節(jié)理巖體變形分析與計算模型探討

武 軍

1 巖體簡化模型

工程巖體是被不連續(xù)面切割的天然地質體。工程巖體的計算模式可以被歸納為四種。當不連續(xù)面的影響很小時,巖體宏觀上表現為均質、各向同(異)性特征,可以采用連續(xù)介質力學模型。當巖體被一條或多條主要不連續(xù)面切割,可能產生分離與滑移等非線性效應時,宏觀上仍可按均質、各向同(異)性處理,并需考慮主要不連續(xù)面的影響。當巖體中存在大量致密且呈規(guī)律/隨機分布的不連續(xù)面時,巖體位移場是準連續(xù)的,可以采用“等效”連續(xù)介質力學模型。若巖體被多組不連續(xù)面切割,形成一個由有限巖塊組成的區(qū)域時,各個巖塊可能因轉動、平移,或沿不連續(xù)面的分離、滑移等產生不連續(xù)位移場。通常,采用不連續(xù)介質力學模型。然而,巖體中廣泛分布的宏觀裂隙(節(jié)理)使巖體成為一種具有顯著各向異性的非連續(xù)介質。對于現實巖體的分析就不能簡單的采用連續(xù)介質的模型來求解,而是采用不連續(xù)介質的力學模型。

2 節(jié)理巖體的本構模型

根據多數研究者的見解,均質巖體中的節(jié)理可看作圓盤狀破裂面。設其半徑為a,法線方向余弦為{ni}。節(jié)面上法應力為σ(以拉為正),則該面上剩余應力為:

其中,t,f分別為該面上的剪應力和摩擦系數。

借助于斷裂力學能量釋放理論,由單個節(jié)理引起的變形能為:

對于存在m組節(jié)理,其中心點在空間完全隨機分布的情形,考慮到能量密度為廣延量,由節(jié)理網絡引起的應變能密度為各單個節(jié)理引起的應變能密度之和,即:

其中,λ為p組節(jié)理的體密度。

根據能量原理,由完整巖塊及節(jié)理系統(tǒng)引起的應變能密度we和wc與等效介質的總應變能密度w有如下關系:

則由式(5)可導得節(jié)理巖體本構關系為:

其中,Cv,Cs分別為完整巖塊的柔度張量及節(jié)理網絡引起的柔度張量增量,且有:

其中,h=τ/t。

3 非連續(xù)變形數值分析方法

3.1 離散單元法

離散單元法是由Cundall于20世紀70年代提出的。離散單元法是針對節(jié)理巖體提出的一種適用于模擬巖土體大位移的數值方法。它是在塊體準剛性假設的前提下,以牛頓第二定律為理論基礎建立起來的,以微小運動狀態(tài)的求解模擬巖體的大位移。當所研究的塊體在力系作用下或邊界條件發(fā)生變化時,單元就在牛頓第二運動定律下發(fā)生平移或轉動,允許調整各個塊體單元的接觸關系,接觸關系的調整產生新的接觸力,在該力的作用下產生新的位移。如此循環(huán),在不平衡力作用下,塊體產生運動。

3.2 DDA方法

DDA(不連續(xù)變形分析)是由石根華博士提出的一種新型數值分析方法。它以自然存在的節(jié)理面和斷層切割巖體形成不同的塊體單元,以各塊體的位移作為未知量,通過塊體間的接觸和幾何約束形成一個塊體系統(tǒng)。在塊體運動的過程中,嚴格滿足塊體間不侵入。將邊界條件和接觸條件等一同施加到總體平衡方程,總體平衡方程由最小勢能原理求得。

3.3 拉格朗日元法

拉格朗日元法(Fast Lagragian Analysis of Contin-na,縮寫為FLAC)是由Cundall加盟的ITASCA咨詢集團于1986年提出的。該方法起初應用于流體力學研究每個流體質點隨時間而變化的情況,即著眼于某一流體質點,研究它在任意一段時間內軌跡、所具有的速度、壓力等。后來該法被移植到固體力學中,將所研究的區(qū)域劃分成網格,網格的節(jié)點相當于流體的質點,然后按時步研究網格節(jié)點的運動。這種方法適合于求解非線性的大變形問題,其按時步采用動力松弛的方法求解,不需要形成剛度矩陣,不用求解大型聯(lián)立方程,可用計算機解決較大的工程問題。

3.4 塊體單元法

塊體單元法是由任青文等改進的。該方法是在剛體彈簧元的基礎上進一步改進的,以形心處的剛體位移作為基本未知量,并根據它們在外力作用下的平衡條件、變形協(xié)調條件及夾層材料的本構關系,建立起塊體單元法的支配方程。同時,在塊體單元間設縫單元,在由虛功原理求出各塊體形心處的剛體位移后,由縫單元兩側塊體的相對位移確定縫面的變形與應力。塊體單元法主要適用于具有地質結構面的巖體。

4 非連續(xù)變形計算模型基本原理

4.1 廣義有限單元

廣義有限單元是由數學覆蓋、有限物理覆蓋和本構模型三要素構成。廣義有限單元的數學覆蓋是指廣義有限單元的插值逼近空間,它是該單元廣義結點的數學覆蓋的重疊區(qū)域,其覆蓋函數是廣義有限單元的插值逼近函數。廣義有限單元的物理覆蓋是其數學覆蓋作用的有效物理區(qū)域,是廣義有限單元的積分區(qū)域,其最大區(qū)域不超越廣義有限單元的數學覆蓋,因此廣義有限單元的物理覆蓋可以是不規(guī)則區(qū)域,可在其物理覆蓋外部構造其數學覆蓋,進行插值,使廣義有限單元能夠處理復雜的物理邊界。廣義有限單元的本構模型是指其應力與應變的關系?？梢娪捎跀祵W覆蓋和本構關系的不同,將構成不同特性的廣義有限單元。任意廣義有限單元的數學覆蓋函數(即位移插值函數)可表示為:

其中,Ni為廣義有限單元i的數學覆蓋的形函數;Ui為廣義有限單元i的數學覆蓋的廣義自由度。

4.2 點接觸力元

點接觸力元是指在接觸面上接觸力受到力學上屈服準則和運動學上流動準則的約束。點接觸力元是由接觸對組成,接觸對是由一個單元的角點與其相對應的另一個單元的角點或邊構成,于是接觸對有兩種類型:角與角和角與邊。廣義有限單元 i與廣義有限單元j間接觸面ij上的界面力一般可表達為:

其中,Tij為接觸面ij上的界面力的插值函數;Rij為接觸面ij上的接觸應力廣義自由度;Tijk為接觸對k在接觸面ij上的接觸力插值函數,R為接觸對k在接觸面ij上的接觸ijk力,即[σijk,τijks]T;ncij為接觸面ij上的接觸對數。

4.3 非連續(xù)變形計算力學模型的控制方程

在多體系統(tǒng)實際物理剖分的基礎上,用點、線和面將多體系統(tǒng)進行數學剖分而形成 ni個子區(qū)之和,在每個子區(qū)上可根據實際需要構造廣義有限單元,令其廣義有限單元數為 nei,各廣義有限單元求解函數的模式可以互不相同,可能由于廣義有限單元間求解函數的不連續(xù)而在廣義有限單元間形成新的不連續(xù)面(接觸面),可以把它當作接觸面處理。令任意廣義有限單元的物理覆蓋為 Aij,則有和分別為位移邊界、應力邊界、接觸邊界和連續(xù)邊界。

非連續(xù)變形計算力學模型的分區(qū)參變量最小勢能原理可表述為:在非連續(xù)變形力學系統(tǒng)的當前構形和給定的外力增量作用下,對于任意子區(qū)i在滿足位移邊界條件的所有位移場中真實的位移使系統(tǒng)總勢能增量泛函 ∏1i取極小值,其中接觸力為不參加變分的參變量,其必須滿足接觸力元所受到的約束條件。

設在 t時刻非連續(xù)變形力學系統(tǒng)的初始應力、初始應變、初始速度和初始加速度分別為σt,εt,vt和at,在 Δt時間內,系統(tǒng)所受的體積力密度增量和外力增量分別為b和,系統(tǒng)的位移增量、速度增量、加速度增量、應力增量和應變增量分別為u,v,a,σ和ε。任意子區(qū) i的總勢能增量泛函 ∏1i為:

其中,第一項為子區(qū)i的總彈性勢能增量;第二項為外力和摩擦力勢能增量,并利用時域上的New mark逐步積分法:

由變分駐值條件可得到:

通過區(qū)分參變量最小勢能原理,加上參變量的控制條件,可以得到如下非連續(xù)變形計算力學模型的整體控制方程:

5 結語

本文所提及的非連續(xù)變形計算力學模型能夠比較精確地預測剛性和可變形巖質塊體系統(tǒng)的變形和接觸力,可根據變形的變化模式來判斷系統(tǒng)是否達到極限平衡狀態(tài),從而可得到系統(tǒng)處于極限平衡狀態(tài)所受到的極限荷載或臨界抗剪強度及其相應的變形狀態(tài)和接觸力分布,進而可得到安全系數。系統(tǒng)的控制方程可以適用于復雜的邊值問題。初步研究表明這種非連續(xù)變形計算力學模型可以作為極限平衡分析的一種有效的數值分析方法,在巖土邊坡穩(wěn)定分析中將具有廣闊的應用前景。

[1]唐春安,王述紅,傅宇方.巖石破裂過程數值試驗[M].北京:科學出版社,2003:41-47.

[2]朱浮聲,杜 軒,萬明富.非均質性對巖體應力場反分析結果的影響[J].東北大學學報,2005,26(10):34-35.

[3]伍法權.節(jié)理巖體的本構模型與強度理論[M].北京:中國科學院地質研究所,2006.

[4]欒茂田,黎 勇,楊 慶.非連續(xù)變形計算力學模型在巖體邊坡穩(wěn)定性分析中的應用[J].巖石力學與工程學報,2000,19(3):23-26.

[5]任青文.塊體單元法及其在巖土穩(wěn)定性分析中的應用[J].河海大學學報,1995(2):1-3.