基于離散小波變換的時變結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識別

王超，任偉新，黃天立

(中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410075)

時不變模型可以用來描述許多結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)特性，目前，許多研究主要針對于線性時不變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的正問題和反問題。然而，許多實際的土木工程結(jié)構(gòu)在其運(yùn)營過程中表現(xiàn)出時變特性，例如列車過橋時橋梁的振動、結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷導(dǎo)致剛度退化等，結(jié)構(gòu)參數(shù)(剛度、阻尼和質(zhì)量等)會隨時間發(fā)生變化。因此，識別這類結(jié)構(gòu)的時變特征參數(shù)對監(jiān)測結(jié)構(gòu)運(yùn)營狀況和診斷結(jié)構(gòu)損傷情況具有實際意義。對于時變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別，近年來許多研究人員提出了多種方法，如：續(xù)秀忠等[1-2]提出了用時頻分析和非平穩(wěn)時間序列的時變自回歸建模的方法進(jìn)行時變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識別；Liu等[3-4]提出了子空間識別方法，并建立了一個軸向移動懸臂梁試驗來驗證所提出的方法；龐世偉等[5]提出了基于整體數(shù)據(jù)子空間方法的改進(jìn)算法，增強(qiáng)子空間算法的抗噪性；吳日強(qiáng)等[6]提出了一種適于在線跟蹤的改進(jìn)子空間算法；Hou等[7-8]提出基于連續(xù)小波變換的方法識別結(jié)構(gòu)瞬時模態(tài)參數(shù)；Tsatsanis等[9]用ARMAX模型來描述時變系統(tǒng)，將時變系數(shù)用小波基函數(shù)展開，通過最小二乘法識別時變系統(tǒng)。因此，模態(tài)參數(shù)識別相對成熟。然而，對于時變結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識別的研究還較少。Shi等[10]提出了Hilbert變換和經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?EMD)的方法用于時變系統(tǒng)識別。Ghanem 等[11]運(yùn)用小波伽遼金方法分析時變結(jié)構(gòu)；Cooper等[12-13]提出了不同的自適應(yīng)遺忘因子在線最小二乘法識別結(jié)構(gòu)物理參數(shù)；李會娜等[14]提出了一種基于自由響應(yīng)信號的時變結(jié)構(gòu)物理參數(shù)子空間識別方法；任宜春等[15]提出了基于離散小波變換的識別方法。由于時變問題的復(fù)雜性，已提出的方法還未在實際工程中廣泛運(yùn)用，還有待更深入研究。本文作者將時變結(jié)構(gòu)的時變參數(shù)離散化，利用離散小波變換將其在多尺度上展開為概貌信號和細(xì)節(jié)信號，選擇合適的小波基函數(shù)使展開的信號能量盡量集中在低頻區(qū)段，忽略高頻細(xì)節(jié)信號，僅由低頻概貌信號估計時變參數(shù)，將時變結(jié)構(gòu)識別問題轉(zhuǎn)化為時不變問題。通過最小二乘法識別出低頻尺度展開系數(shù)，從而重構(gòu)得到原始時變參數(shù)。用提出的方法對1個2層框架結(jié)構(gòu)的時變剛度和阻尼進(jìn)行有效識別。

1 信號多尺度小波分析

多尺度分析[16](也稱為多分辨率分析)建立在函數(shù)空間概念上，將空間L2(R)進(jìn)行逐級二分解產(chǎn)生一組逐級包含的子空間：

式中：Vj為尺度空間；Wj為小波空間，j∈Z。

對于任意平方可積函數(shù)x(t)∈L2(R)，將其向不同尺度的尺度空間和小波空間投影，可以在不同分辨率下對信號進(jìn)行分析。若將x(t)按以下空間組合：

展開，可以得到函數(shù)x(t)的多尺度正交分解：

式中：cJ,k為第J尺度的尺度展開系數(shù)(也稱為x(t)在分辨率J下的離散逼近)；φJ(rèn),k(t)為離散小波變換的尺度函數(shù)；dj,k為第j尺度的小波展開系數(shù)；ψj,k(t)為離散小波變換的小波函數(shù)。

多尺度分析可以通過濾波器組來計算。假定h0和h1分別為小波分解對應(yīng)的低通和高通濾波器沖擊響應(yīng)，g0和g1分別為小波重構(gòu)對應(yīng)的低通和高通濾波器沖擊響應(yīng)，尺度系數(shù)和小波系數(shù)可以用Mallat塔式算法進(jìn)行快速計算：

相應(yīng)的系數(shù)重構(gòu)算法為：

圖1所示為2層多尺度小波分析原理。當(dāng)信號采樣頻率大于Nyquist頻率時，通常直接用x(t)的采樣序列x(n)近視作為信號在0尺度分解上的尺度系數(shù)c0,k，則離散信號x(n)的J尺度分解和重構(gòu)可由圖1所示的濾波器組實現(xiàn)(僅表示了J=2層分解的情況)。圖1中H0(Z)為分解低通濾波器h0(-n)的Z變換；H1(Z)為分解高通濾波器h1(-n)的Z變換；G0(Z)為重構(gòu)低通濾波器g0(n)的Z變換；G1(Z)為重構(gòu)高通濾波器g1(n)的Z變換；x′(n)為重構(gòu)的信號。

圖1 2層多尺度小波分析原理Fig.1 Multiresolution analysis to depth of J=2

圖2所示為等效分解和重構(gòu)濾波器結(jié)構(gòu)。由多采樣率分析中的等效易位關(guān)系，圖1所示的分解重構(gòu)結(jié)構(gòu)可以用圖2所示結(jié)構(gòu)等效。圖2中：H(Z2)表示對傳遞函數(shù)H(Z)進(jìn)行二插值。

對于信號J層分解，共有J+1個濾波器，其中低頻部分的濾波器傳遞函數(shù)為：

圖2 等效分解和重構(gòu)濾波器結(jié)構(gòu)Fig.2 Equivalent decomposition and reconstruction filter structure

相應(yīng)地，高頻部分的濾波器傳遞函數(shù)為：

對于信號重構(gòu)，相應(yīng)的濾波器只需把式(6)和式(7)中的H改為G即可。令g0J(n)和g1j(n)分別為G0J(Z)和G1j(Z)的反Z變換，對信號進(jìn)行J層分解，設(shè)分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)分別為cJ,k和dj,k，則離散信號x(n)可展開為：

式中：k為分解小波系數(shù)的長度，與信號長度和分解層數(shù)相關(guān)。

2 時變結(jié)構(gòu)物理參數(shù)識別方法

考慮單自由度時變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其質(zhì)量為m，剛度和阻尼在振動過程中隨時間緩慢變化，表示為c(t)和k(t)，對應(yīng)的振動運(yùn)動方程為：

其相應(yīng)的離散形式為：

將時變阻尼和剛度看作一離散時間序列信號，設(shè)其J層小波分解的小波系數(shù)和尺度系數(shù)已知，根據(jù)式(8)將其展開。對于慢變信號，信號能量大部分集中在低頻部分，展開時可忽略第2項細(xì)節(jié)信號，僅由第1項概貌信號來近似表示：

將式(11)和(12)代入方程(10)可得：

將所有離散時刻n=1～N的響應(yīng)代入式(13)：

由最小二乘法可求出：

將式(19)求出的結(jié)果代入式(11)和(12)可求出結(jié)構(gòu)的時變阻尼和時變剛度。

圖3所示為2層剪切框架模型。對于多自由度時變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，不失一般性，這里考慮如圖3所示的2層剪切框架，各層剛度和阻尼時變，其振動方程為：

將剛度和阻尼作為未知量，把相同阻尼和剛度的系數(shù)移到一起，方程變?yōu)椋?/p>

對每一個待求阻尼和剛度用前述方法展開，可以得到：

其中：展開系數(shù)G1(c2)的G1表示對于第一個方程；表示對應(yīng)未知阻尼。與式(15)求法類似，只需根據(jù)的系數(shù)進(jìn)行修改：

其他展開系數(shù)按相同方法可以求出。

式中：上標(biāo)1和2表示對應(yīng)未知阻尼c1和c2以及未知剛度k1和k2。

同樣，對式(22)用最小二乘法可求出Q，從而識別出結(jié)構(gòu)的時變阻尼和時變剛度。

當(dāng)信號中存在噪音時，方程發(fā)生病態(tài)，直接用最小二乘法求解誤差較大。這里采用Tikhonov正則化方法進(jìn)行求解。

3 數(shù)值算例

采用如圖3所示2層剪切框架結(jié)構(gòu)模型做仿真算例，以驗證本文方法的真確性和有效性。

圖3 2層剪切框架模型Fig.3 Two stories shearing frame model

模型質(zhì)量保持不變，m1=m2=2.5 t。結(jié)構(gòu)受到地震作用(取40 s El-Centro波作用)，用四階龍格庫塔法求結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，采樣頻率為50 Hz。為模擬噪音影響，向求得的響應(yīng)中添加高斯白噪聲，考慮2種時變情況：剛度阻尼同時變化和只有剛度變化。

3.1 剛度和阻尼同時變化

考慮剛度K1突變，剛度K2線性變化，阻尼C1突變，阻尼C2線性變化，具體變化如下：

采用db3小波將時變參數(shù)展開，用提出的方法對剛度和阻尼進(jìn)行識別，識別的剛度結(jié)果如圖4和圖5所示，識別的阻尼結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖4 剛度K1識別結(jié)果Fig.4 Identified results of stiffness K1

圖5 剛度K2識別結(jié)果Fig.5 Identified results of stiffness K2

圖6 阻尼C1識別結(jié)果Fig.6 Identified results of damping C1

圖7 阻尼C2識別結(jié)果Fig.7 Identified results of damping C2

由圖4和圖5可以看出：剛度的識別結(jié)果在無噪音時比較理想；存在噪音時，結(jié)果會受到一定影響，但仍能有效跟蹤時變參數(shù)的變化。在剛度突變處，識別結(jié)果有一個過渡段，主要是由于方法對時變參數(shù)展開時只采用了低頻概貌信號而忽略了高頻細(xì)節(jié)信號，具有一定的近似，剛度突變處的高頻成分被忽略，因而識別結(jié)果存在一定誤差。另外，阻尼突變處的近似也會對整個識別結(jié)果產(chǎn)生一定影響。在信號的端部，由于小波變換端點效應(yīng)的影響，識別結(jié)果也產(chǎn)生稍大偏離。時變阻尼的識別結(jié)果對噪音較敏感，但仍能看出其變化趨勢。

3.2 剛度變化，阻尼不變

阻尼為C1=C2=1 kN·s/m，剛度K1二次曲線變化，剛度K2呈周期性變化，變化如下：

剛度的識別結(jié)果如圖8和圖9所示。由圖8和圖9可以看出：無噪音時，識別結(jié)果與理論值非常接近，只在端部由于端點效應(yīng)的影響稍有偏差。主要是由于阻尼不變，剛度的變化也比較平滑，忽略高頻細(xì)節(jié)信號產(chǎn)生的誤差較??；當(dāng)噪音加大到 5%時，剛度識別結(jié)果仍然較好，因而該方法識別剛度抗噪性較好。

圖8 剛度K1識別結(jié)果Fig.8 Identified results of stiffness K1

圖9 剛度K2識別結(jié)果Fig.9 Identified results of stiffness K2

4 結(jié)論

(1)利用離散小波變換將時變結(jié)構(gòu)的時變物理參數(shù)在多尺度上展開為概貌信號和細(xì)節(jié)信號，將時變結(jié)構(gòu)識別問題轉(zhuǎn)化為時不變結(jié)構(gòu)識別問題，由最小二乘法識別出結(jié)構(gòu)的時變物理參數(shù)。該方法可以有效識別結(jié)構(gòu)的時變剛度，具有較好的抗噪性。

(2)由于將時變參數(shù)在多尺度上展開時，忽略小波分解的高頻信號，由低頻概貌信號估計時變參數(shù)，方法具有一定近似，因此，當(dāng)剛度呈線性及周期變化時，識別結(jié)果比剛度突變時的好。

(3)同時識別剛度和阻尼時，由于阻尼比剛度小得多(本文中小 2個數(shù)量級)，識別時計算的相對誤差要比剛度的相對誤差大得多，因此，阻尼識別結(jié)果對噪音較敏感，誤差較差，還需進(jìn)一步研究、改進(jìn)。

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