基于Kalman濾波的目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量校正

徐自勵(lì)， 劉昌忠， 黃忠濤， 何東林

（中國(guó)民用航空局第二研究所，四川 成都 610041）

0 引言

多點(diǎn)定位系統(tǒng)中，目標(biāo)信號(hào)到達(dá)時(shí)間（Time of Arrival，TOA）的測(cè)量準(zhǔn)確度直接決定了系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)的定位精度。多點(diǎn)定位系統(tǒng)遠(yuǎn)端接收站對(duì)目標(biāo)信號(hào)TOA的測(cè)量基于圖1所示原理：高穩(wěn)定度晶振輸出的脈沖經(jīng)倍頻后得到測(cè)時(shí)時(shí)鐘脈沖，收到目標(biāo)信號(hào)時(shí)，計(jì)數(shù)器輸出當(dāng)前的脈沖計(jì)數(shù)值，經(jīng)計(jì)時(shí)器乘以脈沖周期并由GPS秒脈沖標(biāo)上絕對(duì)時(shí)標(biāo)后，輸出目標(biāo)信號(hào)TOA。這里的GPS秒脈沖，具有對(duì)計(jì)數(shù)器清零（實(shí)現(xiàn)多站同步）與提供目標(biāo)信號(hào)TOA絕對(duì)時(shí)標(biāo)的雙重作用。理論上說(shuō)，如果晶振頻率絕對(duì)精確穩(wěn)定，GPS秒脈沖也絕對(duì)穩(wěn)定，則測(cè)量到的目標(biāo)信號(hào)TOA將絕對(duì)準(zhǔn)確。然而，實(shí)際上晶振頻率存在漂移，GPS秒脈沖存在抖動(dòng)，從而降低了目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量的準(zhǔn)確度。

本文針對(duì)多點(diǎn)定位系統(tǒng)遠(yuǎn)端站測(cè)量目標(biāo)信號(hào)TOA的實(shí)際問(wèn)題，分析了晶振頻率偏移和GPS秒脈沖抖動(dòng)對(duì)TOA測(cè)量準(zhǔn)確度的影響，導(dǎo)出了基于Kalman濾波的目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量校正方法。數(shù)值仿真證明此方法可以有效地改善目標(biāo)信號(hào)TOA的測(cè)量準(zhǔn)確度，具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義與實(shí)用價(jià)值。

圖1 目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量原理

1 影響TOA測(cè)量準(zhǔn)確度因素分析與TOA測(cè)量校正

1.1 晶振頻率漂移對(duì)TOA測(cè)量的影響

然而實(shí)際晶振輸出的時(shí)鐘脈沖存在著頻率偏移，即實(shí)際時(shí)鐘脈沖頻率為，這里Δf為隨時(shí)間變化的隨機(jī)量，脈沖周期為。若目標(biāo)信號(hào)真實(shí) TOA為toaT，則計(jì)數(shù)器實(shí)際計(jì)數(shù)值為：

可見(jiàn)，由于時(shí)鐘頻率偏移，使得TOA測(cè)量值相對(duì)真實(shí)值產(chǎn)生了偏移。實(shí)際中如果能估計(jì)頻率偏移量fΔ，則可以修正TOA測(cè)量值為：

設(shè) GPS秒脈沖嚴(yán)格以 TG=1 s的時(shí)間間隔發(fā)送，則收到脈沖信號(hào)時(shí)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)頻率為 f0的時(shí)鐘脈沖，計(jì)數(shù)器的計(jì)數(shù)值為 N0= f0，對(duì)頻率為 f = f0+Δ f 的時(shí)鐘脈沖，計(jì)數(shù)器的計(jì)數(shù)值為 N = f0+Δf 。利用收到GPS秒脈沖時(shí)計(jì)數(shù)器的計(jì)數(shù)值對(duì)頻率偏移Δf進(jìn)行估計(jì)，有：

代入式（4），得到目標(biāo)信號(hào)TOA的修正值：

這里，Ttoa′是目標(biāo)信號(hào)到達(dá)時(shí)計(jì)時(shí)器的計(jì)時(shí)值，Gtoa是GPS秒脈沖到達(dá)時(shí)計(jì)時(shí)器的計(jì)時(shí)值。因此，當(dāng)測(cè)時(shí)時(shí)間脈沖存在頻率偏移時(shí)，可以利用收到GPS秒脈沖時(shí)計(jì)時(shí)器的值對(duì)目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量進(jìn)行校正。

1.2 GPS秒脈沖抖動(dòng)對(duì)TOA測(cè)量的影響

對(duì)因時(shí)鐘頻率偏移引起的TOA測(cè)量誤差進(jìn)行校正時(shí)，假設(shè)了GPS秒脈沖嚴(yán)格以的時(shí)間間隔發(fā)送，然而實(shí)際的GPS秒脈沖存在抖動(dòng)(即使非常小)[1]。設(shè)GPS秒脈沖以時(shí)間間隔發(fā)送，這里tδ是很小的隨機(jī)量，則對(duì)標(biāo)準(zhǔn)頻率為0f的時(shí)鐘脈沖，計(jì)數(shù)器的計(jì)數(shù)值為：

于是利用收到GPS秒脈沖時(shí)計(jì)數(shù)器的計(jì)數(shù)值對(duì)頻率偏移fΔ的估計(jì)為：利用式（4），得到目標(biāo)信號(hào)TOA的修正值為

由此可見(jiàn)，同時(shí)考慮晶振頻率偏移與GPS秒脈沖抖動(dòng)時(shí)，對(duì)目標(biāo)信號(hào)TOA的測(cè)量值應(yīng)根據(jù)收到GPS秒脈沖時(shí)計(jì)時(shí)器的計(jì)時(shí)值Gtoa與GPS秒脈沖抖動(dòng)tδ利用式（10）進(jìn)行修正。然而實(shí)際中tδ無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量，這樣只能用：

進(jìn)行修正。由此引入的絕對(duì)誤差為：

由式（12）可見(jiàn)，當(dāng)GPS秒脈沖抖動(dòng)tδ一定時(shí)，Ttoa′越小，即目標(biāo)信號(hào)到達(dá)時(shí)間相對(duì)下一個(gè)GPS秒脈沖到達(dá)時(shí)間越早，由式（11）進(jìn)行TOA修正引入的誤差越小。

2 基于Kalman濾波的TOA測(cè)量校正

引起晶振實(shí)際頻率相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)頻率發(fā)生偏移的因素很多，包括切片工藝、工作環(huán)境、溫度變化、電壓變化等，因此實(shí)際晶振輸出時(shí)鐘脈沖頻率相對(duì)給定標(biāo)準(zhǔn)頻率的偏移fΔ是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，且實(shí)際當(dāng)中無(wú)法測(cè)量的GPS秒脈沖抖動(dòng)tδ也是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。根據(jù)式（8）有：

因此收到GPS秒脈沖序列時(shí)，計(jì)時(shí)器的計(jì)時(shí)值序列Gtoa可以認(rèn)為是一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程[2]。為了對(duì)目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量進(jìn)行校正，需要跟蹤并預(yù)測(cè)GPS秒脈沖到來(lái)時(shí)Gtoa的變化情況，而跟蹤并預(yù)測(cè)Gtoa的變化，采用Kalman濾波是一種很好的方式[3-5]。

由于觀測(cè)到的Gtoa序列是標(biāo)量時(shí)間序列，且沒(méi)有外加激勵(lì)，因此采用標(biāo)量差分方程表示系統(tǒng)狀態(tài)模型（為表示方便，以z代替Gtoa）：

這里過(guò)程噪聲 wk可以認(rèn)為主要是 GPS秒脈沖抖動(dòng)，wk～ N ( 0 ,Q )，觀測(cè)噪聲 vk主要是計(jì)時(shí)精度限制引入的量化噪聲，，其方差因此，這種情況下Kalman濾波只能得到“準(zhǔn)最佳”估計(jì)。

Kalman濾波的狀態(tài)更新方程為：

測(cè)量更新方程為：

利用Kalman濾波，跟蹤并預(yù)測(cè)Gtoa的變化，并利用式（11）的修正關(guān)系，即可動(dòng)態(tài)地對(duì)目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量的誤差進(jìn)行補(bǔ)償，提高TOA測(cè)量的準(zhǔn)確度。

3 數(shù)值仿真

直接利用實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證上面導(dǎo)出的TOA修正算法需要采集很長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)據(jù)，并且系統(tǒng)其它噪聲可能會(huì)掩蓋算法修正效果，因此采用數(shù)值仿真的方法分別驗(yàn)證上述兩部分算法的有效性。實(shí)際中目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量通常以ns為單位，這里也統(tǒng)一以 ns為單位（為避免繪圖時(shí)坐標(biāo)范圍太大，部分圖例采用其它時(shí)間單位坐標(biāo)刻度）。

3.1 TOA測(cè)量校正

直接對(duì)時(shí)間頻率偏移引起 TOA測(cè)量誤差的校正算法進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，難于確定一個(gè)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)，因此采用間接驗(yàn)證的方法：設(shè)有兩個(gè)遠(yuǎn)端接收站，一個(gè)與這兩個(gè)接收站距離相等的目標(biāo)，則當(dāng)兩接收站完全同步，并且兩站時(shí)間脈沖具有完全相同的頻率時(shí)，測(cè)量到目標(biāo)信號(hào)到達(dá)兩接收站的時(shí)間差（Time Difference of Arrival，TDOA）應(yīng)該為0；若兩個(gè)接收站時(shí)鐘脈沖頻率存在不同的偏移，則測(cè)量到的TDOA不為0。

于是，可以通過(guò)驗(yàn)證對(duì)兩站測(cè)量到的 TOA進(jìn)行校正后TDOA的改善來(lái)評(píng)估算法的有效性。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：時(shí)鐘脈沖標(biāo)準(zhǔn)頻率f0=100 MHz,；GPS秒脈沖抖動(dòng) δ t=20 ns （修正 TOA時(shí)假設(shè)未知）；接收站 1的實(shí)際時(shí)鐘脈沖頻率f1=99.99999 MHz，接收站 2的實(shí)際時(shí)鐘脈沖頻率f1=100.00001 MHz；設(shè)兩個(gè)遠(yuǎn)端接收站經(jīng)GPS秒脈沖同步后，目標(biāo)每隔50 ms發(fā)送一次信號(hào)，忽略晶振短穩(wěn)與計(jì)時(shí)器量化誤差。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2～7所示，其中圖2～4是未經(jīng)TOA校正的結(jié)果（與實(shí)際設(shè)備測(cè)試的結(jié)果很接近），圖5～7是經(jīng)TOA測(cè)量校正的結(jié)果。顯然，經(jīng)過(guò)校正后，TDOA值已基本為0，證實(shí)了TOA測(cè)量校正算法是很有效的。下頁(yè)圖8～9為兩接收站TOA測(cè)量校正值與實(shí)際TOA值的誤差，證實(shí)了當(dāng)GPS秒脈沖抖動(dòng)δt一定時(shí)，toaT′越小，即目標(biāo)信號(hào)到達(dá)時(shí)間越早，由式（11）進(jìn)行TOA修正引入的誤差越小的結(jié)論。

圖2 1接收站測(cè)量的TOA（未經(jīng)校正）

圖3 2接收站測(cè)量的TOA（未經(jīng)校正）

圖4 兩接收站測(cè)量信號(hào)的TDOA（未經(jīng)校正）

圖5 1接收站測(cè)量的TOA（已經(jīng)校正）

圖6 2接收站測(cè)量的TOA（已經(jīng)校正）

3.2 時(shí)鐘頻率變化的Kalman濾波跟蹤

由于實(shí)際晶振的頻率漂移是慢變化過(guò)程，因此可設(shè)式（14）中的參數(shù)A=1。設(shè)時(shí)鐘脈沖的標(biāo)準(zhǔn)頻率f0=100 MHz，在600 s時(shí)間內(nèi)時(shí)鐘頻率的漂移如圖10所示；GPS秒脈沖抖動(dòng)計(jì)時(shí)器量化誤差模擬出600 s內(nèi)接收到GPS秒脈沖時(shí)計(jì)時(shí)器未標(biāo)絕對(duì)時(shí)標(biāo)的測(cè)量數(shù)據(jù)值如圖11所示，圖11中還繪出了由Kalman濾波得到的測(cè)量數(shù)據(jù)的先驗(yàn)估計(jì)值（預(yù)測(cè)值）與后驗(yàn)估計(jì)值。圖12、13為先驗(yàn)估計(jì)值、后驗(yàn)估計(jì)值與測(cè)量數(shù)據(jù)間的誤差。從圖13所示結(jié)果可以看出，利用Kalman濾波估計(jì)出的計(jì)時(shí)值與實(shí)際值非常接近，即利用Kalman濾波可以很好地跟蹤GPS秒脈沖到來(lái)時(shí)計(jì)時(shí)器測(cè)量值的變化；而從圖12結(jié)果可看出，Kalman濾波通過(guò)跟蹤數(shù)據(jù)中時(shí)鐘頻率漂移的趨勢(shì)，提供了誤差主要取決于GPS秒脈沖抖動(dòng)的測(cè)量數(shù)據(jù)的較好預(yù)測(cè)，該預(yù)測(cè)值將用于目標(biāo)信號(hào)TOA的測(cè)量校正。雖然參數(shù)Q與R的選擇直接影響到濾波效果，實(shí)際中需要仔細(xì)選擇[7]，但這里數(shù)值仿真的條件與參數(shù)設(shè)置都盡可能反映實(shí)際系統(tǒng)工作情況，并且因?yàn)閷?shí)際晶振的頻率漂移比仿真設(shè)置的還要緩慢，因此可以預(yù)料此方法運(yùn)用于實(shí)際系統(tǒng)中也能取得較好的效果。

圖7 兩接收站測(cè)量信號(hào)的TDOA（已經(jīng)校正）

圖8 1接收站TOA校正值與實(shí)際值的誤差

圖9 2接收站TOA校正值與實(shí)際值的誤差

圖10 時(shí)鐘脈沖頻率漂移特性

圖11 時(shí)間測(cè)量值與估計(jì)值

圖12 先驗(yàn)估計(jì)誤差

圖13 后驗(yàn)估計(jì)誤差

綜合兩部分仿真結(jié)果所顯示的算法性能，可見(jiàn)對(duì)于多點(diǎn)定位系統(tǒng)遠(yuǎn)端站測(cè)量目標(biāo)信號(hào)TOA時(shí)存在的時(shí)鐘脈沖頻率偏移問(wèn)題，運(yùn)用Kalman濾波估計(jì)GPS脈沖到達(dá)時(shí)間并利用該估計(jì)值修正目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量值的方法，可以改善目標(biāo)信號(hào)TOA的測(cè)量準(zhǔn)確度，具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義與實(shí)用價(jià)值。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)多點(diǎn)定位系統(tǒng)遠(yuǎn)端站測(cè)量目標(biāo)信號(hào) TOA的實(shí)際問(wèn)題，分析了晶振頻率偏移和GPS秒脈沖抖動(dòng)對(duì)TOA測(cè)量準(zhǔn)確度的影響，導(dǎo)出了TOA測(cè)量校正方法。通過(guò)利用Kalman濾波，估計(jì)GPS脈沖到達(dá)時(shí)間并利用該估計(jì)值修正因時(shí)鐘脈沖頻率漂移導(dǎo)致的目標(biāo)信號(hào)TOA測(cè)量誤差。數(shù)值仿真證明此方法可以有效地改善目標(biāo)信號(hào)TOA的測(cè)量準(zhǔn)確度，對(duì)多點(diǎn)定位系統(tǒng)具有很現(xiàn)實(shí)的實(shí)用價(jià)值。

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