帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)圖形賞析

鮑 翔

(揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校,江蘇揚(yáng)州 225000)

帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)分別要受到電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用,電場(chǎng)力會(huì)改變粒子的速度大小,而洛倫茲力只能改變速度的方向.由于所受力及初始條件的不同,帶電粒子在電磁場(chǎng)中形成不同的圖形.這些圖形具有和諧、對(duì)稱、統(tǒng)一的美,同時(shí)圖形也反映了有關(guān)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的不同特性.研究這些圖形,可以直觀地得到解題思路和方法,給人以美的享受、美的啟迪,能使學(xué)生體會(huì)到物理學(xué)的美.現(xiàn)以例題形式解析在電磁場(chǎng)中幾種常見的圖形.

1 “扇面”圖形

例1.(2006年天津卷)在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),如圖1所示.一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場(chǎng),它恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出.

(2)若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng),但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大?此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間 t是多少?

圖1

圖2

解析:由題意分析可知,畫出粒子先后兩次的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖2所示,則粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡形成一“扇面”圖形.

2 “心臟”圖形

圖3

圖4

解析:粒子重新回到 O點(diǎn)時(shí)其運(yùn)行軌道如圖4所示,形成一個(gè)“心臟”圖形.由圖可知,粒子在 B1中運(yùn)行時(shí)間為

粒子在B2中運(yùn)行時(shí)間為

所以粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

3 “拱形”圖形

例4.(1998年全國(guó)卷 1)如圖5所示,在 x軸上方有垂直于xy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,在 x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)為 E.一質(zhì)量為 m,電荷量為-q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向射出,射出之后,第3次到達(dá)x軸時(shí),它與O的距離為L(zhǎng).求此粒子射出時(shí)的速度和運(yùn)動(dòng)的總路程.

圖5

圖6

解析:粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng),在洛倫茲力作用下經(jīng)歷半個(gè)圓周進(jìn)入電場(chǎng),先做勻減速直線運(yùn)動(dòng),速度減小至零后又返回做勻加速直線運(yùn)動(dòng),接著,粒子就以同樣的方式繼續(xù)運(yùn)動(dòng).畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示,形成“拱形”圖形.

設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)后沿 y軸負(fù)方向做勻減速運(yùn)動(dòng)的最大路程y,由動(dòng)能定理知

所以粒子運(yùn)動(dòng)的總路程為

4 “葡萄串”圖形

例5.如圖7(甲)所示,兩塊水平放置的平行金屬板,板長(zhǎng) L=1.4 m,板間距 d=30 cm.兩板間有 B=1.25 T,垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng).在兩極板上加如圖7(乙)所示的脈沖電壓.在 t=0時(shí),質(zhì)量 m=2×10-15kg,電荷量q=1×10-10C的正離子,以速度 v0=4×103m/s從兩板中間水平射入.試求:粒子在板間做什么運(yùn)動(dòng)?畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖7

圖8

5 “花瓣形”圖形

例6.(2000年天津卷)如圖9所示,兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極,外電極接地,其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫 a、b、c和d,外筒的外半徑為 r0.在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.在兩極間加上電壓,使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng).一質(zhì)量為m,帶電荷量為+q的粒子,從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā),初速為零.如果該粒子經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S,則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少(不計(jì)粒子重力,整個(gè)裝置處在真空中)?

圖9

圖10

解析:帶電粒子從S出發(fā),在兩筒之間的電場(chǎng)力作用下加速,沿徑向穿出 a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū),在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng).粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫b.只要穿過了 b,粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速,再反向加速,經(jīng)b重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū).然后,粒子將以同樣方式經(jīng)過 c、d,再經(jīng)過 a回到S點(diǎn),如圖10所示.

設(shè)粒子射入磁場(chǎng)區(qū)的速度為v,根據(jù)能量守恒,有

設(shè)粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由洛倫茲力公式和牛頓定律得

帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圖樣豐富多彩,此文僅列舉一些圖樣,還有一些其他圖樣,在此不再一一列舉.通過對(duì)這些圖樣的欣賞與分析,既可以陶冶人的審美情操,又可提高人的思維能力.