基于有限元概率設計的結構敏感性分析研究

文方針

(廣東省公路勘察規(guī)劃設計院,廣東廣州510510)

敏感性分析主要研究可靠度模型中各隨機變量或其參數(shù)變化情況下對失效概率或可靠度指標的影響規(guī)律,它可用來提供各隨機變量或其參數(shù)之間重要性程度的橫向對比。對基于有限元的概率設計(ANSYS Probabilistic Design System)、結構優(yōu)化和結構可靠度的校驗十分重要,還可以對工程分析中的數(shù)據(jù)提出精度上的要求。如果可靠指標對某一隨機變量的敏感性較高,則要求所提供的統(tǒng)計數(shù)據(jù)要相對精確,如果對某一隨機變量的敏感性較低,則可以相對放松對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的要求[1-5]。

通過層次分析獲得影響結構可靠度的主要因素后,有必要進一步定量分析這些因素對可靠度影響的重要性。輸入變量的重要性一般通過敏感性指標來度量。對于敏感性指標,目前尚無統(tǒng)一的標準,趙國藩[5]定義了無量綱敏感性指標,然后基于結構可靠度分析的一次二階矩方法,推導了可靠指標對隨機變量統(tǒng)計參數(shù)的敏感性公式。秦權[6]定義了隨機變量的重要性敏感性指標、失效概率對隨機變量均值敏感性指標、失效概率對方差敏感性指標。這些指標分別反映了隨機變量及其均值、標準差對失效概率的影響程度。

在實際工程問題中,通常關心兩類敏感性問題。其一,對于某一輸出變量,對其輸出結果影響最大(靈敏度最大)的輸入變量有哪些。其二,對于某一輸入變量,它的變化程度對于結構體系可靠度的影響。針對這兩個方面,本文提出了兩類敏感性概念及其具體的計算實施方法。

1 兩類敏感性概念

1.1 第一類敏感性問題

第一類敏感性問題:對于某一輸出變量 yi,設對其輸出結果有影響的基本隨機變量為為輸入隨機變量 x1的期望值,則對于該輸出變量yi,可定義其敏感性向量為:,將該向量歸一化后,可用敏感性餅圖表示。

1.2 第二類敏感性問題

第二類敏感性問題:在實際工程問題中,結構尺寸、材料特性等均在均值附近波動,大多數(shù)隨機變量的概率密度函數(shù)可由均值和均方差決定。因此,要研究各因素對結構失效的影響,只要研究其均值、均方差對結構的影響就足夠了[7]。

對于復雜結構系統(tǒng),設影響結構可靠度的因素x1,x2,…,xn是服從一定分布的隨機變量,其均值、方差的一般表達式為Exi,Sxi,具體數(shù)值為

由三級工作模式[8],結構的系統(tǒng)可靠性可由以下可靠性向量來表示

式中:s為結構的可靠概率;Pd為結構的中介概率;Pf為結構的失效概率。定義隨機變量xi對結構失效的無量綱敏感性矩陣為

求上述敏感性矩陣需獲得Pf,Pd,Exi及Sxi的具體函數(shù)表達式。對于復雜結構體系,獲得這些表達式是困難的。但是,獲得大量離散樣本是可以做到的。用增量代替偏導數(shù),考慮到失效概率與損傷概率均很小,且 β(t)=Φ(Pf(t))[9,10],可用可靠度指標β代替概率P,將第二類敏感性定義為如下無量綱矩陣

根據(jù)式(3),若將 Exi及Sxi在及附近波動,計算相應的βf,βd則可得到一系列的三維樣本點,由這些樣本點可擬合隨機變量xi的敏感性曲面。這一敏感性曲面反映某一隨機變量xi對結構可靠性的影響。將其在β0Exi坐標平面及β0Sxi坐標平面內投影得到曲線,求某一計算點處相應的斜率可獲得該點處第二類敏感性無量綱矩陣。這一方法結果直觀、便于應用,具有兼容性與實用性。

2 ANSYS PDS技術

2.1 ANSYS PDS數(shù)據(jù)流模型

結構可靠性分析中的敏感性問題其核心仍是有限元計算問題[11,12],考慮實際工程中的不確定因素,有限元分析的任何一個方面或輸入數(shù)值都是一個離散性的分布參數(shù),即某種程度上都是具有不確定性的。為研究不確定因素對結構可靠性指標的影響,必須將有限元分析技術與概率設計技術相結合,這就是基于有限元的概率設計,即ANSYS PDS(ANSYS Probabilistic Design System)。ANSYS PDS過程數(shù)據(jù)流程見圖1。

圖1 ANSYS PDS過程數(shù)據(jù)流模型

2.2 ANSYS PDS基本過程

ANSYS基于有限元的概率設計分析的過程主要包括以下步驟。

(1)創(chuàng)建概率設計中需要的分析文件,分析文件必須包含完整的仿真分析過程。包括參數(shù)化有限元建模、求解、設置隨機輸入?yún)?shù)和隨機輸出參數(shù)。

(2)在ANSYS環(huán)境中執(zhí)行分析文件包括命令流,初始化概率設計,建立概率設計的有限元分析數(shù)據(jù)庫和所有參數(shù)。

(3)進入PDS處理器并指定所用的分析文件。

(4)定義隨機輸入?yún)?shù)。檢查隨機輸入?yún)?shù),可選項。定義隨機輸入?yún)?shù)間的相關性。

(5)定義隨機輸出參數(shù)。

(6)選擇概率設計工具或方法。

(7)執(zhí)行概率設計分析指定的仿真循環(huán)。

(8)讀取并分析ANSYS PDS結果。

3 算例

3.1 工程背景

某橋于1998年2月竣工通車。主橋采用3跨連續(xù)下承式無風撐鋼管混凝土系桿拱結構,跨徑組合為55 m+83.6 m+55 m,橋寬25 m。

3.2 三維仿真模型

該橋于1998年、2000年及2003年進行了3次實橋試驗。根據(jù)實測幾何形態(tài)參數(shù)、裂縫分布、基礎結構性能及基頻模態(tài)對三維有限元模型進行了修正。全橋有限元模型共計單元2 528個,節(jié)點1 780個,見圖2。本例對該橋主拱及邊拱結構體系進行可靠度分析。

圖2 三維有限元模型

3.3 敏感性分析

3.3.1 第一類敏感性分析

基于有限元模型采用Monte Carlo法進行分析,所有輸入變量取值同時變化,考慮輸出變量之間的相互作用,從而避免了確定性敏感性分析可能導致的錯誤,確定性敏感性分析的不足之處主要在于確定性分析采用的是典型的有限差分法(變化其中一個參數(shù),同時其余各參數(shù)保持不變),忽略了輸入變量之間的相互影響和作用。算例橋中跨最大軸力敏感性餅圖和邊跨最大軸力敏感性餅圖見圖3、4。

根據(jù)層次分析確定該橋基本隨機變量按可靠度因子權重由大到小依次為:車輛活載(因子權重:0.333 674 528)、人行活載(因子權重:0.333 674 528)、邊跨鋼管混凝土彈性模量(因子權重:0.125 293 12)、中跨鋼管混凝土彈性模量(因子權重:0.125 293 12)、溫度作用(因子權重:0.118 947 208)、恒載效應(因子權重:0.080 620 44)、基礎沖刷(因子權重:0.069 032 238)。輸出量為邊跨最大軸力、邊跨最大撓度、中跨最大軸力和中跨最大撓度。根據(jù)第一類敏感性的定義,計算其中跨及邊跨最大軸力敏感性餅圖如圖3、4所示。由敏感性餅圖可知,對于邊跨,對其軸力有重要影響的因素依次為活載、邊跨鋼管混凝土組合材料彈性模量、恒載。對于中跨,對其軸力有重要影響的因素依次為活載、恒載及溫度。相對于中跨,邊跨會發(fā)生較大的縱向位移,故材料彈性模量對邊跨軸力會產生較大影響;而對于中跨,由于其位移較小,此時溫度效應會在其上產生較大的次內力,影響其軸力。而材料彈性模量的影響則降為次要地位。這一結論與算例橋的力學特性是相符合的。且敏感性餅圖的結果與層次分析法的結果也是一致的。這也驗證了層次分析法的正確性。

圖3 中跨最大軸力敏感性餅圖

圖4 邊跨最大軸力敏感性餅圖

3.3.2 第二類敏感性分析

對于算例橋,為研究彈性模量的變化對失效概率影響,使彈性模量期望值Exi在40.6～45.3 G之間變化,彈性模量均方差Sxi在0～100 G之間變化。由此計算結構相應的可靠度 βf?？蓴M合獲得鋼管混凝土彈性模量期望值-均方差-可靠度指標曲面,即鋼管混凝土彈性模量曲面(圖5)。

由圖5可知:

(1)隨著彈性模量期望值的降低,可靠度指標βf隨之下降,其結果是使結構趨于更加不安全;

(2)彈性模量均方差變大,其結果是使βf下降,結構趨于更加不安全;當均方差從0增大到55 G,βf下降得較快,其后下降趨勢減慢,

(3)當彈性模量均方差小時,樣本離散度小,此時期望值變化對βf影響較大;當彈性模量均方差大時,樣本離散度大,此時期望值對βf影響較小。

圖5 鋼管混凝土中拱彈性模量敏感性曲面

4 結論與展望

(1)第一類敏感性問題可用敏感性餅圖表示,第二類敏感性問題可用敏感性曲面表示。

(2)第二類敏感性問題能反映可靠度因子均值、均方差對結構可靠度的影響,在實際工程問題中具有實用價值。

(3)實橋算例中,第一類敏感性問題的計算結果與層次分析法的計算結果相吻合,表明ANSYS PDS技術可有效的對結構的第一類敏感性問題進行分析。

(4)實橋算例中,對于結構第二類敏感性問題,ANSYS PDS計算的數(shù)據(jù)可用于繪制敏感性曲面,直觀、定量描述可靠度因子隨機變量均值、均方差變化趨勢對結構可靠度的影響。

[1]A S NOWAK R I C.Sensitivity analysis for structural errors[J].Journal of Structural Engineering,ASCE,1985:111,1 734-1 746.

[2]M HOHENBIECHIER R R.Sensitivities and importance measures in structural reliability[J].Civil Engineering System,1986(3):,203-209.

[3]A KARAMCHANDANI C A C.Sensitivity analysis for structural errors[J].Structural,1992,11(1):145-153.

[4]佟曉利.鋼筋混凝土結構施工期可靠度分析[D].大連:大連理工大學,1997.

[5]趙國藩,貢金鑫,趙尚傳.工程結構生命全過程可靠度[M].北京:中國鐵道出版社,2004:7-8.

[6]秦權,林道錦,梅剛.結構可靠度隨機有限元理論及工程應用[M].北京:清華大學出版社,2006:76-78.

[7]張偉.結構可靠性理論與應用[M].北京:科學出版社,2007:44-48.

[8]KEKE P,PEIYAN H.Fnm method for estimating reliability of existing bridges[J].Journal of Southeast University,2009,25(2):247-251.

[9]GB/T 50283-1999.公路工程結構可靠度設計統(tǒng)一標準[S].中國計劃出版社.

[10]彭可可.在役橋梁結構時變可靠性理論及應用[D].廣州:華南理工大學,2009.

[11]REH S,BELEY J,MUKHERJES S,et al.Probabilistic finite element analysis using ANSYS[J].Structural Safety,2006,28(1):17-43.

[12]ZHANG Z,TANG W,ZHANG S.Development of special program to calculate structural reliability based on RSM in ANSYS[J].Journal of Ship Mechanics,2007,11(1):102-107.