基于遺傳算法的交叉滾子軸承優(yōu)化設計

張 鋼，阮 娟，殷慶振，張 雪，蔣德得，劉 瑩

(上海大學 軸承研究所，上海 200072)

交叉滾子軸承廣泛應用在機器人關(guān)節(jié)、減速器、旋轉(zhuǎn)單元、加工中心轉(zhuǎn)臺、醫(yī)療設備、精密轉(zhuǎn)臺、測量裝置、IC卡制造設備和紡織機械等領(lǐng)域。大型交叉圓柱滾子轉(zhuǎn)盤軸承還應用于礦山機械、建筑工程機械等大型回轉(zhuǎn)臺上。下文采用遺傳優(yōu)化算法建立了交叉滾子軸承的結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學模型，對軸承的結(jié)構(gòu)設計參數(shù)進行了多目標遺傳優(yōu)化設計計算。結(jié)果表明，通過改進軸承的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以顯著提高軸承的額定動載荷，從而提高軸承的額定壽命。

1 交叉滾子軸承的優(yōu)化設計

優(yōu)化設計必須建立軸承優(yōu)化設計的數(shù)學模型，包括目標函數(shù)、約束條件和優(yōu)化算法的選定。

1.1 目標函數(shù)

軸承優(yōu)化設計的目標函數(shù)通常包括：疲勞壽命最長；旋滾比最?。荒湍勖铋L；摩擦力矩最小；額定靜載荷最大或者包含多項指標的多目標函數(shù)[1]。

考慮到在實際應用中要求交叉滾子軸承具有承載能力高、轉(zhuǎn)速高、回轉(zhuǎn)精度高、安裝簡便等特點，認為交叉滾子軸承的旋滾比、耐磨壽命和摩擦力矩等使用性能比較充裕，并不是要解決的主要矛盾，而疲勞壽命和額定靜載荷對交叉滾子軸承的使用性能具有相當重要的意義[2]。因此，優(yōu)化設計時以交叉滾子軸承的疲勞壽命最長和額定靜載荷最大組建多目標函數(shù)。

圓柱滾子軸承的基本額定動載荷計算公式為[3]：

(1)

式中：λv為接觸狀態(tài)系數(shù)，可參照標準查得；γ=Dw/Dpw，Dw為滾子直徑，Dpw為滾子組節(jié)圓直徑；i為滾子列數(shù)；Lw為滾子有效長度；Z為每列滾子個數(shù)。

額定靜載荷公式為[3]：

C0=44(1-γ)iLwZDw

(2)

這是多目標約束函數(shù)的優(yōu)化問題，采用線性加權(quán)法確定幾個目標函數(shù)的權(quán)數(shù)，再進行相加即得到統(tǒng)一的目標函數(shù)。為了便于計算，通常取其負數(shù)或倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為極小值問題，其表達式為：

F(X)=-ω1C-ω2C0

(3)

式中：F為目標函數(shù)；X為優(yōu)化參數(shù)；ω為權(quán)數(shù)，根據(jù)各目標函數(shù)對交叉滾子軸承性能的影響因素，?。?/p>

ω=[0.8 0.2]

(4)

優(yōu)化問題一般求的是極小值，故目標函數(shù)為：

F(X)=-0.8C-0.2C0

(5)

1.2 設計變量

從(1)和(2)式可知，有關(guān)軸承結(jié)構(gòu)設計變量的參數(shù)包括滾子組節(jié)圓直徑Dpw、滾子直徑Dw、滾子有效長度Lw和滾子個數(shù)Z。根據(jù)軸承幾何學關(guān)系，確定了以上的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)可以通過它們計算出來。因此，軸承優(yōu)化設計的設計變量可表示為：

X=[DpwDwLwZ]

(6)

1.3 約束條件

1.3.1 滾子組節(jié)圓直徑

滾子組節(jié)圓直徑關(guān)系到滾子直徑的大小和套圈的厚度，進而關(guān)系到軸承的壽命。其與軸承平均直徑的差應小于規(guī)定值，取值范圍在0.5(de+di)～(0.5+e)(de+di)之間，這里de與di分別為軸承的外徑與內(nèi)徑，e為規(guī)定的常數(shù)[4](e的取值為0.02～ 0.1)。交叉滾子軸承套圈壁薄且極限轉(zhuǎn)速高，其節(jié)圓直徑要相對稍大一點，根據(jù)經(jīng)驗e取0.04，則滾子組節(jié)圓直徑Dpw的約束條件為：

0.5(de+di)≤Dpw≤0.54(de+di)

(7)

即有：

G1(X)=0.5(de+di)-Dpw≤0

(8)

G2(X)=Dpw-0.54(de+di)≤0

(9)

1.3.2 滾子直徑

滾子直徑Dw的變化對徑向基本額定動載荷C的影響較大，必須充分利用有限的滾子軸承橫截面積，盡可能增大Dw[4]，根據(jù)交叉滾子軸承設計經(jīng)驗，Dw的取值范圍為：

(10)

轉(zhuǎn)化約束條件為：

G3(X)=0.106(de-di)-Dw≤0

(11)

G4(X)=Dw-0.212(de-di)≤0

(12)

1.3.3 保持架約束條件

保持架最小厚度h根據(jù)軸承大小和類型來確定，交叉滾子軸承保持架通常為隔離塊，為實現(xiàn)交叉滾子軸承的高承載能力，需要適當減小隔離塊的厚度，以增多滾子的數(shù)目，這里保持架(隔離塊)設計的約束條件可取為：

1.5≤h≤5

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.3.4 滾子長度

交叉滾子軸承的滾子是相互垂直交叉地排列在夾角為90°的V形溝槽滾道面上，結(jié)合其滾道特殊性，滾子長度的約束條件[4]為：

0.6B-2Lwcos 45°≥0

(18)

G7(X)=2Lwcos 45°-0.6B≤0

(19)

式中：B為軸承寬度。

1.3.5 外圈壁厚

外圈有效壁厚是影響外圈剛度和強度以及滾子直徑和滾子長度的重要參數(shù)，最小壁厚應不小于εDw，ε為規(guī)定的常數(shù)[4](ε的取值范圍為0.3～ 0.35)，根據(jù)交叉滾子軸承特殊的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和設計經(jīng)驗，ε取0.3，因此外圈壁厚的約束條件可以表示為：

(20)

(21)

在所有的約束中，除了約束條件G5，G6為非線性約束條件外，其他約束條件都為線性約束，可用矩陣表示。

2 遺傳優(yōu)化算法和程序框圖

2.1 遺傳算法

采用Matlab自帶的遺傳算法與直接搜索工具箱(Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox)，簡稱GADS工具箱[5]。其可以處理傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)難以解決的問題，包括難以定義或不便于進行數(shù)學建模的問題；可以解決目標函數(shù)不連續(xù)或具有高度非線性、隨機性以及目標函數(shù)不可微等復雜問題。

遺傳算法工具箱有兩種調(diào)用方式：一種是以命令行調(diào)用遺傳算法函數(shù)ga；另一種是通過命令gatool調(diào)用圖形用戶界面使用遺傳算法工具?，F(xiàn)用第一種方式進行調(diào)用。

2.2 程序框圖

基于Matlab軟件中的遺傳工具箱編制優(yōu)化計算程序，利用計算機對優(yōu)化數(shù)學模型進行計算尋優(yōu)，大大節(jié)省了人力，縮短了軸承設計周期，其程序框圖如圖1所示[5]。

圖1 遺傳優(yōu)化計算的程序框圖

3 計算實例分析

根據(jù)交叉滾子軸承的優(yōu)化模型編制Matlab程序，選擇計算參數(shù)進行計算。利用Matlab軟件的圖形用戶界面(Graph User Interface，GUI)模塊創(chuàng)建用戶界面(圖2)，從而使工程技術(shù)人員不必了解Matlab語言即可使用此優(yōu)化程序進行設計計算。

圖2左側(cè)是優(yōu)化計算程序的輸入?yún)?shù)，分別為軸承的內(nèi)徑、外徑和寬度，這些參數(shù)是軸承的外形參數(shù)，是確定軸承與軸和軸承座配合的已知尺寸。圖2右側(cè)輸出優(yōu)化計算結(jié)果，分別為滾子組節(jié)圓直徑、滾子直徑、滾子個數(shù)、滾子長度、適應度函數(shù)值、額定靜載荷和額定動載荷。其中，滾子組節(jié)圓直徑、滾子直徑、滾子個數(shù)和滾子長度為優(yōu)化變量參數(shù)。適應度函數(shù)為衡量優(yōu)化結(jié)果的評價函數(shù)，值越小，說明優(yōu)化狀態(tài)越好。額定靜載荷和額定動載荷則是通過優(yōu)化結(jié)果計算出來的衡量軸承使用壽命的重要指標。另外，該程序還設置了重置和計算兩個控件按鈕，重置按鈕使面板中的輸入和輸出參數(shù)置0，計算按鈕則是在輸入?yún)?shù)為正數(shù)的情況下進行優(yōu)化計算。

圖2 優(yōu)化程序界面

由于遺傳優(yōu)化算法的隨機性，故需要以統(tǒng)計的數(shù)據(jù)進行處理。以出口的交叉滾子軸承KBCB060-A為例，其外形參數(shù)為：內(nèi)徑24 mm，外徑60 mm，寬度18 mm，基本額定動載荷5 257.8 N。通過計算，隨機抽取10組有效數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 10組優(yōu)化參數(shù)的數(shù)據(jù)

從表1可以看出，這10組的適應度函數(shù)值差距不大，說明所編的優(yōu)化算法具有很好的穩(wěn)定性。同時，通過優(yōu)化后的設計參數(shù)計算出的額定動載荷C值也比較穩(wěn)定。第5組數(shù)據(jù)中的適應度函數(shù)最小，是優(yōu)化函數(shù)的最優(yōu)值，并且用這組數(shù)據(jù)計算出來的額定動載荷值也達到了最大。因此，從這10組數(shù)據(jù)來看，第5組數(shù)據(jù)應作為最終的優(yōu)化結(jié)果。

優(yōu)化前、后的對比結(jié)果如表2所示。實際設計中用圓整后的數(shù)據(jù)，軸承的優(yōu)化設計參數(shù)確定為：Dpw=44.6 mm，Dw=4 mm，Z=24個，Lw=3.8 mm。優(yōu)化后軸承的額定動載荷提高到5 833.4 N，比優(yōu)化前提高了10.95%，根據(jù)軸承壽命和額定動載荷的關(guān)系，額定壽命提高了41.4%。

表2 優(yōu)化前、后數(shù)據(jù)對比

4 結(jié)束語

通過建立交叉滾子軸承的優(yōu)化設計數(shù)學模型，對軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行多目標遺傳優(yōu)化計算。計算結(jié)果表明，改進軸承的內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)能顯著提高軸承的額定動載荷，并且試驗證明優(yōu)化后的軸承壽命有了明顯的提高。為軸承的設計提供了具有實際指導意義的優(yōu)化設計方法，具有較好的創(chuàng)新意義和工程應用價值，優(yōu)化結(jié)果可直接作為工程設計的參考，充分顯示了滾動軸承優(yōu)化設計的經(jīng)濟意義。