基于混沌同步的永磁同步電機控制*

岳永恒，王茂，孫光輝

(1.哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心,黑龍江哈爾濱150001;2.東北林業(yè)大學交通學院,黑龍江哈爾濱150040)

近年來，隨著大功率電子器件的快速發(fā)展，永磁同步電機由于其高效性和良好的動態(tài)特性，在機器人、航空航天領域都得到了廣泛的應用[1]。但是由于其高速和弱磁區(qū)域控制受到較高的門限電壓限制[2]，大大限制了其應用。研究表明，永磁同步電機系統(tǒng)像很多非線性系統(tǒng)一樣表現出多個穩(wěn)態(tài)工作點，在一定條件下，可能出現極限環(huán)甚至混沌。所以研究永磁同步電機系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)工作點附近的特性是近來研究的熱點。大量的文獻表明，永磁同步電機在動態(tài)特性上與混沌Lorenz系統(tǒng)具有相似性[3-5]。

混沌系統(tǒng)是一種確定性系統(tǒng)，其運動軌跡敏感地依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即兩個相同的混沌系統(tǒng)從非常接近的初始狀態(tài)出發(fā)，經過一定的過渡時間之后，其運動軌跡將變得完全不同。這和現實生活中的一些復雜系統(tǒng)所表現出來的特性非常相似，即確定性系統(tǒng)所表現出的隨機性。系統(tǒng)的混沌特性在很多情況下是人們不希望的，所以針對這些系統(tǒng)，研究了很多的控制方法來消除混沌現象。例如混沌的自適應控制[6]、變結構控制[7]、反饋控制等[8]。此外在混沌同步方面自從Pecora和Carroll的文章(即P-C同步法)[9]發(fā)表以來，混沌同步的研究也取得了巨大的發(fā)展。

本文正是由混沌同步的觀點出發(fā)，設計出永磁同步電機的狀態(tài)觀測器，從而構造出非線性反饋控制器，實現永磁同步電機的控制。通過簡單的線性系統(tǒng)的零極點配置方法，便可以獲得期望的運行特性,而且避免了PID校正中由于參數不當而可能出現的混沌現象。

1 數學模型

永磁同步電機的d-q模型廣泛地用于控制器設計。通過Park變換很容易將電機的交流變量轉換成直流變量，極大地方便了控制系統(tǒng)設計。永磁同步電機的d-q模型可以表示為:

其中下標q代表著q軸的變量，d代表著d軸的變量，V代表電壓，I為電流，n為極對數。而相應的電磁轉矩可以表示為:

更詳細的內容可以參見參考文獻[10]，而機電系統(tǒng)的動態(tài)方程表示為:

其中T(I，θ)是電機產生的轉矩，Tl(t)為外部力矩?？紤]到各種摩擦，Tl(t)=bω+TL，其中b為粘滯摩擦系數，TL為其他負載力矩。對于均勻氣隙的電機來說，可以認為Ld=Lq。所以永磁同步電機系統(tǒng)可以表述為以下的模型:

在一定條件下，上述的系統(tǒng)和混沌Lorenz系統(tǒng)具有等價的表示形式。例如采用以下的變換:

其中Σ=diag(σ1,σ2,σ3),Q=(q1,q2,q3)T,系統(tǒng)可以轉化成著名的Lorenz系統(tǒng):

當ρ=ρH時，Hopf分岔發(fā)生；當ρ＞ρH時，系統(tǒng)的三個平衡點均不穩(wěn)定。值得注意的是，對于給定的電機，有與之對應的δ，隨之就會有確定的ρH，相對應地存在b和Vd，使得混沌現象總是能夠被觀察到。此外,隨著b和Vd的減小，混沌現象被觀察到的可能性就會越大[10]。例如，選擇電機的參數為:J=5×10-6kgm2,L=0.99 mH,R=0.9 Ω,Ki=0.049,Nm/A,b=2.3×10-2N/(rad/s),則可得到δ=10.17，而相應的電機系統(tǒng)分岔圖如圖1所示。圖1描述的是當參數從0到900變化時，采用Wolf方法[11]所得到的Lyapunov指數譜及相應|y|的分叉圖。更多關于奇異吸引子的內容可以參見參考文獻[12-14]。

2 控制器設計

線性控制器尤其比例積分(PI)控制器在永磁同步電機速度控制中通常是首選的設計方案。簡單地表述為雙閉環(huán)控制系統(tǒng):內環(huán)為電流環(huán)，外環(huán)為速度環(huán)。這里就以比例調節(jié)器為例，說明傳統(tǒng)的線性調節(jié)器在永磁同步電機控制應用中的弊端。記Iqr和Idr分別為q軸和d軸的指令電流，而實際中Idr=0可以很容易得到保證[4]，則采用比例調節(jié)器的d-q電壓為:

將(9)式代入(6)式可以得到:

為了得到不受驅動的Lorenz系統(tǒng),可以使外部轉矩TL=0，以及指令電流Iqr=0。可以得到如下的模型:

將(7)式代入(11)式，通過計算可以得到Lorenz系統(tǒng)族的Lyapunov指數集與反饋增益Kp的關系，如圖2所示。圖中計算所采用的方法同樣是Wolf法，只不過此時Lyapunov指數集的計算與反饋增益Kp息息相關。

從圖2可以看出永磁同步電機在較小的反饋增益Kp(Kp＜86)下能夠保持穩(wěn)定，隨著Kp的增加，混沌化逐漸加劇。在控制系統(tǒng)設計時，一方面為了保證系統(tǒng)的響應速度，必須有較大的反饋增益；而另一方面，大的反饋增益又容易使系統(tǒng)混沌化。對于PI調節(jié)器，也有同樣的結果。受非線性反饋的啟發(fā)[14]，可以引入如下的反饋:

這里的Kqi和Kdi是為了得到期望性能而引入的反饋系數。當引入以上的非線性反饋后，系統(tǒng)就變成如同Y˙=AY+Kτωd的線性系統(tǒng):

通過簡單的零極點配置方法，閉環(huán)系統(tǒng)就能得到期望的性能。更進一步來說，實際系統(tǒng)中某些變量是不能直接測量的，例如現在研究的同步電機無位置傳感器控制就是只能測量電機的角速度ω。為此，可以構造基于混沌同步的狀態(tài)觀測器，估計出其他變量，從而可以實現控制。其結構框圖如圖3所示。也就是說，通過構造與永磁同步電機相關的同步子系統(tǒng)，將控制所需的電機狀態(tài)變量用通過同步后的子系統(tǒng)變量代替，從而形成閉環(huán)控制。

圖3 基于混沌同步的非線性反饋控制方框

根據驅動-響應耦合同步原理[9],將y3(即電機角速度ω)作為驅動信號，響應系統(tǒng)可以寫成如下的形式:

而非線性反饋則為

為了驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以通過定義以下的誤差:

定義Lyapunov函數為V=(e12+e22)/2,則:

假定Kq2=-Kd1,Kq1＜1以及Kd2＜1，則V˙負定，系統(tǒng)就能穩(wěn)定。事實上，可以很容易地通過零極點配置來保證系統(tǒng)矩陣A為負定,即保證:

從式(18)可以看出，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就必須保證Kq1＜1及Kd2＜1。這也就是說，只要通過零極點配置，能夠保證Kq2=-Kd1，Kq1＜1及Kd2＜1，不僅能夠實現永磁電機混沌系統(tǒng)的同步，而且能夠實現基于混沌同步的觀測器穩(wěn)定，進而保證控制系統(tǒng)的有效性。例如,通過選取:Kq3=ρ,Kd3=0,Kd1=1,Kq1=Kd2=-1以及Kτ=2.7,就可以得到系統(tǒng)的極點為:λ1=-10.170 0，λ2=-2+i，λ3=-2-i。圖4為系統(tǒng)的角速度ω隨時間的變化過程。

本文首先介紹了永磁同步電機與混沌Lorenz系統(tǒng)在數學模型上的相似之處。永磁同步電機本身是不會呈現混沌特性的，但是隨著電機外部力矩的變化及q軸電壓的變化，就有可能產生混沌現象。傳統(tǒng)的PI控制器在抑制混沌上作用又不是很明顯。由此引入了非線性反饋控制，該控制器能夠使非線性的電機系統(tǒng)轉化為普通的一階系統(tǒng)，從而可以通過線性系統(tǒng)的零極點配置達到期望的響應特性?？紤]到實際系統(tǒng)的某些變量可能無法測量，在非線性反饋的基礎之上，引入了基于混沌降階同步的狀態(tài)觀測器，用估計值代替某些不可測量的變量，進而構成非線性反饋，實現了電機系統(tǒng)的控制。同時通過Lyapunov直接法證明了觀測器的穩(wěn)定性。仿真結果也證明了該控制器的有效性。

[1]王立欣,王宇野,王豐欣.基于DSP的電動車用永磁同步電機的控制方法[J].電機與控制學報,2005,9(1):51-54.

[2]JAHNS T M,KLINMAN G B,NEUMANN T W.Interior permanent magnet synchronous motors for adjustable-speed drives[J].IEEE Transactions on Industrial Applications,1986,22(4):738-747.

[3]HEMATI N,KWATNY H.Bifurcation of equilibria and chaos in permanent-magnet machines[C].Proceedings of the 32nd conference on Decision and control,December 1993:425-429.

[4]楊志紅,姚瓊薈.無刷直流電動機系統(tǒng)非線性研究[J].動力學與控制學報,2006,4(1):59-62.

[5]HEMATI N.Strange attractors in brushless DC motors.IEEE Transactions on Circuits and Systems-I:Fundamental Theory and Application.1994,41(1):40-45.

[6]LI Shuang,XU Wei,LI Rui Hong.Synchronization of two different chaotic systems with unknown parameters[J].Phys.Lett.A,2007,361(1):98-102.

[7]LI Xiao Run,ZHAO Liao Ying,ZHAO Guang Zhou.Sliding mode controlfor synchronization of chaotic systems with structure or parameters mismatching[J].Zhejiang Univ SCI,2005(6):571-576.

[8]HUANG L L,WANG M,FENG R.Parameters identification and adaptive synchronization of chaotic systems with unknown parameters[J].Phys.Lett.A,2005,342:299-304.

[9]PECORA L M,CARROLL T M.Synchronization of chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64(8):821-830.

[10]HEMATI N,LEU M C.A complete model characterization of brushless DC motors[J].IEEE Transactions on Industry Applications.1992,28(1):172-180.

[11]GE Zheng Ming,CHANG Ching Ming,CHEN Yen Sheng.Anti-control of chaos of single time scale brushless dc motors and chaos synchronization of different order systems[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,27:1298-1315.

[12]JING Zhu Jun,CHANG Yu,CHEN Guan Rong.Complex dynamics in a permanent-magnet synchronous motor model[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,22:831-848.

[13]GE Z M,CHENG J W.Chaos synchronization and parameter identification of three time scales brushless DC motor system[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,24:597-616.

[14]ZAHER A A.A nonlinear controller design for permanent magnet motors using a synchronization-based technique inspired from the Lorenz system[J].CHAOS,2008,18:(1).