的工具，滿足工具只接觸到目標(biāo)曲面。如果工具庫中沒有滿足上述條件的工具，將其看作是清除路徑生成問題。

4 實驗測試

表1 粗切割參數(shù)

表2 精密切割參數(shù)

本文使用軟件開發(fā)平臺是WindowsXP操作系統(tǒng)和Vusual C++ 6.0，計算機配置為Intel 雙核2.2GHz，內(nèi)存為2GB。在測試中，假設(shè)曲面切割的最終容差是0.01mm。在粗切割中，使用M1網(wǎng)（劃分一次）生成覆蓋網(wǎng)，相關(guān)參數(shù)在表1中。在實現(xiàn)中，粗切割產(chǎn)生12個切割薄片，精切割使用M3網(wǎng)（劃分三次）。使用上述數(shù)控數(shù)據(jù)，本文進行了一次加工實驗，加工結(jié)果表明本文設(shè)計的粗加工和精細加工過程能夠得到比較精細的加工效果，即使是對一些自然景物等復(fù)雜造型也能較高質(zhì)量地完成加工效果。

5 結(jié)束語

本文引入了包含粗切割和精密切割在內(nèi)的路徑規(guī)劃算法，對Loop曲面切割的三軸數(shù)控切割路徑生成使用Z-map模型。在粗切割中，本文提出一種覆蓋網(wǎng)的生成方法，覆蓋網(wǎng)在一定容差允許范圍內(nèi)封閉了最終曲面。在精密切割過程中，使用一種更平滑的曲面生成精密切割路徑。在這兩個過程中，依據(jù)工具參數(shù)和切割容差決定Z-map柵格周期。另外本文還針對切割路徑提出一種檢測和修正方法，這主要是為了克服本地干擾（過切割和未切割）。最后的實驗結(jié)果表明本文提出的算法和方法是有效的，這些方法也可以應(yīng)用于除了Loop曲面切割之外的其它曲面切割。

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