路面溫度場的數(shù)值解及幾個關鍵問題探討

談至明,鄒曉翎,劉伯瑩

(1.同濟大學 道路與交通工程教育部重點實驗室,上海 201804;2.中交橋梁技術有限公司,北京 100029)

路面結構溫度場的影響因素眾多,在以往的研究中常采用一些簡化或近似處理,例如,層狀的路面結構等效簡化為均質半無限體,路面與天空的相互輻射與溫度關系線性化,天空有效溫度用氣溫代替等等[1-3].但是,對這些簡化或近似處理方法帶來的偏差的研究欠深入,由此獲得的路面溫度場分析結果精度難以估計.因此,弄清這些簡化或近似處理方法所帶來的偏差,對于深化路面溫度場的研究和提高其分析精度具有重要意義.

1 路面的熱傳導問題及差分解

對于厚度方向遠比平面尺寸小很多的路面結構來說,其溫度場可視為厚度方向一維熱傳導問題.當路面各結構層之間接觸良好且無熱阻情況下,路面溫度場Ti(x,t)的偏微分方程可表示為

式中:αi,λi,hi分別為第i層路面結構層的導溫系數(shù)、導熱系數(shù),結構層厚度;x為計算點距路表深度;t為時間.參見圖1.

圖1 路面結構示意圖Fig.1 Schematic o f pavem ent structu re

式(2)等式右邊第一項a s Q s(t)為路面吸收太陽輻射能,其中,αs是路表對太陽輻射的吸收率,水泥混凝土路面為0.72～0.78,瀝青路面為0.86～0.90;Qs(t)為太陽輻射強度,可表示為

式中:f為云、水汽、浮塵等影響的折減系數(shù);Q0為太陽輻射常數(shù)(1 353 W·m-2);h?為太陽髙度,與地理緯度、太陽赤緯以及時刻有關.

式(2)等式右邊第二項Bc(T1(0,t)-Ta)是路面與空氣熱對流交換的熱流損失量,其中,Ta為氣溫,Bc為地氣傳熱系數(shù),它與風速、空氣濕度等因素有關,一般變化在18～26W·m-2·K-1之間.

求解偏微分方程(1)需己知初始時刻t=0的路面溫度Ti(x,0),以及路表邊界的溫度T1(0,t)或路表熱流q1(0,t).路表熱流q1(0,t)主要由3部分構成:太陽輻射、路面與空氣熱對流交換、路面與天空的相互輻射,即為路面與天空相互輻射的熱流損失量,其中,C為黑體輻射常數(shù)=5.673×10-8W ·m-2·K-4;εp為路面輻射發(fā)射率,其值在 0.60～0.66之間;αa路表長波吸收率,約為 0.82～0.88;εa為天空輻射發(fā)射率,其值在0.87～0.91之間;Tsky為天空有效溫度.

在已知路面溫度初值Ti(x,0)和路表邊界溫度T1(0,t)或熱流q1(0,t)條件下,偏微分方程(1)可用有限差分法求解[4-5].將路面沿深度x方向按間距Δx分割為m段,并保證路面各層的交接面有分割點,沿時間 t方向按步長 Δt分割為n段,從時間t=0開始,每段間隔為Δt,向前差分,則偏微分方程(1)離散為

式中:ri為步長比,ri=αiΔt/Δx2.

對于已知路表溫度的邊界節(jié)點T1,j,則有

已知路表熱流的邊界節(jié)點 T1,j,可根據(jù)熱平衡關系進行離散

式中:ρs,cs分別為路面表層材料的密度和熱容量系數(shù).

當步長比r≤0.5時,上述差分格式是穩(wěn)定收斂的.下面通過2個有理論精確解的均質半無限體已知表面溫度T(0,t)和表面熱流q1(0,t)呈正弦周期變化的例子,了解差分網(wǎng)格劃分細疏程度以及步長比對數(shù)值解精度的影響.差分網(wǎng)格劃分細疏程度用一個周期內(nèi)單位深度范圍的差分網(wǎng)格數(shù)N來表征,即

式中:A為周期長度,在例子中取24 h;n為一周期內(nèi)的時間步長數(shù).

計算表明,在已知表面溫度時,半無限體溫度數(shù)值解的最大誤差出現(xiàn)在深度0.1 m附近,而己知表面熱流時,數(shù)值解的最大誤差出現(xiàn)在表面.圖2為不同步長比r條件下差分網(wǎng)格數(shù)N與相對于精確解振幅的數(shù)值解最大誤差的關系圖,其中,α取0.002 8 m2·h-1,λ取1.3W·m-1·K-1.從圖2中可以看到,已知表面溫度的差分數(shù)值解比己知表面熱流的差分數(shù)值解收斂快;步長比r在0.15～0.20時的數(shù)值解收斂速度最佳;步長比r為0.20且已知表面溫度的場合,N≥90時,數(shù)值解計算誤差可控制在1.0%,N≥2 800時,誤差可控制在0.1%;而在已知表面熱流場合,N≥1 200時,數(shù)值解計算誤差可控制在1.0%,N≥36 000時,誤差可控制在0.1%.因此,在以下的分析計算中,步長比r取0.20,時間步長Δt取2 min,即n=720(N≈36 000),以保證差分數(shù)值解的精度.

圖2 差分數(shù)值解的誤差圖Fig.2 Error o f the finite differencem ethod

2 層狀路面結構簡化的誤差

文獻[2-3]認為一般路面結構材料的導熱性能差別不太大,在不設隔熱層條件下,可引入結構層厚度的導熱系數(shù)當量變換,將多層路面結構溫度場求解簡化為均質半無限體的熱傳導問題.下面通過考察己知路表溫度、己知路表熱流條件下,典型水泥混凝土路面和瀝青路面簡化為均質半無限體所帶來的偏差,以了解均質半無限體簡化的適用范圍和精度.

典型水泥混凝土路面和瀝青路面結構的示意圖見圖3,在設爐渣隔熱層或聚苯乙烯(EPS)隔熱層時,假設隔熱層設在基層下方,厚度為0.1m(圖3中虛線位置),原石灰土墊層厚度由0.3 m減為0.2 m,各結構層的材料導熱、導溫系數(shù)見表1[6-7].分別按層狀結構和簡化半無限體計算已知路表溫度、熱流正弦周期變化條件下路表及各結構層層底(見圖3中的A,B,C,C1,D點)的最高、最低溫度與相位角.計算結果表明,按簡化半無限體得到的路面結構各特征點的最高、最低溫度值與層狀結構特征點的最高、最低溫度值之間的偏差不太大,它們之間的最大相對溫度偏差(最高溫度差與最低溫度差的大者與路表溫度振幅之比),除設EPS隔熱層之外,均不超過4%,設EPS隔熱層時也不大于10%,見圖4,5;簡化半無限體的各特征點相位角與層狀結構的相位角對應的時間偏差,面層的最大偏差僅0.2 h左右,基層的最大偏差也不大于1.0 h,EPS隔熱層及墊層的相位角偏差較大,最大可達4.0～6.0 h.上述結果表明,在路面溫度場精度要求不太高及未設如EPS等高效隔熱層時,將多層路面結構溫度場求解簡化為半無限體的熱傳導問題是基本可行的,但若釆用如差分法等數(shù)值解時,可直接分析層狀結構的熱傳導問題,而不需將其簡化為均質半無限體.

圖3 典型路面結構及特征點示意圖Fig.3 Typical pavem ent structure and calculating location s

表1 路面結構的材料導熱系數(shù)、導溫系數(shù)Tab.1 Heat conductivity and therm al conductivity coefficients of road mater ia ls

圖4 半無限體簡化的最大相對溫度偏差(已知路表溫度)Fig.4 Max relative temperature error of sem i-infinite body(given surface tem perature)

圖5 半無限體簡化的最大相對溫度偏差(已知路表熱流)Fig.5 M ax relative temperature error of sem i-in finite body(given surface heat f lux)

3 路面與天空相互輻射的簡化誤差

從式(2)可以看出,路面與天空相互輻射與路表溫度 T1(0,t)和天空有效溫度 Tsky的4次冪有關,所以偏微分方程是非線性,求解十分困難;在差分數(shù)值解時也需要通過求解一元四次方程才能得到路表溫度T1(0,t).為了簡化計算,文獻[1]將路面與天空相互輻射在攝氏零度處作一階泰勒近似

就目前的數(shù)值計算能力來看,這種為了避開求解一元四次方程而一階近似是沒有必要的.從下面的例子可以看到,這種近似處理方法會使路面最高溫度與溫度日較差(日最高溫度與最低溫度之差)偏大,其中,路表最高溫度偏大超過1℃,隨著深度加大,這種偏差有逐漸減少之勢;路面結構各特征點的溫度日較差均偏大3%左右,見圖6.圖6的計算條件為:太陽輻射按北京地區(qū)夏至時節(jié)晴天為基準,考慮云、水汽、塵埃等影響的太陽最大輻射強度fQ0取900W·m-2;氣溫Ta的日交變按正弦變化,日平均氣溫取20℃;日較差取10℃;天空有效溫度Tsky取Ta-15℃;路面深度5 m處設為20℃恒溫下邊界;其他參數(shù):Bc,αs,εp,αa,εa取第 1節(jié)中給出數(shù)值范圍的中值.路面結構及參數(shù)同上節(jié)中的兩種典型結構.

4 天空有效溫度估計偏差的影響

地球大氣層對短波為主的太陽輻射吸收率很低,但大氣中二氧化碳、水汽、臭氧等對長波為主的地面輻射具有較強的吸收作用,這幾種氣體在吸收地表長波輻射的同時也不斷向四周輻射能量,其中,指向地面的大氣輻射稱之為天空逆輻射.天空有效溫度Tsky就是表征天空逆熱輻射總量的溫度參數(shù).它與所在地區(qū)的時(季節(jié))空(緯度、海拔)、空氣濕度和云量等因素有關,當云層厚且低時,天空逆輻射以云層為主,Tsky接近氣溫;天氣干燥且無云時,臭氧的輻射量比例增大,Tsky降低,向臭氧層溫度靠近.有研究指出,我國的Tsky值與氣溫Ta的差值從南到北遞增,夏季變化在-12～-16℃,冬季變化在-15～-27℃[8].

圖6 路面與天空相互輻射的簡化誤差Fig.6 Error of pavem ent surface tem perature an d sk y ef fective tem peratu re

由于天空有效溫度 Tsky的影響因素眾多,且未列于氣象監(jiān)測項目,因此,其準確值難以確定.在有些路面溫度場研究中,近似用氣溫Ta代替,這種近似方法是不能接受的,它會使路面溫度計算值偏高.圖7給出了天空有效溫度 Tsky與氣溫 T a之差 ΔT(ΔT=Ta-Tsky)為10,20和 30℃時,天空有效溫度Tsky與仍按氣溫Ta取值,造成的水泥路面(瀝青路面的情況也相似)各特征點(其他參數(shù)同第3節(jié)的例子)最髙溫度偏差值與溫度日較差的偏差值.從圖7中可以看到,天空溫度 Tsky用氣溫Ta代替,會使路面結構的整體溫度偏大,但對溫度日較差的影響很小,路面最髙溫度的偏差值隨著ΔT值擴大而加大,其中,路表最髙溫度偏差值與ΔT之比在15%上下;隨著深度增加,最高溫度的偏差量減小甚微,而溫度日較差的偏差有擴大之勢,也就是說,天空有效溫度將給路面溫度場帶來全局性的不利影響.

圖7 天空有效溫度估計偏差對水泥路面溫度場的影響Fig.7 Effects of estimated error o f sky effective temperature on tem perature field of cement concrete pavem ent

5 初始溫度偏差的影響

應用差分法求解非穩(wěn)態(tài)路面溫度場,需已知初始時刻的路面溫度沿深度分布狀況,即T(x,0)需已知.但在實際應用時,路表以下的溫度初始分布是難以精確估計的.

對于上述兩個典型路面結構,當路面深度在0～0.5 m及0.5～1.0 m范圍內(nèi)的初始溫度估計偏差為±2℃,±5℃時,路面結構各特征點溫度偏差小于允許偏差±0.2℃的消散歷時,如圖8所示.從圖8可以看到,以允許偏差±0.2℃計,深度0～0.5m范圍內(nèi)溫度偏差±2℃時,面層消散時間為2～3 d,基層為3～4 d,墊層為4～5 d;溫度偏差增至±5℃時,各層的消散時間約比±2℃時的消散時間增大一倍;同初始溫度偏差量條件下,0.5～1.0 m范圍內(nèi)溫度偏差的消散時間比0～0.5 m范圍內(nèi)溫度偏差的消散時間多一倍.由此可見,路面溫度初始值的估計偏差對路面溫度場影響會隨著時間的增加而漸漸變小,在相同誤差范圍條件下,深度越淺,溫度初始值的估計偏差的不利影響消散越快.

圖8 溫度初值偏差的消散歷時圖Fig.8 Dispersing tim e of initia l tem perature error

6 結論

(1)釆用有限差分法求解路面溫度場是合適的,其步長比r取0.2左右時收斂速度最佳,時間步長Δt取2min,數(shù)值解計算誤差基本可控制在0.1%之內(nèi).

(2)未設如EPS等高效隔熱層的路面結構,其溫度場求解簡化為半無限體熱傳導問題是基本可行的,偏差不大于4%.釆用差分法等數(shù)值解時,可直接分析層狀結構的熱傳導問題,不需將其簡化.

(3)為避開求解一元四次方程而將路面與天空相互輻射項中的路表溫度T1(0,t)和天空有效溫度Tsky的4次冪關系作一階近似沒有必要,它會引起路面最高溫度與日較差偏大.

(4)天空有效溫度T sky不能用氣溫T a代替,否則會使路面溫度計算值偏高,溫度日較差的偏差隨深度增加有擴大之勢.由于天空有效溫度不是氣象檢測項目,因此,準確地估計天空有效溫度將成為路面溫度場研究中關鍵問題之一.

(5)溫度初始值的估計偏差對路面溫度場的影響可隨著時間的增加而漸漸消散,深度越淺消散越快.以允許偏差±0.2℃計,深度0～0.5 m范圍內(nèi)溫度偏差±2℃時,面層消散時間為2～3 d,基層為3～4 d,墊層為4～5 d;溫度偏差增至±5℃時,各層消散時間約增大一倍;溫度偏差相同條件下,0.5～1.0 m范圍內(nèi)溫度偏差的消散時間比0～0.5 m的多一倍.

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