矩形薄板四邊固支時的自由振動分析

張 強

(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

薄板結(jié)構(gòu)在土木工程中應(yīng)用較為廣泛，土木工程結(jié)構(gòu)由于振動特性造成的破裂、損害、傾覆和坍塌等破壞事故已為實踐所證實，正確分析與評估土木工程結(jié)構(gòu)在動力作用下的安全性，在土木工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計中起著十分重要的作用。因此，為了滿足工程上各種不同的需要，對薄板振動性能的研究是非常必要的。在一定的橫向荷載作用下處于平衡位置的薄板，受到干擾力的作用而偏離這一位置，當(dāng)干擾力被除去后，薄板在該平衡位置附近作微幅振動。目前對矩形薄板橫向振動的固有頻率計算方法主要有解析法與數(shù)值法，其中數(shù)值法有差分法，Reyleigh-Ritz法等。

Matlab軟件是一款應(yīng)用較為廣泛的數(shù)學(xué)軟件，在土木工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域都有所應(yīng)用。Matlab的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用Matlab來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，Matlab軟件具有基本的數(shù)值運算、矩陣運算、繪制圖形等多種功能，特別是Matlab具有十分強大的矩陣運算功能。由于在彈性矩形薄板的有限元分析中會涉及到大量的大型矩陣，所以利用Matlab軟件進(jìn)行彈性矩形薄板的有限元分析較為方便快捷。

1 Reyleigh-Ritz法

Reyleigh-Ritz法即能量法在求解矩形薄板橫向振動的固有頻率中應(yīng)用較多。設(shè)薄板在平衡位置的撓度為we=we(x，y)，這時薄板所受的橫向荷載為 q=q(x，y)，根據(jù)薄板的彈性曲面微分方程可得

當(dāng)薄板以某一頻率ω及振形W(x，y)進(jìn)行自由振動時，它的瞬時撓度可以表示為

薄板自由振動時不受荷載的作用，即q=0，在其自由振動過程中薄板的動能為零時，其形變勢能達(dá)到最大值 Vε，max

當(dāng)薄板經(jīng)過平衡位置時，其自由振動的速度達(dá)到最大值，這時薄板的形變勢能為零，而動能達(dá)到最大值Ek，max

根據(jù)能量守恒定理可得到 Vε，max=Ek，max，通過設(shè)定薄板的振形函數(shù)W，同時滿足邊界條件即可求得薄板自由振動時的頻率。取振形函數(shù)為W =(x2－a2)2(y2－b2)2，其可以滿足邊界條件，根據(jù) Reyleigh-Ritz法可求解出基頻ω

2 基于Matlab的有限元分析

Matlab的具體編程過程可以分為6個步驟，設(shè)豎向劃分n列，橫向劃分為m行。劃分的網(wǎng)格數(shù)越密，計算出的結(jié)果越精確。

1)進(jìn)行單元節(jié)點編號:矩形薄板網(wǎng)格劃分后總節(jié)點數(shù)為NN=(n+1)(m+1)，單元節(jié)點編號的規(guī)律以及單元編號的規(guī)律如圖1所示，式中NN表示節(jié)點總數(shù)。

圖1 單元與節(jié)點編號

2)形成節(jié)點位移編號與單元定位向量:對于矩形薄板中面上的每個節(jié)點只考慮三個自由度，分別是沿z方向的撓度w，繞 x方向的轉(zhuǎn)角 θx以及繞 y方向的轉(zhuǎn)角 θy;對任一節(jié)點，按照 w、θx、θy的順序進(jìn)行編寫。每個單元對應(yīng)的四個節(jié)點可形成每個單元的定位向量。將單元四個節(jié)點按照從左下角逆時針旋轉(zhuǎn)的順序?qū)⑵湎鄳?yīng)的位移編號按照 w、θx、θy的順序依次列出，即可得到該單元的定位向量。每個單元的單元定位向量是一個1×12的向量。

3)引入邊界約束條件:對所有的節(jié)點位移清零，將自動形成一個存放所有節(jié)點位移的一維數(shù)組，其維數(shù)為3(m+1)(n+1)。當(dāng)矩形薄板四邊固支時，其沿z方向的撓度w為0，繞y方向的轉(zhuǎn)角θy為0，繞x方向的轉(zhuǎn)角θx也為0，為了方便對組集總剛度的修改，將約束方向的位移賦值為1，而沒有約束方向的位移賦值為0。

4)形成單元剛度矩陣與單元質(zhì)量矩陣。

5)組集總剛度與總的質(zhì)量矩陣并引入邊界條件加以修改:形成單元剛度矩陣與單元質(zhì)量矩陣后采用對號入座的方法形成總剛度與總質(zhì)量矩陣，組集完總剛度和總的質(zhì)量矩陣后，需要根據(jù)薄板的邊界條件對其進(jìn)行修改，所使用的方法是主一賦零法。

6)求解開孔板自由振動的頻率。

3 計算結(jié)果分析

為了驗證利用Matlab軟件編寫的有限元程序的正確性，取彈性矩形薄板a=b=5 m(見圖2)，彈性模量E=3.0×1011Pa、泊松比υ=0.3、薄板的厚度t=1 m、薄板的密度ρ=7 900 kg/m3。利用能量法可以得到矩形薄板自由振動時的基頻ω=671.33，工程頻率f=ω/(2π) =106.85。表1列出了利用編寫的Matlab程序計算的基頻。

圖2 四邊固支矩形薄板

表1 利用Matlab算法求解的基頻 Hz

從圖3中可以看到，隨著網(wǎng)格的不斷細(xì)分，利用Matlab編寫的程序所求解的基頻值是收斂的，且越來越接近能量法所求解的基頻，表明利用Matlab編寫的此算法是合理的，可以應(yīng)用到其它階頻率的求解中去。

利用ANSYS求解第二、第三、第四階頻率可以得到:

結(jié)合表2可以得到利用Matlab求解的頻率值與ANSYS求解的頻率值相當(dāng)吻合。且利用Matlab求解中隨著網(wǎng)格的細(xì)分所求解的頻率值越接近于ANSYS求解值，且收斂性較好。

4 結(jié)語

圖3 基頻收斂性曲線

表2 利用Matlab算法求解第二至第四階頻率 Hz

通過比較計算結(jié)果說明:基于Matlab軟件編寫的程序所求解的矩形薄板在四邊固支時自由振動的頻率值能夠達(dá)到足夠的精度。利用Matlab所畫的基頻收斂曲線其收斂性較好。因此利用Matlab編寫地計算頻率程序可以應(yīng)用到實際工程中去，且能夠方便快捷的計算出頻率值，具有重要的工程意義。由于在工程實際中，部分薄板是開孔的，因此有待于對開孔薄板進(jìn)行研究。

[1]杜麗艷.基于Matlab的均布荷載作用下矩形薄板的有限元分析[J].重慶工學(xué)院學(xué)報，2009(1):32-35.

[2]鐘陽，殷建華.兩對邊固支另兩對邊自由彈性矩形薄板理論解[J].重慶建筑大學(xué)學(xué)報，2005(6):29-32.

[3]王道斌，武蘭河，李延強.結(jié)構(gòu)矩陣分析原理與程序設(shè)計[M].成都:西南交通大學(xué)出版社，2006.

[4]徐芝綸.彈性力學(xué)(下冊)[M].北京:高等教育出版社，2006.

[5]張錚，楊文平，石博強，等.MATLAB程序設(shè)計與實例應(yīng)用[M].北京:中國鐵道出版社，2003.

[6]王勖成，邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值分析[M].北京:清華大學(xué)出版社，1997.