光子運(yùn)動(dòng)的蒙特卡羅方法用于LED燈具設(shè)計(jì)

付元增 熊娟

(濮陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南濮陽 457000)

1 前言

LED是發(fā)光二極管的簡稱，它是電致發(fā)光的半導(dǎo)體發(fā)光器件。過去常規(guī)的LED多為發(fā)紅光或綠光的，只能在產(chǎn)品上充當(dāng)指示燈信號(hào)。隨著光電技術(shù)及材料科學(xué)的發(fā)展，在全球能源短缺的憂慮再度升高的背景下，歐、美及日本等國成立了專門的機(jī)構(gòu)，研制出了白光LED，且其發(fā)光效率正在逐步提高［1］。但是光源的形狀、大小和光強(qiáng)分布都會(huì)對(duì)照明系統(tǒng)的配光效果產(chǎn)生重要的影響。目前在照明光學(xué)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中，時(shí)常將光源近似看作點(diǎn)光源或者線光源。但對(duì)于一些照明系統(tǒng)特性要求較高的場合，這種近似誤差太大，需要建立更加復(fù)雜精確的光源模型，將實(shí)體模擬為面光源甚至是體光源［2］，從而獲得更好的照明模擬效果。

結(jié)合不同照明的要求，充分分析LED燈光子的特點(diǎn)，考慮LED的發(fā)光原理和特性，從塑造合理光環(huán)璄的要素出發(fā)，優(yōu)化LED的光分布，避免眩光的同時(shí)使LED的出射光線更加合理高效，達(dá)到照明的要求，理性地將LED應(yīng)用于各種照明工程中，才能最大限度發(fā)揮LED照明的優(yōu)點(diǎn)，而避免盲目使用所帶來的負(fù)面的影響。為了改善傳統(tǒng)LED出射光角度狹小，光強(qiáng)隨角度變化迅速衰減，光譜空間分布不均，邊緣存在嚴(yán)重偏色等問題，必須改進(jìn)LED封裝結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)［3］。將LED應(yīng)用于照明工程中也面臨著一系列的挑戰(zhàn)，例如單顆LED的光通量還難以滿足普通照明的需求、單位成本過高、光效比氣體放電燈低、色差大、穩(wěn)定性不足等。同時(shí)散熱問題在LED器件的封裝中占有十分重要的地位，在封裝結(jié)構(gòu)、封裝材料方面，如何有效解決LED散熱問題成為發(fā)展的關(guān)鍵［4］。

蒙特卡羅方法來源于人們對(duì)隨機(jī)抽樣事件的概率理解，將一個(gè)復(fù)雜問題簡化為許多次簡單的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的方法。采用蒙特卡羅方法對(duì)光子運(yùn)動(dòng)隨機(jī)抽樣，較真切的模擬光子運(yùn)動(dòng)的過程，反映了光子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，模型可以設(shè)置空間多維、多因素等復(fù)雜的條件，計(jì)算出光子與封裝曲面碰撞新方向，統(tǒng)計(jì)出光子的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，同時(shí)封裝曲面參數(shù)的變化對(duì)光子散射的影響，通過模擬計(jì)算得到不同情形下散射光子運(yùn)動(dòng)軌跡，光子封裝曲面內(nèi)部發(fā)生的散射誤差的分布，為LED燈在照明工程的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

2 光子飛行模擬

在坐標(biāo)系 x，y，z中將光源傳輸?shù)墓庾臃纸?，各自?π方向角傳播，那么光子空間飛行模型為:

其中r1，r2，r3分別為沿各自方向的運(yùn)動(dòng)半徑;φ1，φ2，φ3分別為光子與空間方向軸的夾角;β1，β2，β3分別為光子的衰減系數(shù);ω1，ω2，ω3分別光子運(yùn)動(dòng)的角頻率。

根據(jù)光子空間飛行模型［5］，光源 s至 LED燈曲面p點(diǎn)之間的距離為r，再把r等分為n份，每份的長為r/n，第一份sp1的距離為r1，第二份p1p2的距離為r2，第三份p2p3的距離為r3，……第n份pn－1pn的距離為rn，如果n足夠大，這每一份距離就足夠短，就是說，光從點(diǎn)S發(fā)出，頻率為ν0，通過距離 r1到達(dá)點(diǎn)p1，頻率為ν1=ν0+Δν1;光又以頻率ν1從 p1通過 r2到達(dá) p2，頻率為 ν2= ν1+Δν2;光又以頻率ν2從p2點(diǎn)通過距離r3到達(dá) p3點(diǎn)，頻率為 ν3= ν2+ Δν3;……;光又以頻率 νn－1從 pn－1點(diǎn)通過距離 rn到達(dá) pn點(diǎn)，頻率為 ν= νn= νn－1+Δνn，按照級(jí)數(shù)推導(dǎo)得出:

c是光速，h叫做哈勃常量，光的頻率ν隨著r的增長而不斷按自然負(fù)指數(shù)規(guī)律衰減，根據(jù)愛因斯坦的光子假說及其對(duì)光電效應(yīng)的量子解釋，入射光子的頻率越高，光子的初動(dòng)能越大，即

那么光子運(yùn)動(dòng)與封裝曲面發(fā)生彈性散射相函數(shù)為:

其中θ為散射角，dCsca/dΩ為微分散射橫截面［6］。

為總的散射截面。

根據(jù)Henyey-Greenstein相函數(shù)方程導(dǎo)出，再通過坐標(biāo)變換，光子新運(yùn)動(dòng)方向?yàn)?

φ為方位角。

散射后光子能量:

如果被曲面吸收:

其中α為材料線性吸收系數(shù)，β為雙光子間吸收系數(shù)，γ為三光子間吸收系數(shù)，在光子被吸收的過程中，封裝曲面材料系數(shù)占主要因素。

同時(shí)考慮空間溫度對(duì)LED燈的光子影響:

kB為波爾茲曼常數(shù);T為絕對(duì)溫度;Et是封裝曲面的介質(zhì)能帶間隙;ν0為絕對(duì)溫度時(shí)的光子運(yùn)動(dòng)頻率。

當(dāng)光子傳輸?shù)揭粋€(gè)新位置時(shí)，不僅光子的能量被材料吸收、光子的傳輸方向會(huì)發(fā)生改變，而且權(quán)重減少，光子每與封裝曲面碰撞后都將有部分光子被吸收，假定經(jīng)過τ－1步碰撞后繼續(xù)傳輸?shù)墓庾拥臋?quán)重為wτ－1，則經(jīng)過τ步后光子的權(quán)重將更新為:

其中β是材料散射系數(shù)。

產(chǎn)生大量的光子采用線性同余法:

其中，a和N分別是乘子和模，t表示時(shí)間。

3 蒙特卡羅模擬

光子在封裝曲面內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)過程，通過隨機(jī)數(shù)來模擬與光子運(yùn)動(dòng)相似的事件，然后通過觀察模擬過程，計(jì)算光子的運(yùn)動(dòng)特征，最后得出運(yùn)動(dòng)特征參數(shù)近似值。實(shí)質(zhì)上蒙特卡羅模擬就是跟蹤光子在封裝曲面內(nèi)部吸收和散射過程，若發(fā)生散射，則由適當(dāng)?shù)纳⑸湎辔缓瘮?shù)就能選取散射后新方向，光子運(yùn)動(dòng)這個(gè)過程重復(fù)進(jìn)行，直到光子被封裝曲面吸收，蒙特卡羅的模擬方法既可以較精確地求解一個(gè)光子運(yùn)動(dòng)模型，不但給出具體、形象的光分布結(jié)果，而且通過對(duì)光學(xué)結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行修正可以很容易地看出修改所產(chǎn)生的對(duì)光分布的影響，這種影響反饋到對(duì)光學(xué)結(jié)構(gòu)的修正中，以改變封裝曲面的設(shè)計(jì)。

假定光子運(yùn)動(dòng)與封裝曲面發(fā)生第一次碰撞的位置x1，可由概率密度決定:

其中 σ(ν)是頻率為 ν光子的總截面［7］，根據(jù)媒質(zhì)對(duì)光子的吸收截面，決定它是否被吸收，如果σ1(ν)是吸收截面，σ2(ν)是散射截面，再由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) k，如 k<σ1(ν)/σ(ν)，則光子被吸收，不然則未被吸收。如被吸收，則須重取一光子，從頭開始這個(gè)過程;如未吸收，則從克萊因-仁科公式和康普頓公式?jīng)Q定光子經(jīng)過一次散射后的頻率ν和光子散射前與散射后的方向之間的夾角，由此可得出光子散射后的方向，連續(xù)使用這樣的過程，就可研究光子在封裝曲面中的行為。所以追蹤一個(gè)光子行為的過程是這樣的:先定光子的碰撞位置，然后再定光子的頻率改變和方向改變，對(duì)一個(gè)光子一直追蹤下去，直到它被吸收，或被反射出這個(gè)封裝曲面媒質(zhì)，或穿透過這個(gè)封裝曲面。

以后再取一個(gè)光子，用上面所述的辦法進(jìn)行追蹤。如果所取的總光子樣品數(shù)目為k，其中k′個(gè)光子被封裝曲面媒質(zhì)吸收，則吸收率ρ為

進(jìn)行蒙特卡羅模擬時(shí)，計(jì)算的光子總數(shù)和隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的質(zhì)量都會(huì)影響模擬的精度，但是當(dāng)光子數(shù)目達(dá)到一定量后，在增加光子將不會(huì)對(duì)結(jié)果的可靠性產(chǎn)生有利的因素，因此為得到小于3%的統(tǒng)計(jì)誤差，光子數(shù)為105個(gè)。確定光子的運(yùn)動(dòng)過程終止條件:光子在封裝曲面中傳輸?shù)漕l率ν衰減到低于一定的閾值時(shí)即停止。

光子運(yùn)動(dòng)的誤差函數(shù)［8］為:

式中，Xa為與置信度α對(duì)應(yīng)的量，k模擬的光子總數(shù)，δ是統(tǒng)計(jì)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)方差，定義為:

蒙特卡羅方法模擬光子運(yùn)動(dòng)的過程［9］，其步驟為:

(1)根據(jù)入射條件確定起始跟蹤點(diǎn);

(2)確定光子行進(jìn)的角度和下一次碰撞的位置;

(3)確定在該位置光子的吸收、散射和發(fā)射狀態(tài);

(4)判斷光子是否被吸收;

(5)返回第二步。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

所用軟件為Matlab7.0，盡管在每個(gè)光子運(yùn)動(dòng)垂直面中的光通量是均勻分布的，假定散射運(yùn)動(dòng)是各自獨(dú)立的。在模擬中做了幾點(diǎn)假設(shè):(1)光束是無發(fā)散;(2)光束的入射方向是2π;(3)為了利用所有模擬光子，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，假定接收屏為無限大;(4)溫度為常溫，這樣就可以無限接近LED實(shí)際的模型，模擬出LED實(shí)際發(fā)光效果，跟蹤光子在封裝曲面中散射和吸收事件，直到被吸收或者逃離表面。圖1到圖4為單一光子運(yùn)動(dòng)情況，圖1為沒有被吸收的光子空間運(yùn)動(dòng)軌跡模擬，圖2為光子被封裝曲面反射模擬，圖3為光子被封裝曲面吸收模擬，圖4為溫度升高光子運(yùn)動(dòng)模擬，圖5到圖8為大量光子與封裝曲面碰撞后的情況。

圖1 光子空間運(yùn)動(dòng)軌跡模擬

圖2 光子被封裝曲面反射模擬

圖3 光子被封裝曲面吸收模擬

得出的結(jié)論如下:

(1)在同樣的空氣濕度條件下，溫度升高，光子運(yùn)動(dòng)加速，增加與封裝曲面碰撞的可能性。

(2)封裝曲面與碰撞次數(shù)越多，則光子的運(yùn)動(dòng)頻率趨于下降趨勢。

圖4 溫度升高光子運(yùn)動(dòng)模擬

圖5 全部光子運(yùn)動(dòng)模擬

圖6 第一次與封裝曲面碰撞后光子運(yùn)動(dòng)模擬

(3)封裝曲面的材料線性吸收系數(shù)越大則光子運(yùn)動(dòng)每碰撞一次減少的數(shù)目成指數(shù)級(jí)。

5 總結(jié)

本文分析了光子在封裝曲面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過光子在封裝曲面內(nèi)的蒙特卡羅模型的建立，成功模擬了單一光子和大量光子的運(yùn)動(dòng)效果，這就為解決LED燈的封裝曲面提供了基礎(chǔ)。綜上所述，用蒙特卡羅模擬LED燈光子運(yùn)動(dòng)，有利于LED燈光照技術(shù)的發(fā)展。

圖7 第二次與封裝曲面碰撞后光子運(yùn)動(dòng)模擬

圖8 第三次與封裝曲面碰撞后光子運(yùn)動(dòng)模擬

［1］陳瓊，劉紅，李金國，沈彥南.LED光源模型研究［J］.照明工程學(xué)報(bào)，2006，17(1):10～14

［2］廖志波，楊波，常軍，王涌天.面光源的蒙特卡洛模擬［J］.照明工程學(xué)報(bào)，2006，17(1):15～20

［3］趙清泉.半導(dǎo)體發(fā)光二極管及其在照明的應(yīng)用 ［J］.光源與照明，2005，3:18～19，28

［4］周太明.半導(dǎo)體照明的曙光 ［J］.照明工程學(xué)報(bào)，2004，15(2):1～6

［5］徐政龍.論光子的衰變“宇宙紅移現(xiàn)象”的新解釋［EB/OL］.http://www.jxjy.com.cn/download/2003/20055516174716811.doc，2005-5-5/2010-3-10

［6］孫賢明，申晉，魏佩瑜.含有密集隨機(jī)分布內(nèi)核的橢球粒子光散射特性研究 ［J］.物理學(xué)報(bào)，2009，58(9):6222～6226

［7］葉華俊，鮑超，劉華鋒.光子在閃爍晶體中傳輸?shù)拿商乜_模擬 ［J］.光電工程，2002，29(4):53～56

［8］徐祺瑞，尹福昌.激光在水下多徑傳輸?shù)拿商乜_模擬［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版)，2008，31(1):81～84

［9］趙烈烽，馮華君，徐之海.用蒙特卡羅光子追跡方法分析閃光燈的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) ［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2007，27(2):335～339